高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計數(shù)原理單元測試 全國公開課

選修2-3第一章1.2.2第一、選擇題1．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960186)()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]第一步從后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)種抽取方法，第二步前排共有6個位置，先從中選取2個位置排上抽取的2人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，最后把前排原4人按原順序排在其他4個位置上，只有1種安排方法，∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)種排法．2．從編號為1、2、3、4的四種不同的種子中選出3種，在3塊不同的土地上試種，每塊土地上試種一種，其中1號種子必須試種，則不同的試種方法有eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960187)()A．24種 B．18種C．12種 D．96種[答案]B[解析]先選后排Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18，故選B．3．把0、1、2、3、4、5這六個數(shù)，每次取三個不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960188)()A．40個 B．120個C．360個 D．720個[答案]A[解析]先選取3個不同的數(shù)有Ceq\o\al(3,6)種方法，然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個不同的數(shù)放在十位和個位上，有Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40個三位數(shù)．4．某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方式共有eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960189)()A．4種 B．10種C．18種 D．20種[答案]B[解析]分兩類：第一類，取出兩本畫冊，兩本集郵冊，從4人中選取2人送畫冊，則另外兩人送集郵冊，有Ceq\o\al(2,4)種方法．第二類，3本集郵冊全取，取1本畫冊，從4人中選1人送畫冊，其余送集郵冊，有Ceq\o\al(1,4)種方法，∴共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10種贈送方法．5．(2023·青島高二檢測)從甲、乙等5名志愿者中選出4名，分別從事A，B，C，D四項不同的工作，每人承擔(dān)一項．若甲、乙二人均不能從事A工作，則不同的工作分配方案共有eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960190)()A．60種 B．72種C．84種 D．96種[答案]B[解析]解法1：根據(jù)題意，分兩種情形討論：①甲、乙中只有1人被選中，需要從甲、乙中選出1人，擔(dān)任后三項工作中的1種，由其他三人擔(dān)任剩余的三項工作，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種選派方案．②甲、乙兩人都被選中，則在后三項工作中選出2項，由甲、乙擔(dān)任，從其他三人中選出2人，擔(dān)任剩余的兩項工作，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)＝36種選派方案，綜上可得，共有36＋36＝72種不同的選派方案，故選B．解法2：從甲、乙以外的三人中選一人從事A工作，再從剩余四人中選三人從事其余三項工作共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝72種選法．6．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A、B、C、D中，(四種顏色可以不全用也可以全用)要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960191)()ABCDA．72種 B．48種C．24種 D．12種[答案]A[解析]解法1：(1)4種顏色全用時，有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同涂色方法．(2)4種顏色不全用時，因為相鄰矩形不同色，故必須用三種顏色，先從4種顏色中選3種，涂入A、B、C中，有Aeq\o\al(3,4)種涂法，然后涂D，D可以與A(或B)同色，有2種涂法，∴共有2Aeq\o\al(3,4)＝48種，∴共有不同涂色方法24＋48＝72種．解法2：涂A有4種方法，涂B有3種方法，涂C有2種方法，涂D有3種方法，故共有4×3×2×3＝72種涂法．二、填空題7．一排7個座位分給3人坐，要求任何兩人都不得相鄰，所有不同排法的總數(shù)有________種.eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960192)[答案]60[解析]對于任一種坐法，可視4個空位為0,3個人為1,2,3則所有不同坐法的種數(shù)可看作4個0和1,2,3的一種編碼，要求1,2,3不得相鄰故從4個0形成的5個空檔中選3個插入1,2,3即可．∴不同排法有Aeq\o\al(3,5)＝60種．8．將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放兩支筆，有________種放法(用數(shù)字作答).eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960193)[答案]112[解析]設(shè)有A，B兩個筆筒，放入A筆筒有四種情況，分別為2支，3支，4支，5支，一旦A筆筒的放法確定，B筆筒的放法隨之確定，且對同一筆筒內(nèi)的筆沒有順序要求，故為組合問題，總的放法為Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＝112.9．(2023·沈陽高二質(zhì)檢)用1、2、3、4、5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，數(shù)字2不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1、3、5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是________(注：用數(shù)字作答).eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960194)[答案]48[解析]按2的位置分三類：①當(dāng)2出現(xiàn)在第2位時，即02000，則第1位必為1、3、5中的一個數(shù)字，所以滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12個；②當(dāng)2出現(xiàn)在第3位時，即00200，則第1位、第2位為1、3、5中的兩個數(shù)字或第4位、第5位為1、3、5中的兩個數(shù)字，所以滿足條件的五位數(shù)有2Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝24個；③當(dāng)2出現(xiàn)在第4位時，即00020，則第5位必為1、3、5中的一個數(shù)字，所以滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12個．綜上，共有12＋24＋12＝48個．三、解答題10．7名身高互不相等的學(xué)生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960195)(1)7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減；(2)任取6名學(xué)生，排成二排三列，使每一列的前排學(xué)生比后排學(xué)生矮．[解析](1)第一步，將最高的安排在中間只有1種方法；第二步，從剩下的6人中選取3人安排在一側(cè)有Ceq\o\al(3,6)種選法，對于每一種選法只有一種安排方法，第三步，將剩下3人安排在另一側(cè)，只有一種安排方法，∴共有不同安排方案Ceq\o\al(3,6)＝20種．(2)第一步從7人中選取6人，有Ceq\o\al(6,7)種選法；第二步從6人中選2人排一列有Ceq\o\al(2,6)種排法，第三步，從剩下的4人中選2人排第二列有Ceq\o\al(2,4)種排法，最后將剩下2人排在第三列，只有一種排法，故共有不同排法Ceq\o\al(6,7)·Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝630種．一、選擇題1．在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1、2、3、…、18的18名火炬手，若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960196)()A．eq\f(1,51) B．eq\f(1,68)C．eq\f(1,306) D．eq\f(1,408)[答案]B[解析]從18人中任選3人，有Ceq\o\al(3,18)種選法，選出的3人編號能構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列有12種情形)，∴所求概率P＝eq\f(12,C\o\al(3,18))＝eq\f(1,68).2．編號為1、2、3、4、5的五個人，分別坐在編號為1、2、3、4、5的座位上，則至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960197)()A．120 B．119C．110 D．109[答案]D[解析]5個人坐在5個座位上，共有不同坐法Aeq\o\al(5,5)種，其中3個號碼一致的坐法有Ceq\o\al(3,5)種，有4個號碼一致時必定5個號碼全一致，只有1種，故所求種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(3,5)－1＝109.二、填空題3．航空母艦“遼寧艦”在某次飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而甲、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有________種.eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960198)[答案]36[解析]∵甲、乙相鄰，∴將甲、乙看作一個整體與其他3個元素全排列，共有2Aeq\o\al(4,4)＝48種，其中甲、乙相鄰，且甲、丙相鄰的只能是甲、乙、丙看作一個整體，甲中間，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，∴共有不同著艦方法48－12＝36種．4．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中有8個點：P1(1,1,1)、P2(－1，1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每個點的橫、縱、豎坐標(biāo)都是1或－1)，以其中4個點為頂點的三棱錐一共有________個(用數(shù)字作答).eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960199)[答案]58[解析]解法一直接法：這8個點構(gòu)成正方體的8個頂點，此題即轉(zhuǎn)化成以正方體的8個頂點中的4個點為頂點的三棱錐一共有多少個，則共有三棱錐Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)＋(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)－2×4－2)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,4)＝58個．解法二間接法：從正方體的8個頂點中任取4個，有不同取法Ceq\o\al(4,8)種，其中這四點共面的(6個對角面、6個表面)共12個，∴這樣的三棱錐有Ceq\o\al(4,8)－12＝58個．三、解答題5．(2023·泰州高二檢測)男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960200)(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)既要有隊長，又要有女運動員．[解析](1)第一步：選3名男運動員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；第二步：選2名女運動員，有Ceq\o\al(2,4)種選法，故共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120種選法．(2)方法一：(直接法)：“至少有1名女運動員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類加法計數(shù)原理知共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,6)＝246種選法．方法二：(間接法)，不考慮條件，從10人中任選5人，有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運動員的選法有Ceq\o\al(5,6)種，故“至少有1名女運動員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)當(dāng)有女隊長時，其他人選法任意，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；不選女隊長時，必選男隊長，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq\o\al(4,5)；故不選女隊長時共有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．6．四個不同的小球，全部放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.eq\x(導(dǎo)學(xué)號03960201)(1)隨便放(可以有空盒，但球必須都放入盒中)有多少種放法？(2)四個盒都不空的放法有多少種？(3)恰有一個空盒的放法有多少種？(4)恰有兩個空盒的放法有多少種？(5)甲球所放盒的編號總小于乙球所放盒的編號的放法有多少種？[解析](1)由于可以隨便放，故每個小球都有4種放法，所以放法總數(shù)是：4×4×4×4＝44＝256種．(2)將四個小球全排列后放入四個盒子即可，所以放法總數(shù)是：Aeq\o\al(4,4)＝24種．(3)由題意知，必然是四個小球放入三個盒子中．分三步完成：選出三個盒子；將四個小球分成三堆；將三堆小球全排列后放入三個盒子．所以放法總數(shù)是：Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144種．(4)由題意，必然是四個小球放入2個盒子中．分三步完成：選出兩個盒子；將四個小球分成兩堆；將兩堆小球全排列放入兩個盒子．所以放法總數(shù)是：Ceq\o\al(2,4)·(eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2)