三角函數(shù)有關(guān)計(jì)算

三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算1直角三角形兩銳角的關(guān)系:兩銳角互余∠A+∠B=900直角三角形三邊的關(guān)系:勾股定理a2+b2=c2bABCa┌c直角三角形邊與角之間的關(guān)系:銳角三角函數(shù)正切tanA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊正弦sinA=余弦cosA=余切cotA=∠A的對(duì)邊斜邊∠A的鄰邊斜邊∠A的鄰邊∠A的對(duì)邊ca=cb=ba=ab=在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B為銳角，它們所對(duì)的邊分別為c、a、b，其中除直角c外，其余的5個(gè)元素之間有以下關(guān)系：

1、sin2A+cos2A=1同角三角函數(shù)之間的關(guān)系2、cotA=3、tanA={tanA=或tanA?cotA=1

}互余兩角的正弦、余弦及正切、余切間的關(guān)系sinA=cosB,cosA=sinBtanA=cotB，cotA=tanB條件：∠A+∠B=9003、cotA=特殊角三角函數(shù)值cotαtanαcosαsinα90°60°45°30°0°角度三角函數(shù)10011100不存在不存在角度逐漸增大在00—900之間，正弦、余弦及正切、余切隨角度變化而變化的規(guī)律是:當(dāng)角度在00—900間變化時(shí)，正弦值、正切值都隨著角度的增大而增大。當(dāng)角度在00—900間變化時(shí)，余弦值、余切值都隨著角度的增大而減小。銳角A的正弦值、余弦值的變化范圍：0＜sinA＜10＜cosA＜1直角三角形兩銳角的關(guān)系:兩銳角互余∠A+∠B=900直角三角形三邊的關(guān)系:勾股定理a2+b2=c2直角三角形邊與角之間的關(guān)系:銳角三角函數(shù)3、解直角三角形已知元素解法兩邊兩條直角邊a，b一條直角邊a和斜邊c一邊和一銳角一條直角邊a和銳角A斜邊c和銳角AbABCa┌c1、已知兩邊求角2、已知一邊一角求另一邊1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC=,則tan=

。C3．等腰三角形底角為30°，底邊長(zhǎng)為，則腰長(zhǎng)為()A.4B.

C.2D.60，1504.在△ABC中，∠C=90°，若BC=4cm，sinＡ=，則AC的長(zhǎng)是()A.6cmB.

cm

C.

cmD.cmBD5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，cosA=

BD=8，則AC=()

A.15B.16C.18D.一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為600，且兩邊的擺動(dòng)角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差（結(jié)果精確到0.01m）C解：如圖所示，有題意可知，

AC=OA-OC=2.5-2.165=0.34(m)答：最高位置與最低位置的高度差約為0.34m。6、如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60o，求BC的長(zhǎng)．解：過A點(diǎn)作AD⊥BC于D

在Rt△ABD中，

AD＝AB·sin60°

＝5×＝BD＝AB·cos60°

＝5×在Rt△ADC中，DC＝＝∴BC＝BD＋DC＝＝8D如圖，沿AC的方向修建高速公路，為了加快工程進(jìn)度，要在小山的兩邊同時(shí)施工。在AC上取一點(diǎn)B，在AC外另取一點(diǎn)D，使∠ABD＝150o，BD=380m，D=60o問開挖點(diǎn)Ｅ離D多遠(yuǎn)，正好使A、C、E在一條直線上？150o60o解：延長(zhǎng)AC交直線DE于點(diǎn)E。∴∠BED＝150°－60°＝90°在Rt△BED中.答：開挖點(diǎn)Ｅ離點(diǎn)D190m時(shí)，正好使A、C、E在一條直線上。380在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)河寬。如圖，某學(xué)生在點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊處有一點(diǎn)C，并測(cè)得∠CAD=450，在距離A點(diǎn)30米的B處測(cè)得∠CBD=300，求河寬CD（結(jié)果可帶根號(hào)）。C45°30°DAB在Rt△CBD中，∠CBD=30°設(shè)CD=x，則BD=x在Rt△CAD中，∵∠CAD=45°由AD-BD=AB，得∴答：河寬CD為米。解：30x已知：如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測(cè)得塔頂A的仰角分別為450和600，試求塔高與樓高（精確到0.01米）．（參考數(shù)據(jù)：＝1.41421…；＝1.73205…）解：由題意，在Rt△ABD中，BD＝80（米），∠BDA=60°∴AB＝BD·tan600＝80≈138.56（米）．在Rt△AEC中，EC＝BD＝80（米），∠ACE＝45°∴AE＝CE＝80（米）∴CD＝BE＝AB－AE＝80—80≈58.56（米）答：塔AB的高約為138.56米，樓CD的高約為58.56米．45060°80如圖，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9米．要建造梯AB，使每階高不超過20厘米，則此階梯最少要建______階．（最后一階的高不足20厘米時(shí)，按一階計(jì)算；取1.732）∴519.6÷20≈25.9826解：在RtABC中BC=AC?tanA=9×tan300=3×≈5.196（米）=519.6（厘米）三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算2如圖,當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，它走過了200m。已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為16?，纜車垂直上升的距離是多少？解：在Rt△ABC中

BC=ABsin160

≈200×0.2756≈55.12答：纜車垂直上升的距離是55.12m我們可以借助科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值.如圖,當(dāng)?shù)巧嚼|車?yán)^續(xù)由點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，它又走過了200m。已知纜車由點(diǎn)B到點(diǎn)D的行駛路線與水平面的夾角為42?，由此你還能計(jì)算出什么？用計(jì)算器求三角函數(shù)值要用到sin,cos和tan鍵,如求sin16?,cos42?,tan85?和sin72?38‘25“的按鍵順序如下：解：在Rt△ADE中，∠α＝32°，DE＝CB＝20米.∴AE＝CE?tanα＝20×0.6249≈12.498∴AB＝AE＋EB＝12.498＋1.2=13.698≈13.70米.答：旗桿的高度是13.70米。在如圖：光明中學(xué)初三（1）班的學(xué)生用自己制作的測(cè)傾器測(cè)量該校旗桿的高度。已知測(cè)傾器的桿高DC=1.2米，測(cè)得桿頂?shù)难鼋铅粒?2°(如圖)，測(cè)得點(diǎn)D到旗桿的水平距離BD=20m，求旗桿的高度AB(結(jié)果精確到0.01米).（參考數(shù)據(jù)：sin320≈0.5299,cos320≈0.8480，tan320≈0.6249）AEBCDα20為了方便行人推車過天橋，市政府在10m高的天橋兩端修建了40m長(zhǎng)的斜道。這條斜道的傾斜角是多少？AB40mC10m那么∠A是多少度呢?要解決這問題,我們可以借助科學(xué)計(jì)算器.解：如圖,在Rt△ABC中用科學(xué)計(jì)算器求銳角A（精確到1″）

若sinA=0.3456，則∠A=若cosA=0.3456，則∠A=若tanA=0.3456，則∠A=20°13′06″

19°03′54″

69°46′54″

如圖，工件上有一個(gè)V形槽，測(cè)得它的上口寬20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的大?。ńY(jié)果精確到1°）∴∠ACD≈27.50.∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50=550.∴V型角的大小約550.解：在Rt△ACD中如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤，在接受放射性治療時(shí)，為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側(cè)面照射。已知腫瘤在皮下6.3cm的A處，射線從腫瘤右側(cè)9.8cm的B處進(jìn)入身體，求射線的入射角度。解:如圖,在Rt△ABC中,AC=6.3cm,BC=9.8cm,∴∠B≈32044′13″.因此,射線的入射角度約為32044′13″.如圖,為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角α,把一根長(zhǎng)為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁,量出竹竿長(zhǎng)1m時(shí)它離地面的高度為0.6m,又量得竿頂與壩腳的距離BC=2.8m.這樣∠α求就可以算出來了.請(qǐng)