初中數(shù)學(xué)華東師大版九年級(jí)下冊(cè)第二十七章圓2圓中的計(jì)算問題【市一等獎(jiǎng)】

課題：27.3圓中的相關(guān)計(jì)算第三課時(shí)圓錐的側(cè)面積和全面積＆.教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生了解圓錐的特征，了解圓錐的側(cè)面、底面、高、母線等概念，了解圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。2、使學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面積或全面積。3、通過實(shí)際問題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力。4、通過圓錐側(cè)面展開圖的教學(xué)，向?qū)W生滲透化曲面為平面，化立體圖形為平面圖形的“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)。＆.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：會(huì)進(jìn)行圓錐側(cè)面展開圖的計(jì)算，圓錐表面積的計(jì)算。難點(diǎn)：準(zhǔn)確進(jìn)行圓錐有關(guān)數(shù)據(jù)與展開圖有關(guān)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化。＆.教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入1、回顧：圓弧的弧長(zhǎng)公式是怎樣的？需注意些什么？扇形的面積公式是怎樣的？扇形面積與弧長(zhǎng)有什么關(guān)系？2、問題：我們學(xué)習(xí)了很多平面圖形面積的計(jì)算方法，而往往生活中還存在更多的立體的事物，比如我們常見的圣誕帽、蒙古包等等，你能計(jì)算這些物體的面積嗎？像這種含曲面的圖形的面積問題如何解決呢？二、探究新知§.探究圓錐的相關(guān)概念：教學(xué)方法：學(xué)生閱讀課本，了解概念，教師通過圖形加以講解，加深印象。＆.圓錐的相關(guān)概念：1、圓錐的組成：一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面。2、圓錐的母線：圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線。3、圓錐的高：連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高。§.探究圓錐和圓柱體的面積：動(dòng)手操作并思考：（1）圓柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？（2）圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形？（3）圓柱、圓錐是如何形成的？圖1圖1hOAlr圖2結(jié)論：把圓柱體的側(cè)面沿它的一條母線（給出母線的概念）剪開，展在一個(gè)平面上，側(cè)面的展開圖是矩形，如圖.把圓錐的側(cè)面沿它的一條母線（給出母線的概念，并與圓柱體的母線對(duì)比）剪開，展在一個(gè)平面上，側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖，它們都是旋轉(zhuǎn)體。問題：（1）如果圓柱體的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，如何計(jì)算圓柱體的側(cè)面積和全面積；（2）圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，如何計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積。教學(xué)方法：學(xué)生利用手中的圓錐、圓柱思考方法，小組討論.教師巡視過程中，對(duì)有困難的學(xué)生給予指點(diǎn)，對(duì)于好的思路給予表揚(yáng)。＆.圓柱體、圓錐的側(cè)面積和全面積：圓柱的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的矩形的面積（矩形的一邊是圓柱底面的周長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)恰好是圓柱的母線），全面積是側(cè)面積加上兩個(gè)底面的面積，即如果圓柱的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，那么圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的扇形的面積（扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑是圓錐的母線），全面積是側(cè)面積加上底面的面積，即如果圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，那么這個(gè)扇形的半徑為，扇形的弧長(zhǎng)為，因此圓錐的側(cè)面積為，注意：（1）在利用公式時(shí)，要分清圓錐側(cè)面積展開圖所得到的扇形各元素與圓錐各元素之間的關(guān)系。（2）若圓錐的母線長(zhǎng)為，高以及底面半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則有，已知、、中任意兩個(gè)量都可以求出第三個(gè)量。三、講解例題，鞏固新知題型一：圓錐的相關(guān)計(jì)算問題§.例1、如圖，半徑是圓紙片，剪去一個(gè)圓心角是的扇形（圖中的陰影部分），用剩余部分圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的高和底面圓的半徑。解析：要求底面圓的半徑，則需求出底面圓的周長(zhǎng)，即優(yōu)弧的長(zhǎng)，而圓錐的高依據(jù)勾股定理，由母線長(zhǎng)，底面圓的半徑可求得。OAB圖3解：設(shè)底面圓的半徑為，圓錐的高為，母線長(zhǎng)為OAB圖3則，由弧長(zhǎng)公式，可得：∴，解得：∴圓錐的高歸納：（1）注意明確圓錐的側(cè)面展開圖的實(shí)質(zhì)，明確各元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及母線、高線、底面半徑之間的聯(lián)系；（2）命題規(guī)律：利用圓錐底面圓周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖中弧長(zhǎng)的關(guān)系及圓錐的基本特征進(jìn)行計(jì)算。同步練習(xí)：將一塊弧長(zhǎng)為的半圓形鐵皮圍成一個(gè)圓錐（接頭忽略不計(jì)），則圍成的圓錐的高為（）、、、、題型二：圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算§.例2、圓錐型的煙囪帽的底面直徑為，母線長(zhǎng)為，求它的全面積及側(cè)面展開圖的圓心角。解：由圓錐的全面積計(jì)算公式得：設(shè)扇形圓心角為，則解得：同步練習(xí)：一個(gè)圓錐形零件的母線長(zhǎng)為，底面的半徑為，求這個(gè)圓錐形零件的側(cè)面積和全面積。（答案：側(cè)面積為，全面積為）§.例3、如圖（1），一個(gè)直角三角形紙板，兩條直角邊分別為和，小明以紙板的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)這個(gè)三角形紙板成如圖（2）所示的旋轉(zhuǎn)體，請(qǐng)你幫助小明推算出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的全面積。（?。﹫D4圖4（1）DABAC圖4（2）解析：這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是底面大小相同且相對(duì)的兩個(gè)圓錐，根據(jù)題意，上、下兩個(gè)圓錐的底面半徑是的斜邊上的高，上面圓錐的母線長(zhǎng)，下面圓錐的母線長(zhǎng)為，這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的全面積為兩個(gè)圓錐側(cè)面積的和。解：設(shè)，∴作于∵∴∴∴歸納：直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是一圓錐，繞斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是上下兩個(gè)圓錐，它們的底面兩圓相同。變式例題：如圖（1），一個(gè)直角三角形紙板，兩條直角邊分別為和，小明以紙板的直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，請(qǐng)你幫助小明推算出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的全面積。（?。﹫D5CA′OAPA圖6P圖5CA′OAPA圖6PA1QABA圖7B1題型三：圓錐側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離的求法§.例4、如圖，圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，底面圓周上有一只螞蟻，從點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐運(yùn)動(dòng)一周后回到原出發(fā)點(diǎn)，求這只螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程。解析：因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是扇形，所以由底面上一點(diǎn)沿圓錐面運(yùn)動(dòng)一周又回到出發(fā)了原出發(fā)點(diǎn)的最短路程實(shí)際上就是扇形中線段的長(zhǎng)度。解：根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)即為扇形的弧長(zhǎng)可得：解得：∴故過作于，則在中，，則由勾股定理得：∴答：這只螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為.歸納：“化曲為直”就是把曲面（圓錐的側(cè)面）展成平面（扇形，即圓錐的側(cè)面展開圖，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”是解決此類題的關(guān)鍵。同步練習(xí)：如圖，已知圓柱的高為，底面半徑為，軸截面上有兩點(diǎn)、，，，則圓柱側(cè)面上、兩點(diǎn)間的最短曲線長(zhǎng)是多少？答案：四、鞏固練習(xí)教材