微分方程建模

微分方程建模第一頁，共七十三頁，2022年，8月28日適用微分方程建模的情況在研究某些實際問題時，經常無法直接得到各變量之間的聯系，問題的特性往往會給出關于變化率的一些關系。利用這些關系，我們可以建立相應的微分方程模型。在自然界以及工程技術領域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問題以及商業(yè)預測等領域中去，其影響是廣泛的。第二頁，共七十三頁，2022年，8月28日引例一.嫌疑犯問題受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現。法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現場，測得尸體體溫為，一小時后，當尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為，室溫在幾小時內始終保持

.此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現場）步行需5分鐘，現在的問題：是張某不在兇案現場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？一.嫌疑犯問題受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現。法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現場，測得尸體體溫為，一小時后，當尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為，室溫在幾小時內始終保持

.此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現場）步行需5分鐘，現在的問題：是張某不在兇案現場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？第三頁，共七十三頁，2022年，8月28日第四頁，共七十三頁，2022年，8月28日

人體體溫受大腦神經中樞調節(jié)，人死后體溫調節(jié)功能消失，尸體的溫度受外界溫度的影響。假定尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，即

第五頁，共七十三頁，2022年，8月28日第六頁，共七十三頁，2022年，8月28日微分方程建模重點一、建模問題（清楚），目標（明確）二、建模假設（簡化，可求解）三、微元法（無窮小分析）第七頁，共七十三頁，2022年，8月28日1.微分方程建模中假設的提出與修改問題

“商品價格變化的兩大特點”：

平衡價格應是商品供需平衡的價位；趨于過程應具有慣性特征：呈現阻尼震蕩過程特征

建立在市場經濟下價格變動模型

具體問題：試圖建立一個數學模型，描繪在健全的市場經濟框架下，商品價格受市場機制調節(jié)，偏高或偏低的價格將會自動趨于平衡

。

建模目的：建立一個價格隨時間演變,以阻尼振蕩方式逐漸趨于理性的商品供需平衡價格的模型。第八頁，共七十三頁，2022年，8月28日

(3)商品價格的變化速度p’(t)

與市場的過剩需求

D(t)

–S(t)

有關.（最重要的關系）

假定它們之間成正比

:

(2)商品供應S(t)

隨價格p(t)

的增大而上升.

假定它們之間的關系也近似為

線性關系;

建模假設：(1)商品需求D(t)

隨價格p(t)

的增大而下降.

假定它們之間的關系近似為

線性關系

:(1)商品需求D(t)

隨價格p(t)

的增大而下降.

假定它們之間的關系近似為

線性關系

:第九頁，共七十三頁，2022年，8月28日

模型建立：

第十頁，共七十三頁，2022年，8月28日

模型分析：

當

時,

當時,

結論未能達到建模目的！說明商品價格是單調

地趨向平衡價格.

第十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日

建模假設的修改：

(3)*商品價格的變化速度p’(t)

與市場的過剩需求

D(t)

–S(t)對時間t

的累積量有關(即考慮過剩需求的時間滯后效應).

(2)商品供應S(t)

隨價格p(t)

的增大而上升.

假定它們之間的關系也近似為

線性關系;(1)商品需求D(t)

隨價格p(t)

的增大而下降.

假定它們之間的關系近似為

線性關系

:

假定它們之間成正比

:第十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

模型再建立：

商品價格隨時間演變而處在等幅震蕩

之中。結論還未能達到建模目的！第十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日

建模假設的再次修改：

假設(1)、(2)不變；(3)**商品價格的變化速度p’(t)

不僅與市場過剩需求

D(t)–S(t)

對時間t

的累積量有關,

還與當時的價格與平衡價格p*

的偏差程度有關

(即考慮健全的市場有政府宏觀調控因素),

假定它們之間也成正比，且比例系數

仍假定它們之間成正比

;(強調政府宏觀調控只是微調)。第十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日

模型又一次建立：

商品價格隨時間演變而呈現阻尼震蕩

現象

。該結論達到建模目的！模型可采用

第十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日2.微分方程模型在模型分析中的主要問題之一

——

穩(wěn)定性分析

用微分方程方法建立的動態(tài)模型問題模型分析中的一個重要問題是：當時間充分長后

，動態(tài)過程的變化趨勢

是什么？

微分方程模型中,

方程(組)+初始條件→解

初始條件的作用在于確定解,它的微小變化會產生不同的解，換言之，對解的發(fā)展性態(tài)變化,往往具有影響作用.

問題是這種對解的發(fā)展性態(tài)的影響作用是長期存在

的,

還是當時間充分大以后,影響作用會“消逝”

?

（1）微分方程模型的穩(wěn)定性及其實際意義

第十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日

有時候,初始條件的微小變化會導致解的性態(tài)隨時間變大后,產生顯著的差異,這時稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定

的;

有時候,初始條件變化導致解的性態(tài)差異會隨時間變大后而消失,這時稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

在實際問題中,初始狀態(tài)不能精確地而只能近似地確定,

所以穩(wěn)定性問題的研究對于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的實際意義。

也就是說，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中,長遠來看,最終發(fā)展結果與精確的初始狀態(tài)究竟如何,兩者之間沒有多大關系,初始狀態(tài)刻畫得精確不精確是無關緊要的。第十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日

微分方程穩(wěn)定性理論可以使我們在很多情況下不求解方程便可直接得到微分方程模型描繪的系統(tǒng)是穩(wěn)定

或不穩(wěn)定的結論。

研究者對于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于該方程解有無解析表達式的研究興趣。

在數學建模競賽活動中，很多問題中涉及到的微分方程是一類稱為自治系統(tǒng)的方程。

自治方程是指方程中不顯含自變量t

的微分方程，例如第十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日

自治方程中的解隨時間變大如果有穩(wěn)定的變化趨勢，則這個解的最終趨勢值只能是該方程的平衡點。的平衡點是指代數方程

的根（可能不止一個根）；的平衡點是指代數方程組的解（可能不止一組解）。

一階自治方程和二階自治方程組解的穩(wěn)定性理論

結果可簡介如下：

第十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日

非線性方程(一個方程)情況

形式

:x’(t)=f(x(t))

平衡點:解f(x)=0,得x=x0.注意:有時該方程的根不止一個.

穩(wěn)定意義

:當t→∞

時,如x→x0,則稱

x0

是穩(wěn)定的平衡點;否則稱

x0

是不穩(wěn)定平衡點.第二十頁，共七十三頁，2022年，8月28日

由此,當f’(x0)＜0時,x→x0;當f’(x0)＞0時,x→+∞.(c)一階非線性問題的穩(wěn)定性結論

:

根據有關數學理論,

一階非線性問題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與一階

線性問題結論完全相同..

研究方法

:(a)作f(x)

的線性替代(利用一元函數的泰勒展開式):

f(x)≈f’(x0)(x-x0)+f(x0)=f’(x0)(x-x0);(b)線性問題研究:求解x’=f’(x0)(x–x0),解得

第二十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日非線性方程(兩個方程)組情況

平衡點:解f(x,y)=0,得x=x0g(x,y)=0,y=y0.y’(t)=g(x(t),y(t))

形式:x’(t)=f(x(t),y(t)),

穩(wěn)定意義

:當t→+∞時,如x→x0,y→y0,則稱

(x0,y0)是穩(wěn)定的平衡點;否則稱(x0,y0)

是不穩(wěn)定平衡點.

上面的方程組有時可能不止一組解.第二十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

研究方法

:

作f(x,y)與g(x,y)的線性替代（利用二元函數的泰勒展開式）:

f(x,y)≈f’x(x0,y0)·(x-x0)+f’y(x0,y0)·(y-y0);g(x,y)≈g’x(x0,y0)·(x-x0)+g’y(x0,y0)·(y-y0).(b)

線性問題研究:

記a1=f’x(x0,y0),a2=f’y(x0,y0),b1=g’x(x0,y0),b2=g’y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1b2

-a2b1,

并無妨設x0=0,y0=0;

第二十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日求解

其中λ1,λ2

為特征方程r2+pr+q=0的兩根.這里λ1+λ2=-p,λ1?λ2=q

或寫為第二十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日(1)當p＞0,q＞0

時,

如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,λ1?λ2=q,

推得λ1

與λ2

均為負數，

故當t→+∞時，eλ1t

與eλ2

t

均趨于零，

系統(tǒng)穩(wěn)定

;

如果p2–4q＜0，由λ1+λ2=-p,λk=α±βi

中α為負數（k=1，2），

故當t→+∞時，eλk

t=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）也均趨于零，系統(tǒng)仍為穩(wěn)定的；第二十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日(2)

當p＜0時,

如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,可推出

λ1

與λ2中至少有一個為正數，

故當t→+∞時，eλ1t

與eλ2t中至少有一個趨于+∞，系統(tǒng)不穩(wěn)定;

如果p2–4q＜0，仍由λ1+λ2=-p,可推出

λk=α±βi（k=1，2）中α為正數，

故當t→+∞時,eλkt=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）趨于+∞，仍可推出系統(tǒng)不穩(wěn)定。第二十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日(3)當q＜0時,此時必定有p2–4q≥0，

此時系統(tǒng)也必不穩(wěn)定。

由λ1?λ2=q,可推出λ1

與λ2中至少有一個為正數，

故當t→+∞時，eλ1t

與eλ2t

中至少有一個趨于

+∞

，第二十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日

當p＞0,q＞0時,

相應的平衡點是穩(wěn)定的；

當p＜0或當q＜0時,

相應的平衡點是不穩(wěn)定的。綜述之，在線性方程組非臨界（p≠0)情況中

第二十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日

(C)非線性問題的穩(wěn)定性結論

:(i)若相應的線性問題是穩(wěn)定的,則對應非線性問題也是穩(wěn)定的；(ii)若相應的線性問題是不穩(wěn)定的,則對應非線性問題也是不穩(wěn)定的.

在非臨界情況下（p≠0)，第二十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日

微分方程穩(wěn)定性理論的應用實例——漁場防止捕撈過渡問題

建模目的：建立一個在有捕撈的情況下，漁場中魚量隨時間變化的數學模型，藉此研究魚量數隨時間變化的發(fā)展趨勢。

建模假設：(1)在無捕撈條件下，魚數量x(t)

的增長服從

Logistic

規(guī)律：

(2)有捕撈時，單位時間的捕撈量h與漁場魚量成正比：第三十頁，共七十三頁，2022年，8月28日

模型建立與分析：

令

當k＜r時,f’(x1)=r–k>0,x1

為不穩(wěn)定點,

f’(x2)=k–r<0,x2

為穩(wěn)定點；

當k＞r時,f’(x1)=r-k<0,x1

為穩(wěn)定點，

f’(x2)=k–r>0,x2

為不穩(wěn)定點.第三十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日

捕撈問題的深化——二元方程組情況

建模假設：(1)在無捕撈條件下，魚量數

x(t)

的增長服從

Logistic

規(guī)律：

(2)有捕撈時，單位時間的捕撈量h與漁場魚量成正比：(3)捕撈時，捕撈率k與時間t有關，其關于時間的增長率與捕魚獲得的凈利潤成正比：(4)魚的銷售單價與單位捕撈率的費用分別為常數

p與c：第三十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

模型建立與分析：

令

故平衡點(0,0)是不穩(wěn)定的；第三十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日

當pN＜c時,p2>0,q2>0;q3<0;(x2,k2)

是穩(wěn)定的，(x3,k3)

是不穩(wěn)定的；第三十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日

當pN>c時,q2<0;p3>0,q3>0;(x2,k2)

是不穩(wěn)定的，(x3,k3)

是穩(wěn)定的；第三十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日3.偏微分方程建模問題——休漁期魚群分布規(guī)律模型

建立實行休漁政策下近海魚群分布情況的數學模型。建模假設：(1)海岸線近似為直線；魚群只沿垂直于海岸線方向向外游動；故問題的空間維數可取為一維；海岸0外海x(2)

規(guī)定休漁區(qū)域在沿海l

公里以內；休漁邊界x=

l

外，魚群將全部被外海漁船打盡；

(3)

任何地點x、任何時刻

t

的魚群密度分布函數

u(x,t)

為可微函數；第三十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日(4)初始時刻的魚群密度分布函數u(x,0)為已知函數

u0(x)；(5)t時刻、x處魚群密度

u(x,t)的增長速度為已知函數f(u);(6)t時刻、x處魚群數向外游動的擴散量

與ux(x,t)成正比，比例系數為常數a2

：這個假設類似于熱量擴散問題中的Fourier法則。第三十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日建模過程

單位時間里，[a,b]段上魚群數的變化量為：

這個變化量可分為兩項之和，一項為單位時間里，殘留在[a,b]

段內的魚群數：

另一項為單位時間里，[a,b]

段內的新生魚群數：第三十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日

其中初邊值條件為：第三十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日0lxt

這個偏微分方程的初、邊值問題是適定的，即問題的解是存在、唯一的，且連續(xù)依賴于初邊值數據。第四十頁，共七十三頁，2022年，8月28日4.自由邊界問題

自由邊界問題是一類較為復雜的偏微分方程問題，這種類型的問題在各種各樣的應用中非常頻繁地出現，例如它可出現在物相變化過程、化學反應過程、生物擴散過程、土壤封凍解凍過程等等的物理、化學現象之中，

甚至還出現在金融衍生物價格計算、抵押貸款評估研究等等的經濟現象之中。

（1）一相Stefan問題

考慮一根套在與四周完全絕緣隔熱的管子中而正在融化的細冰棍；其右端為冰，左端為融化而成的水。擬建立一個融化水區(qū)域上任意點處溫度隨時間演變的模型。第四十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日

建模假設：

（1）假定冰區(qū)域溫度恒等于零度；

（2）假定水區(qū)域中熱量傳導服從

Fourier

定律，即

單位時間中高溫點到低溫點的熱流量大小與兩點之間的溫差成正比；由此可推出以下等式：

（3）假定水的密度ρ、比熱c

、熱傳導系數

k

和為了融化冰為水的潛熱

L均為常數。第四十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

取細棍的一小段[x,x+Δx],設細棍的截面積為s0

厘米2

；

記q(x,t)

為熱流密度（卡/秒·厘米2,單位時間內通過單位面積的熱量），

則在Δt時間內，沿x方向流入小段[x,x+Δx]的總熱量數近似為：q(x,t)·s0·Δt（卡）,

流出小段[x,x+Δx]的總熱量數近似為：

q(x+Δx,t)·s0·Δt（卡）,

流入小段與流出小段的熱量差使得小段中水的溫度升高，這個熱量差可以根據下式計算：（ρ·Δx·s0）·c·[u(x,t+Δt)–u(x,t)]（卡），第四十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日

這樣便可得：

根據Fourier定律，有：這個方程稱為熱傳導方程第四十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日

在融化而成的水域里，水的溫度u(x,t)

服從熱傳導方程：ut=a2uxx,x(0,s0),t(0,+).

為求解這個偏微分方程，還需知道左、右邊界值和初值。

在左邊界上水溫為已知函數：u(0,t)=u1(t)>0;

假定水溫的初值為已知函數：u(x,0)=

u0(x)；

由于右邊界端處的熱傳導，冰在不斷融化，故水域的右邊界是一條移動邊界，或稱為自由邊界。

這條自由邊界本身也是需要求解的未知一元函數！第四十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日0L冰水xts0x=s(t)

易知，在移動的右邊界s(t)

上水溫函數應滿足：

u(s(t),t)=0；為了決定自由邊界的位置，還需導出邊界上另一個條件。t1t2t3t4第四十六頁，共七十三頁，2022年，8月28日

設在Δt時段內，移動邊界向右移動了一段路程

Δx，

Δx為了融化邊界移動中消失的冰，需要一份熱量，其數量應是：

在Δt時段內，從邊界左邊水域中傳入陰影冰區(qū)域內的總熱量根據Fourier定律，應是：

兩者應該相等：第四十七頁，共七十三頁，2022年，8月28日

令Δt→0，可得：于是，融化水區(qū)域上任意點處溫度u(x,t)隨時間t

演變的模型為：xtx=s(t)0s0

偏微分方程理論研究證明了這個問題也是適定的。第四十八頁，共七十三頁，2022年，8月28日

（2）兩相Stefan問題

如果冰區(qū)域溫度不恒等于零度，該區(qū)域中也有熱傳導過程，則一相Stefan問題就變成了兩相Stefan問題。xtx=s(t)0s0L這個問題的適定性也已獲得證明。第四十九頁，共七十三頁，2022年，8月28日

（3）細胞體內氧氣的擴散與吸收問題

細胞體內氧氣的會向周邊擴散，在擴散的同時，細胞體也在吸收氧氣以維持生命；如果細胞得不到氧氣的供給將會死亡。建立一個描繪該擴散—吸收過程的數學模型。

為簡單計，以下只考慮一個一維細胞體模型。第五十頁，共七十三頁，2022年，8月28日

建模假設：

（1）假定氧氣在細胞體中從氧氣濃度大的左邊擴散至濃度小的右邊；在擴散中，擴散流量

q

的大小與左、右兩點的氧氣濃度c

的差成正比；即：

（2）假定任何時刻，每單位立方體的細胞體吸收氧氣的速度為一常數D

；

（3）某一時刻起，斷絕氧氣供給；缺乏氧氣的細胞體即行死亡，不再參與氧氣擴散過程。（k為擴散系數）第五十一頁，共七十三頁，2022年，8月28日細胞體末端

氧氣

考慮細胞體在位置

x

處、長為Δx

的一段細胞上擴散和吸收氧氣情況。

在Δt

時段內，經擴散進入這段細胞內的氧氣數量是:

經擴散流出這段細胞內的氧氣數量是:

這段細胞內氧氣的變化量是：

這段細胞氧氣的吸收量是：第五十二頁，共七十三頁，2022年，8月28日

進入量、流出量、變化量和吸收量之間應有關系：

根據假設（1），

氧氣擴散、吸收方程第五十三頁，共七十三頁，2022年，8月28日0xts0

在細胞體左端，在t=0

起斷絕氧氣輸入，故有：

在細胞體右末端x=s

處，始終有條件：

隨著氧氣的缺乏，右末端的細胞逐漸死亡，故有末端的位置隨時間而變動，形成一條自由邊界：

x=s(t).第五十四頁，共七十三頁，2022年，8月28日

氧氣擴散、吸收問題：

尋求未知函數對：{c(x,t)，s(t)}，使得它們滿足：第五十五頁，共七十三頁，2022年，8月28日

在初