高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)【省一等獎】

2．2直接證明與間接證明2．綜合法和分析法1．結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種最基本的方法：綜合法和分析法．2．了解用綜合法和分析法解決問題的思考特點(diǎn)和過程，會用綜合法和分析法證明具體的問題．通過實例充分認(rèn)識這兩種證明方法的特點(diǎn)，認(rèn)識證明的重要性．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．綜合法．(1)定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．其一般表示形式是由因?qū)Ч?2)用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法用框圖表示為：eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)2．分析法．(1)定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)．這種證明的方法叫做分析法.其一般表示形式是執(zhí)果索因．(2)用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(\a\al(得到一個,明顯成立,的條件))3．分析綜合法．(1)定義：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q′；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)′.若由P′可以推出Q′成立，就可以證明結(jié)論成立．這種證明方法稱為分析綜合法．(2)用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則分析綜合法可用框圖表示為：eq\x(P?P1)→eq\x(P1?P2)→…→eq\x(\a\al(Pn?P′,?,Qm?Q′))←…←eq\x(Q1?Q2)←eq\x(Q?Q1)eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測)1．設(shè)x，y∈R＋，且x＋y＝6，則lgx＋lgy的取值范圍是(B)A．(－∞，lg6]B．(－∞，2lg3]C．[lg6，＋∞)D．[2lg3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2eq\r(xy)≤6，即0＜xy≤9，∴l(xiāng)gxy≤lg9，即lgx＋lgy≤2lg3.故選B.2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a”索的因應(yīng)是(C)A．a(chǎn)－b＞0B．a(chǎn)－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a?b2－ac＜3a2?3a2＋ac－(a＋c)2＞0?(2a＋c)(a－c)＞0?(a－b)(a－c)＞0.故選C.3．已知f(x)＝x2，則f′(3)的值為__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．當(dāng)a∈________時，函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函數(shù)．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函數(shù)?a－1≤5?a≤6.答案：(－∞，6]eq\a\vs4\al(（一）綜合法證題的基本步驟)(1)分析題目的條件和結(jié)論，尋找已知與結(jié)論之間的有關(guān)數(shù)學(xué)公式、公理、定理、定義等，確定解決的初步思路；(2)整合所得信息進(jìn)行推理論證，得出結(jié)論．eq\a\vs4\al(（二）分析法證題的步驟以及格式)欲證Q成立，只需證P1，即證P2，只需證P3，…，即證P，因為P成立，所以Q成立或運(yùn)用逆向推理符號“?”，需要注意的是推理符號的方向，不可用反、用錯．eq\a\vs4\al(（三）分析綜合法的綜合應(yīng)用)在解決問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：用分析法找思路，用綜合法寫步驟．分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)換、相互滲透、互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，注意它們的聯(lián)合運(yùn)用，可以增加解題思路，開闊視野．1．當(dāng)所證結(jié)論與所給條件之間的關(guān)系不明確時，常采用分析法證明，但更多的時候是綜合法與分析法結(jié)合起來使用，即先看條件能夠提供什么，再看結(jié)論成立需要什么，從兩頭向中間靠攏，逐步接通邏輯思路．2．用分析法證題是尋求使結(jié)論成立的充分條件，不是必要條件，因此各步的尋求用“?”，有些步驟也可用“?”，但不能用“?”，因為是尋求充分條件，不必每步都是“?”，證完之后也不能說每步都可逆，只有證明充要條件時，才可以說每步都可逆，或全部都用“?”表達(dá)．3．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時常用的思維方式．如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等．這些方法是綜合法和分析法的延續(xù)與補(bǔ)充．1．“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”應(yīng)用了(B)A．分析法B．綜合法C．綜合法與分析法結(jié)合使用D．演繹法解析：這是由已知條件入手利用有關(guān)的公式證得等式，應(yīng)用了綜合法，故選B.2．要證明eq\r(3)＋eq\r(5)＜4，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的為(B)A．綜合法B．分析法C．比較法D．歸納法解析：要證明eq\r(3)＋eq\r(5)<4，只需證明(eq\r(3)＋eq\r(5))2<16，即8＋2eq\r(15)<16，即證明eq\r(15)<4，亦即只需證明15<16，而15<16顯然成立，故原不等式成立．因此利用分析法證明較為合理，故選B.3．已知a＞0，b＞0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，則m與n的大小關(guān)系為________．解析：因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)＋\r(b),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a＋b＋2\r(ab),4)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a＋b),2)))eq\s\up12(2)，所以eq\f(\r(a)＋\r(b),2)＞eq\f(\r(a＋b),2).又因為y＝lgx為增函數(shù)，所以有m＞n.答案：m＞n4．如圖，長方形ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1AD＝2，E是BC的中點(diǎn)．(1)求證：直線BB1∥平面D1DE；(2)求證：平面A1AE⊥平面D1DE；(1)證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1又∵BB1?平面D1DE，DD1?平面D1DE，∴直線BB1∥平面D1DE.(2)證明：在長方形ABCD中，∵AB＝AA1＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝eq\r(2).∴AE2＋DE2＝4＝AD2，故AE⊥DE.∵在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AE?平面ACBD∴DD1⊥AE.又∵DD1∩DE＝D，∴直線AE⊥平面D1DE.而AE?平面A1AE，所以平面A1AE⊥平面D1DE.1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(D)A．8B．7C．6D．52．在三角形中，a為最大邊，要想得到三角形為銳角三角形的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足說明條件(A)A．a(chǎn)2＜b2＋c2B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2＞b2＋c2D．a(chǎn)2≤b2＋c2解析：若三角形為銳角三角形，即∠A為銳角，由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，∴b2＋c2－a2＞0.3．設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n項和，則(B)A．S4＜S5B．S4＝S5C．S6＞S5D．S6＝S解析：∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.4．要使eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)成立，則a，b應(yīng)滿足的條件是(D)A．a(chǎn)b＜0且a＞bB．a(chǎn)b＞0且a＞bC．a(chǎn)b＜0且a＜bD．a(chǎn)b＜0且a＜b或ab>0且a>b解析：思路不明確，用分析法尋求使不等式成立的條件．eq\r(3,a)－eq\r(3,b)＜eq\r(3,a－b)?a－b＋3eq\r(3,ab2)－3eq\r(3,a2b)＜a－b?eq\r(3,ab2)＜eq\r(3,a2b)，∴當(dāng)ab＞0時，有eq\r(3,b)＜eq\r(3,a)，即b＜a；當(dāng)ab＜0時，由eq\r(3,b)＞eq\r(3,a)，即b＞a.所以選D.5．已知a，b，c是三條互不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，給出四個命題：①a∥b，b∥α，則a∥α；②a，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β；③a⊥α，a∥β，則α⊥β；④a⊥α，b∥α，則a⊥b.其中正確命題的個數(shù)是(B)A．1B．2C．3D．4解析：①因為a∥b，b∥α?a∥α或a?α，所以①不正確．②因為a，b?α，a∥β，b∥β，當(dāng)a與b相交時，才能α∥β，所以②不正確．③α∥β，過a作一平面γ，設(shè)γ∩β＝c，則c∥a，又a⊥α?c⊥α?α⊥β，所以③正確．④a⊥α，b∥α?a⊥b，所以④正確．綜上知③，④正確．6．a(chǎn)＞0，b＞0，則下列不等式中不成立的是(D)A．A＋B＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)解析：特殊法，取a＝1，b＝4，則D不成立．7．函數(shù)f(x)＝Ineq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，則f(－a)＝________．解析：因為f(－x)＝Ineq\f(1＋x,1－x)＝Ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))eq\s\up12(－1)＝Ineq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，所以f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b8．設(shè)a＝eq\r(3)＋eq\r(7)，b＝2＋eq\r(6)，則a、b的大小關(guān)系為________．解析：由eq\f(1,2＋\r(3))＞eq\f(1,\r(6)＋\r(7))，化簡得2－eq\r(3)＞eq\r(7)－eq\r(6).從而2＋eq\r(6)＞eq\r(3)＋eq\r(7)，即a＜b答案：a＜b9．p＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，(m，n，a，b，c，d均為正數(shù))，則p與q的大小關(guān)系為________．解析：p2＝ab＋cd＋2eq\r(abcd)，q2＝(ma＋nc)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,m)＋\f(d,n)))＝ab＋eq\f(nbc,m)＋eq\f(mad,n)＋cd≥ab＋cd＋2eq\r(abcd)∴q2≥p2，∴p≤q.答案：p≤q10．當(dāng)x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是________．解析：x2＋mx＋4＜0?m＜－x－eq\f(4,x)，∵y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))在(1，2)上單調(diào)遞增，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))∈(－5，－4)．∴m≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列．求證：△ABC為等邊三角形．證明：由A，B，C成等差數(shù)列知，B＝eq\f(π,3)，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差數(shù)列，∴b＝eq\f(a＋c,2).代入上式得eq\f(（a＋c）2,4)＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，從而A＝C，而B＝eq\f(π,3)，則A＝B＝C＝eq\f(π,3)，從而△ABC為等邊三角形．12．如下圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C證明：(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)知，EF∥BC∵EF?平面ABC而BC?平面ABC.∴EF∥平面ABC.(2)由三棱錐ABC-A1B1C1為直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B1∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1CCC1∩B1C＝C，又CC1，B1C?平面BB∴A1D⊥平面BB1C1C.又A1D?平面A∴平面A1FD⊥平面BB1C?品味高考1．(2023·安徽高考)設(shè)a＝log37，b＝，c＝，則(B)A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜a