初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第9章中心對(duì)稱(chēng)圖形――平行四邊形9．5三角形的中位線(xiàn)(t)

三角形的中位線(xiàn)一．選擇題1．如圖，DE是△ABC的中位線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線(xiàn)，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，則線(xiàn)段DF的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．103．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．34．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE=30°，DF=4，則BF的長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．2 D．45．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．1+6．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分別為AB、BC、AC中點(diǎn)，連接DF、FE，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是（）A．5 B．7 C．9 D．11二．填空題7．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BC=8，則DE=．8．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線(xiàn)，且EF=2，則AC的長(zhǎng)為．9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=BD，連接DM、DN、MN．若AB=6，則DN=．10．如圖，△ABC的面積為12cm2，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，則梯形DBCE的面積為cm2．11．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是．12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點(diǎn)，且AB=6cm，AC=8cm，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)等于cm．13．如圖，EF為△ABC的中位線(xiàn)，△AEF的周長(zhǎng)為6cm，則△ABC的周長(zhǎng)為cm．14．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線(xiàn)，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)，BM=3，點(diǎn)N是線(xiàn)段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DN，ME，DN與ME相交于點(diǎn)O．若△OMN是直角三角形，則DO的長(zhǎng)是．三．解答題15．如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE=AF；（2）求證：BE=（AB+AC）．16．如圖，已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E，并連結(jié)DE（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，若DE=4，求BC的長(zhǎng)．17．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長(zhǎng)．18．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？19．D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案，不需要說(shuō)明理由．）20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．21．（1）證明三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫(xiě)出已知、求證、證明；在證明過(guò)程中，至少有兩處寫(xiě)出推理依據(jù)（“已知”除外）]（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O，A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點(diǎn)，…，以此類(lèi)推．若?ABCD的周長(zhǎng)為1，直接用算式表示各四邊形的周長(zhǎng)之和l；（3）借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？22．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．23．已知兩個(gè)等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點(diǎn)C，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：MB∥CF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．24．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線(xiàn)性質(zhì)，可證得∠BME=∠CNE．）問(wèn)題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；問(wèn)題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明．25．如圖，已知AD與BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求證：CD∥AB；（2）求證：△BDE≌△ACE；（3）若O為AB中點(diǎn)，求證：OF=BE．

答案與解析一．選擇題1．（2023?廈門(mén)）如圖，DE是△ABC的中位線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【分析】首先根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出AE=EC，然后根據(jù)CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據(jù)AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推出EF=DE．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴E為AC中點(diǎn)，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線(xiàn)定理和平行線(xiàn)的性質(zhì)得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．2．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線(xiàn)，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，則線(xiàn)段DF的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC=EF=AC，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線(xiàn)定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．3．（2023?河南）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理求得BC邊的長(zhǎng)度，然后由三角形中位線(xiàn)定理知DE=BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，∴DE是△ACB的中位線(xiàn)，∴DE=BC=3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理．三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半．4．（2023?葫蘆島）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE=30°，DF=4，則BF的長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】先利用直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出AF即可解決問(wèn)題．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABF=30°，∴AF=AB=4，∴BF===4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．5．（2023?南充）如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．1+【分析】由“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”求得AB=2BC=2．然后根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求得DE=AB．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ACB的中位線(xiàn)，∴DE=AB=1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，即三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半．6．（2023?梧州）在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分別為AB、BC、AC中點(diǎn)，連接DF、FE，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】先根據(jù)三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，則可判斷四邊形DBEF為平行四邊形，然后計(jì)算平行四邊形的周長(zhǎng)即可．【解答】解：∵D、E、F分別為AB、BC、AC中點(diǎn)，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四邊形DBEF為平行四邊形，∴四邊形DBEF的周長(zhǎng)=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．二．填空題7．（2023?泉州）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BC=8，則DE=4．【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得到DE=BC，即可得到答案．【解答】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BC=8，∴DE=BC=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的中位線(xiàn)定理的理解和掌握，能正確運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．8．（2023?南京）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線(xiàn)，且EF=2，則AC的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位線(xiàn)，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得AC=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?隨州）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=BD，連接DM、DN、MN．若AB=6，則DN=3．【分析】連接CM，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到NM=CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=AB=3，等量代換即可．【解答】解：連接CM，∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四邊形DCMN是平行四邊形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中位線(xiàn)定理、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．（2023?涼山州）如圖，△ABC的面積為12cm2，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，則梯形DBCE的面積為9cm2【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)得出DE=BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再求出△ABC和△ADE的面積比值求出，進(jìn)而可求出梯形DBCE的面積．【解答】解：∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，∴DE是三角形的中位線(xiàn)，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面積為12cm2，∴△ADE的面積為3cm2，∴梯形DBCE的面積=12﹣3=9cm2，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ABC和△ADE的面積比值，題型較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．11．（2023?上海）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是．【分析】構(gòu)建三角形中位線(xiàn)定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可證明．【解答】解：如圖，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的面積比等于相似比的平方，屬于中考常考題型．12．（2023?張家界）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點(diǎn)，且AB=6cm，AC=8cm，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)等于14c【分析】首先證明四邊形ADEF是平行四邊形，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出DE、EF即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF的周長(zhǎng)=2（DE+EF）=14cm．故答案為14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是出現(xiàn)中點(diǎn)想到三角形中位線(xiàn)定理，記住三角形中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半，屬于中考?？碱}型．13．（2023?六盤(pán)水）如圖，EF為△ABC的中位線(xiàn)，△AEF的周長(zhǎng)為6cm，則△ABC的周長(zhǎng)為12c【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可直接得出結(jié)論．【解答】解：∵EF為△ABC的中位線(xiàn)，△AEF的周長(zhǎng)為6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理，熟知三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．14．（2023?沈陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線(xiàn)，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)，BM=3，點(diǎn)N是線(xiàn)段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DN，ME，DN與ME相交于點(diǎn)O．若△OMN是直角三角形，則DO的長(zhǎng)是或．【分析】分兩種情形討論即可①∠MN′O′=90°，根據(jù)=計(jì)算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得=計(jì)算即可．【解答】解：如圖作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于點(diǎn)O′，此時(shí)∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位線(xiàn)，∴DE∥BC，DE=BC=10，∵DN′∥EF，∴四邊形DEFN′是平行四邊形，∵∠EFN′=90°，∴四邊形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴=，∴=，∴DO′=．當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∵△DOE∽△EFM，∴=，∵EM==13，∴DO=，故答案為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，屬于中考?？碱}型．三．解答題15．（2023?淄博）如圖，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)為M，ME∥AD，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：AE=AF；（2）求證：BE=（AB+AC）．【分析】（1）欲證明AE=AF，只要證明∠AEF=∠AFE即可．（2）作CG∥EM，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，先證明AC=AG，再證明BE=EG即可解決問(wèn)題．【解答】證明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形，以及三角形中位線(xiàn)，屬于中考?？碱}型．16．（2023?廣東）如圖，已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E，并連結(jié)DE（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，若DE=4，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)即可．（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可解決．【解答】解：（1）作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)MN交AC于E，點(diǎn)E就是所求的點(diǎn)．（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖、三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法，記住三角形的中位線(xiàn)定理，屬于中考?？碱}型．17．（2023?北京）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得MN=AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)定理得BM=AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN=90°，根據(jù)BN2=BM2+MN2即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵M(jìn)N∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、直角三角形斜邊中線(xiàn)定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．18．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形．理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．19．D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案，不需要說(shuō)明理由．）【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，從而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：當(dāng)OA=BC時(shí)，平行四邊形DEFG是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關(guān)系，熟記的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠DEF=∠BAC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得DH=AD，F(xiàn)H=AF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DE、EF都是△ABC的中位線(xiàn)，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形；（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．21．（1）證明三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫(xiě)出已知、求證、證明；在證明過(guò)程中，至少有兩處寫(xiě)出推理依據(jù)（“已知”除外）]（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O，A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點(diǎn)，…，以此類(lèi)推．若?ABCD的周長(zhǎng)為1，直接用算式表示各四邊形的周長(zhǎng)之和l；（3）借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？【分析】（1）作出圖形，延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，然后根據(jù)“邊角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠ECF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行可得AD∥CF，然后證明四邊形BCFD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得DF∥BC且DF=BC，然后整理即可得證；（2）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出四邊形A1B1C1D1（3）根據(jù)規(guī)律，l的算式等于大正方形的面積減去最后剩下的一小部分的面積，然后寫(xiě)出結(jié)果即可．【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC且DE=BC，證明：如圖，延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠A=∠ECF（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∴AD∥CF，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴BD=CF且BD∥CF，∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴DF∥BC且DF=BC（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等），∵DE=EF=DF，∴DE∥BC且DE=BC；（2）∵A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，∴A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=∴四邊形A1B1C1D1的周長(zhǎng)=×1=同理可得，四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)=×=四邊形A3B3C3D3的周長(zhǎng)=×=…，∴四邊形的周長(zhǎng)之和l=1++++…；（3）由圖可知，+++…=1（無(wú)限接近于1），所以l=1++++…=2（無(wú)限接近于2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半的證明，利用面積法求等比數(shù)列的和，平行四邊形的判定與性質(zhì)，（1）作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形的和平行四邊形是解題的關(guān)鍵，（3）仔細(xì)觀(guān)察圖形得到部分與整體的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結(jié)論；（2）先判斷MN是△BDC的中位線(xiàn)，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，從而計(jì)算周長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴MN是△BDC的中位線(xiàn)，∴CD=2MN=6，故△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理及等腰三角形的判定，注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)高、角平分線(xiàn)重合的情況，都需要找到等腰三角形．23．已知兩個(gè)等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點(diǎn)C，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：MB∥CF；（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．【分析】（1）證法一：如答圖1a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明BM為△ADF的中位線(xiàn)即可；證法二：如答圖1b所示，延長(zhǎng)BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行證明MB∥CF即可，（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線(xiàn)，推出BM、ME是兩條中位線(xiàn)；解法二：先求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線(xiàn)，推出BM、ME是兩條中位線(xiàn)：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）證法一：如答圖1a，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴點(diǎn)B為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為線(xiàn)段AF的中點(diǎn)，∴BM為△ADF的中位線(xiàn)，∴BM∥CF．證法二：如答圖1b，延長(zhǎng)BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答圖2a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM=DF．分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答圖1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）證法一：如答圖3a，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM=DF．延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME=AG．在△ACG與△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．證法二：如答圖3b，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出中位線(xiàn)、全等三角形和等腰直角三