課程指導(dǎo)課2word版本

課程指導(dǎo)課23.電容與電容器計(jì)算電容的一般方法：先假設(shè)電容器的兩極板帶等量異號(hào)電荷，再計(jì)算出電勢(shì)差，最后代入定義式。理論和實(shí)驗(yàn)證明

C—充滿介質(zhì)時(shí)電容r—

相對(duì)介電常數(shù)(相對(duì)電容率）C0—真空中電容平板電容器圓柱形電容器球形電容器幾種常見(jiàn)電容器及其電容24.靜電場(chǎng)的能量電容器是一種儲(chǔ)能元件，在電路中用于調(diào)諧、濾波、耦合、旁路、能量轉(zhuǎn)換和延時(shí)。

以平行板電容器為例能量密度電場(chǎng)能量對(duì)電場(chǎng)空間積分3分析：（1）根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面電荷分布的規(guī)律，電荷QA均勻分布在球A表面，球殼B內(nèi)表面帶電荷-QA,外表面帶電荷QA+QB，電荷在導(dǎo)體表面均勻分布（圖(a)），由帶電球面電勢(shì)的疊加可求得球A和球殼B的電勢(shì)。1.在一半徑為R1=6.0cm的金屬球A外面套有一個(gè)同心的金屬球殼B。已知球殼B的內(nèi)、外半徑分別為R2=8.0cm，R3=10.0cm。設(shè)球A帶有總電荷QA=3.010-8C

，球殼B帶有總電荷QB=2.010-8C。（l）求球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢(shì)；（2）將球殼B接地然后斷開(kāi)，再把金屬球A接地，求球A和球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢(shì)。

o4解：（1）由分析可知，球A的外表面帶電3.010-8C，球殼B內(nèi)表面帶電-3.010-8C，外表面帶電5.010-8C。由電勢(shì)的疊加，球A和球殼B的電勢(shì)分別為外表面帶電荷QA+QB，電荷在導(dǎo)體表面均勻分布（圖(a)），由帶電球面電勢(shì)的疊加可求得球A和球殼B的電勢(shì)。（l）求球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢(shì)o5（2）將球殼B接地然后斷開(kāi)，再把金屬球A接地，求球A和球殼B內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A和球殼B的電勢(shì)。導(dǎo)體接地，表明導(dǎo)體與大地等電勢(shì)（大地電勢(shì)通常取為零）。球殼B接地后，外表面的電荷

與從大地流入的負(fù)電荷中和，球殼內(nèi)表面帶電-QA

（圖（b））。再將球A接地，球殼內(nèi)表面帶電-QA？斷開(kāi)球殼B的接地后，再將球A接地，此時(shí)球A的電勢(shì)為零。電勢(shì)的變化必將引起電荷的重新分布，以保持導(dǎo)體的靜電平衡、不失一般性可設(shè)此時(shí)球A帶電qA，根據(jù)靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷的分布規(guī)律，可知球殼B內(nèi)表面感應(yīng)-qA，外表面帶電qA-QA（圖（c））。此時(shí)球A的電勢(shì)可表示為

由

UA=0

可解出球A所帶的電荷qA，再由帶電球面電勢(shì)的疊加，可求出球A和球殼B的電勢(shì)。

6解：（2）將球殼B接地后斷開(kāi)，再把球A接地，設(shè)球A帶電qA，球A和球殼B的電勢(shì)為

解得

此時(shí)球A的電勢(shì)可表示為

由

UA=0

可解出球A所帶的電荷qA，再由帶電球面電勢(shì)的疊加，可求出球A和球殼B的電勢(shì)。

導(dǎo)體的接地使各導(dǎo)體的電勢(shì)分布發(fā)生變化，打破了原有的靜電平衡，導(dǎo)體表面的電荷將重新分布，以建立新的靜電平衡。72.一平行板電容器中充滿相對(duì)介電常量為er的各向同性均勻電介質(zhì)．已知介質(zhì)表面極化電荷面密度為±s′，則極化電荷在電容器中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為：

(A)．(B)．(C)．(D)．

[](A)參考解答：本題可做類比法處理（空氣）平板電容器極板上自由電荷面密度.電介質(zhì)極化后邊緣出現(xiàn)極化電荷面分布，在本例中為均勻面分布，設(shè)極化電荷面密度為′，其產(chǎn)生的電場(chǎng)可由類比法得到。83.C1和C2兩個(gè)電容器，其上分別標(biāo)明200pF(電容量)、500V(耐壓值)和300pF、900V．把它們串連起來(lái)在兩端加上1000V電壓，則

(A)C1被擊穿，C2不被擊穿．(B)C2被擊穿，C1不被擊穿．

(C)兩者都被擊穿．(D)兩者都不被擊穿．

[](C)

參考解答：電容器串連，總電容電容器串連，電量相同：所以，把它們串連起來(lái)在兩端加上1000V電壓時(shí)，其端電壓分別是：所以C1首先被擊穿，然后1000V電壓全部加在C2上，超出其耐壓值（900V），C2也被擊穿。94.一平板電容充電后極板上電荷面密度為0=4.510-5Cm-2?，F(xiàn)將兩極板與電源斷開(kāi)，然后再把相對(duì)電容率為r=2.0的電介質(zhì)插人兩極板之間。此時(shí)電介質(zhì)中的D、E和P各為多少？

解：介質(zhì)中的電位移矢量的大小

介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和極化強(qiáng)度的大小分別為

D、P、E方向相同，均由正極板指向負(fù)極板（圖中垂直向下）。

由有電介質(zhì)的高斯定理105.某介質(zhì)的相對(duì)電容率r=2.8，擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為18×106V·m-1

，如果用它來(lái)作平板電容器的電介質(zhì)，要制作電容為0.047F，而耐壓為4.0kV的電容器，它的極板面積至少要多大。

解：介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度

電容耐壓Um=4.0kV，因而電容器極板間最小距離

要制作電容為0.047F的平板電容器，其極板面積

顯然，這么大的面積平鋪開(kāi)來(lái)所占據(jù)的空間太大了，通常將平板電容器卷疊成筒狀后再封裝。116.如圖所示，一圓柱形電容器，內(nèi)筒半徑為R1，外筒半徑為R2(R2＜2R1)，其間充有相對(duì)介電常量分別為er1和er2＝er1/2的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R．若兩種介質(zhì)的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度EM相同，問(wèn)：(1)當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？(2)該電容器能承受多高的電壓？

OR1R2Rer2er1解：(1)設(shè)內(nèi)、外筒單位長(zhǎng)度帶電荷為＋l和－l．兩筒間電位移的大小為D＝l/(2pr)在兩層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為

E1=l/(2pe0

er1r)，E2=l/(2pe0

er2r)

在兩層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)最大處是各層介質(zhì)的內(nèi)表面處，即

E1M=l/(2pe0

er1R1)，E2M=l/(2pe0

er2R)

可得E1M/E2M=er2R/(er1R1)=R/(2R1)已知R1＜2R1，可見(jiàn)E1M＜E2M，因此外層介質(zhì)先擊穿．

126.如圖所示，一圓柱形電容器，內(nèi)筒半徑為R1，外筒半徑為R2(R2＜2R1)，其間充有相對(duì)介電常量分別為er1和er2＝er1/2的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R．若兩種介質(zhì)的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度EM相同，問(wèn)：(1)當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？(2)該電容器能承受多高的電壓？

OR1R2Rer2er1解：(1)E1M=l/(2pe0

er1R1)，E2M=l/(2pe0

er2R)

R1＜2R1，可見(jiàn)E1M＜E2M，因此外層介質(zhì)先擊穿．

(2)當(dāng)內(nèi)筒上電量達(dá)到lM，使E2M＝EM時(shí)，即被擊穿，lM=2pe0

er2REM

此時(shí)．兩筒間電壓(即最高電壓)為：137.電容為C0的平板電容器，接在電路中，如圖所示．若將相對(duì)介電常量為er的各向同性均勻電介質(zhì)插入電容器中(填滿空間)，則此時(shí)電容器的電容為原來(lái)的______倍，電場(chǎng)能量是原來(lái)的______倍．

答案：er

，er8.思考題：電勢(shì)能、電容器存貯的能量、電場(chǎng)的能量三者之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？參考解答:電勢(shì)能是電場(chǎng)中相對(duì)于電勢(shì)零點(diǎn)的電勢(shì)高低而具有的能量，其具體大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)；電容器存貯的能量是由充電過(guò)程中非靜電力克服靜電力做功而儲(chǔ)存在電容器中的能量；電場(chǎng)的能量是以場(chǎng)的形式儲(chǔ)存在電場(chǎng)空間中的能量。電勢(shì)能、電容器存貯的能量歸根結(jié)底都是電場(chǎng)的能量。149.思考題：用力F把電容器中的電介質(zhì)板拉出，在下述兩種情況下，

(1)充電后斷開(kāi)電源；(2)維持電源不斷開(kāi)。電容器中儲(chǔ)存的靜電能量是增加，減少還是不變？參考解答：(1)充電后斷開(kāi)電源，然后用力F把電容器中的電介質(zhì)板拉出前后，電容器兩極的電荷沒(méi)有發(fā)生變化，但由于電介質(zhì)的抽出會(huì)使其電容量減少，根據(jù)電容器的儲(chǔ)能公式：

其儲(chǔ)存的能量將增加，這部分能量來(lái)源于外力所作的功。(2)維持電源不斷開(kāi)，用力F把電容器中的電介質(zhì)板拉出前后，電容器兩端的電勢(shì)差維持不變，但由于電介質(zhì)的抽出仍然會(huì)使其電容量減少，根據(jù)電容器的儲(chǔ)能公式：

其儲(chǔ)存的能量將減少，這是由于在介質(zhì)抽出的過(guò)程中為維持其兩極板電勢(shì)差不變，電場(chǎng)力作了功的緣故。1510.如圖所示，一平板電容器，極板面積為S，兩極板之間距離為d，其間填有兩層厚度相同的各向同性均勻電介質(zhì)，其介電常量分別為e1和e2．當(dāng)電容器帶電荷±Q時(shí)，在維持電荷不變下，將其中介電常量為e1的介質(zhì)板抽出，試求外力所作的功．

解：可將上下兩部分看作兩個(gè)單獨(dú)的電容器串聯(lián)，兩電容分別為串聯(lián)后的等效電容為帶電荷±Q時(shí)，電容器的電場(chǎng)能量為

將e1的介質(zhì)板抽去后，電容器的能量為

外力作功等于電勢(shì)能增加，即+Q-Q

de1e21611.如圖所示，將兩極板間距離為d的平行板電容器垂直地插入到密度為r、相對(duì)介電常量為er的液體電介質(zhì)中．如維持兩極板之間的電勢(shì)差U不變，試求液體上升的高度h．解：設(shè)極板寬度為L(zhǎng)，液體未上升時(shí)的電容為

C0=e0HL/d

液體上升到h高度時(shí)的電