高中數(shù)學(xué)蘇教版3第三章統(tǒng)計(jì)案例 第3章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)②③線性回歸直線方程在回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))代表x每增加一個(gè)單位，y平均增加的單位數(shù)．一般來說，當(dāng)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，說明兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是：當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，y就平均增加eq\o(b,\s\up6(^))個(gè)單位；當(dāng)回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，說明兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的意義是：當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，y就平均減少|(zhì)eq\o(b,\s\up6(^))|個(gè)單位．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20232023202320232023需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2023年的糧食需求量．【精彩點(diǎn)撥】正確利用求回歸直線方程的步驟求解，注意數(shù)據(jù)計(jì)算的準(zhǔn)確性．【規(guī)范解答】(1)由所給數(shù)據(jù)看出，把年份看作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對應(yīng)的需求量看作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖草圖(圖略)，通過觀察知這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，下面求回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份—2023－4－2024需求量—257－21－1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(X)＝0，eq\x\to(Y)＝，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(Y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(X,\s\up6(－))＝，由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))－257＝eq\o(b,\s\up6(^))(x－2023)＋eq\o(a,\s\up6(^))＝(x－2023)＋，即eq\o(y,\s\up6(^))＝(x－2023)＋.(*)(2)利用直線方程(*)，可預(yù)測2023年的糧食需求量為×(2023－2023)＋＝×6＋＝(萬噸)．[再練一題]1．某車間為了制定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))34(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；圖3-1(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線；(3)試預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？(注：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))【解】(1)散點(diǎn)圖如圖．(2)由表中數(shù)據(jù)得：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝，eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，回歸直線如圖所示．(3)將x＝10代入線性回歸方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋＝，故預(yù)測加工10個(gè)零件約需要小時(shí)．回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，其步驟是先畫出散點(diǎn)圖，并對樣本點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上選擇適合的函數(shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，從而建立較好的回歸方程，并且用該方程對變量值進(jìn)行分析；有時(shí)回歸模型可能會(huì)有多種選擇(如非線性回歸模型)，此時(shí)可通過殘差分析或利用相關(guān)系數(shù)r來檢查模型的擬合效果，從而得到最佳模型．煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系，如果已測得爐料熔化完畢時(shí)鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程．(3)預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為160個(gè)%時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？【精彩點(diǎn)撥】列表求r，進(jìn)行判斷，利用eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，寫出eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x.【規(guī)范解答】(1)列出下表：i12345xi104180190177147yi100200210185155xiyi1040036000399003274522785i678910xi134150191204121yi135170205235125xiyi1809025500391554794015125eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝172，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝265448，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝312350，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝287640于是r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－10\o(y,\s\up6(－))2))≈6.根據(jù)小概率與n－2＝8在附表中查得＝，由|r|>知，有95%的把握認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)設(shè)所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈－，即所求線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(3)當(dāng)x＝160時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×160－＝(min)，即大約冶煉.[再練一題]2．測得某國10對父子身高(單位：英寸)如下：父親身高(x)6062646566兒子身高(y)66父親身高(x)6768707274兒子身高(y)70(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸方程；(3)如果父親的身高為73英寸，估計(jì)兒子的身高．【解】(1)(2)從散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)散布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\o(x,\s\up6(－))2＝4，eq\o(y,\s\up6(－))2≈4，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,)i＝44794，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝44，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝44，由eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(44－44,44794－44＝eq\f,≈6.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－6×≈.故所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6x＋.(3)當(dāng)x＝73時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝6×73＋≈.所以當(dāng)父親身高為73英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為英寸．獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計(jì)算χ2；(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷．為了研究人的性別與患色盲是否有關(guān)系，某研究所進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在調(diào)查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為人的性別與患色盲有關(guān)系嗎？【規(guī)范解答】由題意列出2×2列聯(lián)表：患色盲未患色盲合計(jì)男性39441480女性6514520合計(jì)459551000由公式得χ2的觀測值χ2＝eq\f(1000×39×514－441×62,480×520×45×955)≈.因?yàn)镻(χ2≥≈，且>，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為患色盲與人的性別有關(guān)系，男性患色盲的概率要比女性大得多．[再練一題]3．考察小麥種子經(jīng)過滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示：種子滅菌種子未滅菌合計(jì)黑穗病214175389無黑穗病4515971048合計(jì)6657721437能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為種子滅菌與小麥黑穗病有關(guān)系？【解】提出假設(shè)H0：假設(shè)種子滅菌與黑穗病沒有關(guān)系．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)知，a＝214，b＝175，c＝451，d＝597，a＋b＝389，c＋d＝1048，a＋c＝665，b＋d＝772，n＝1437，代入公式求得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1437×214×597－175×4512,389×1048×665×772)≈，由于>，所以能夠在犯錯(cuò)誤的概率不超過的條件下，認(rèn)為種子滅菌與小麥黑穗病有關(guān)系．1．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)支出y(萬元)根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為__________萬元．【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×15＋＝(萬元)．【答案】2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則__________．【解析】作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】a>0，b<03．某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是__________．表1成績性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正常總計(jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652【解析】表1中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).表2中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).表3中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).表4中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，k＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160)，∴與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量．【答案】閱讀量4．(2023·全國卷Ⅱ)某地區(qū)2023年至2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2023202320232023202320232023年份代號(hào)t1234567人均純收入y(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2023年至2023年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq