高中數(shù)學人教A版第二章數(shù)列等差數(shù)列的前n項和 全國公開課

《等差數(shù)列的前n項和》導學案一、學習目標【學習目標】1、理解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程．2、掌握等差數(shù)列前n項和公式及其應用．【學習重點】等差數(shù)列前n項和公式及其應用.二、解讀考試說明等差數(shù)列的前項和公式是等差數(shù)列的重要內容，也是高考的熱點，經(jīng)常以解答題形式出現(xiàn)，主要考查公式的靈活運用及對概念的理解、函數(shù)方程、等價轉化等思想方法。等差數(shù)列的前項和公式中五個量“知三求二”，常用到解方程或方程組的方法。三、知識梳理1、前項和公式:=2、重要結論：若等差數(shù)列{}前項和為則為等差數(shù)列.對重要結論的一點說明：若等差數(shù)列的各項分別為則是等差數(shù)列，公差為3、等差數(shù)列前n項和公式與函數(shù)的關系剖析：等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d可以寫為Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.若令eq\f(d,2)＝A，a1－eq\f(d,2)＝B，則上式可以寫成Sn＝An2＋Bn，即Sn是關于項數(shù)n的函數(shù)．當A＝0，B＝0時(此時a1＝0，d＝0)，Sn＝0是關于n的常數(shù)函數(shù)；當A＝0，B≠0時(此時a1≠0，d＝0)，Sn＝Bn是關于n的一次函數(shù)(正比例函數(shù))；當A≠0時(此時d≠0)，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數(shù)．從上面的分析，我們可以看出：(1)一個數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則其前n項和公式Sn＝f(n)是關于n的二次函數(shù)或一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，且其常數(shù)項為0，即Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))。(2)如果一個數(shù)列的前n項和的表達式為Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C為常數(shù))，則當C≠0時，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。(3)當d≠0時，點(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，Sn)，…在拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x的圖象上。(4)由二次函數(shù)圖象的性質可知，當d＞0時，{an}是遞增數(shù)列，Sn有最小值；當d＜0時，{an}是遞減數(shù)列，Sn有最大值。4、等差數(shù)列前項和的性質（1）若項數(shù)為，則，且，；（2）若項數(shù)為，則，且，；（3）等差數(shù)列前項和為，則…，…成等差數(shù)列；（4）若，均為等差數(shù)列，且前項和分別是，則。四、典型例題例1：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝50，d＝－.(1)該數(shù)列前多少項都是非負數(shù)？(2)求此數(shù)列的前n項和Sn的最大值．解：(1)由a1＝50，d＝－，知an＝50－(n－1)＝－＋.令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－＋≥0，,－(m＋1)＋<0，))解得eq\f(250,3)＜m≤eq\f(253,3)，又m∈N*，則m＝84，即前84項都是非負數(shù)．(2)方法一：由(1)得a84＞0，a85＜0，則Sn的最大值是S84＝50×84＋eq\f(84×83,2)×(－＝2.方法二：Sn＝50n＋eq\f(n(n－1),2)·(－＝－＋＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(503,6)))2＋eq\f(5032,120)，由二次函數(shù)的性質知，當n＝84時，Sn取最大值S84＝2.例2、已知兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，它們的前n項和分別記為Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n＋3,n＋1)，求eq\f(a10,b10).解：eq\f(a10,b10)＝eq\f(a10＋a10,b10＋b10)＝eq\f(a1＋a19,b1＋b19)＝eq\f(\f(19(a1＋a19),2),\f(19(b1＋b19),2))＝eq\f(S19,T19)＝eq\f(19＋3,19＋1)＝eq\f(11,10).五、同步檢測1、在等差數(shù)列中，求下列未知量（1）已知，，求；（2）已知，，求；（3）已知，，，求及。2、已知數(shù)列的前項和公式；（1）這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項公式；(2)求使得最小的序號n的值。3、已知數(shù)列的前項和，若是等差數(shù)列，則．4、一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求其前110項之和為________．5、等差數(shù)列{an}的前m項和為3，前2m項和為10，求它的前36、等差數(shù)列{an}