第2章電阻電路

第2章電路電路分析2.1支路電流法2.2網(wǎng)孔分析法2.3節(jié)點電位法2.4疊加定理、齊次定理和替代定理2.5等效電源定理2.6最大功率傳輸定理2.7小結(jié)第一節(jié)

支路電流法

在一個支路中的各元件上流經(jīng)的只能是同一個電流，支路兩端電壓等于該支路上相串聯(lián)各元件上電壓的代數(shù)和，由元件約束關(guān)系(VAR)不難得到每個支路上的電流與支路兩端電壓的關(guān)系，即支路的VAR。如圖所示，它的VAR為(2.1-1)2.1.1支路電流法如圖所示電路，它有3條支路，設(shè)各支路電流分別為i1,i2,i3,其參考方向標(biāo)示在圖上。問題是如何找到包含未知量i1,i2,i3

的3個相互獨立的方程組。

根據(jù)KCL，對節(jié)點a

和

b

分別建立電流方程。設(shè)流出節(jié)點的電流取正號，則有節(jié)點a

節(jié)點

b

(2.1-2)(2.1-3)

根據(jù)KVL，按圖中所標(biāo)巡行方向(或稱繞行方向)對回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別列寫KVL方程(注意：在列寫方程中，若遇到電阻，兩端電壓就應(yīng)用歐姆定律表示為電阻與電流乘積)，得回路Ⅰ回路Ⅱ回路Ⅲ(2.1-4)(2.1-5)(2.1-6)

當(dāng)未知變量數(shù)目與獨立方程數(shù)目相等時，未知變量才可能有唯一解。我們從上述5個方程中選取出3個相互獨立的方程如下：(2.1-7)應(yīng)用克萊姆法則求解(2.1-7)式。系數(shù)行列式Δ和各未知量所對應(yīng)的行列式Δj(j=1,2,3)分別為所以求得支路電流解出支路電流之后，再要求解電路中任何兩點之間的電壓或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如，若再要求解圖電路中的c

點與d

點之間電壓ucd

及電壓源us1所產(chǎn)生的功率

Ps1，可由解出的電流i1、i2、i3

方便地求得為2.1.2獨立方程的列寫(1)從n

個節(jié)點中任意擇其n-1個節(jié)點，依KCL列節(jié)點電流方程，則n-1個方程將是相互獨立的。(2)n個節(jié)點b

條支路的電路，用支路電流法分析時需b個相互獨立的方程，由KCL已經(jīng)列出了n－1個相互獨立的KCL方程，那么剩下的b－(n－1)個獨立方程當(dāng)然應(yīng)該由KVL列出。由KVL能列寫且僅能列寫的獨立方程數(shù)為b－(n－1)個。獨立回路可以這樣選?。菏顾x各回路都包含一條其他回路所沒有的新支路。對平面電路，如果它有

n

個節(jié)點、b

條支路，它的網(wǎng)孔數(shù)恰為b－(n－1)個，按網(wǎng)孔由KVL列出的電壓方程相互獨立。

歸納、明確支路電流法分析電路的步驟。

第一步：設(shè)出各支路電流，標(biāo)明參考方向。任取n－1個節(jié)點，依KCL列獨立節(jié)點電流方程(n

為電路節(jié)點數(shù))。

第二步：選取獨立回路(平面電路一般選網(wǎng)孔)，并選定巡行方向，依KVL列寫出所選獨立回路電壓方程。第五步：如果需要，再根據(jù)元件約束關(guān)系等計算電路中任何處的電壓、功率。

第三步：如若電路中含有受控源，還應(yīng)將控制量用未知電流表示，多加一個輔助方程。第四步：求解一、二、三步列寫的聯(lián)立方程組，就得到各支路電流。在分析之前，先標(biāo)出每條支路的電流參考方向，以及網(wǎng)孔的繞行方向。

例1

圖示電路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求電壓uab及各電源產(chǎn)生的功率。

解設(shè)支路電流i1,i2,i3

參考方向如圖中所標(biāo)。依KCL列寫節(jié)點a

的電流方程為選網(wǎng)孔作為獨立回路，并設(shè)繞行方向于圖上，由KVL列寫網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ的電壓方程分別為網(wǎng)孔Ⅱ(2.1-9)(2.1-10)(2.1-11)網(wǎng)孔Ⅰ用克萊姆法則求解(2.1-9)、(2.1-10)、(2.1-11)三元一次方程組。Δ與Δj分別為所以電流i1,i2,i3分別為電壓設(shè)電源us1,us2,us3

產(chǎn)生的功率分別為ps1,ps2,ps3,由求得的支路電流，可算得

例2

如圖所示電路中含有一電流控制電壓源，求電流i1、i2和電壓u。解本電路雖有3個支路，但有一個支路的電流是6A的電流源，所以只有兩個未知電流i1、i2。。另外，雖然本電路中含有受控電壓源，但它的控制量是電路中的一個未知電流，不需要再另外增加輔助方程。

對b點列寫KCL方程，有

i2=i1+6

(2.1-12)對回路A列寫KVL方程(注意把受控電壓源視為獨立電壓源一樣看待參與列寫基本方程)，有

1×i1+3i2+2i1=12

(2.1-13)

聯(lián)立(2.1-12)式和(2.1-13)式,解得

i1=－1A，

i2=5A再應(yīng)用KVL求得電壓為

u=3i2+2i1=3×5+2×(－1)=13V

例3

如圖所示電路中包含有電壓控制的電壓源，試以支路電流作為求解變量，列寫出求解本電路所必需的獨立方程組。(對所列方程不必求解。)解設(shè)各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖所示。應(yīng)用KCL、KVL及元件VAR列寫方程為

上述3個方程有i1、i2、i3及u14個未知量，無法求解，還必須尋求另一個獨立方程。將控制量u1用支路電流表示,即

u1=R1i1對節(jié)點a－i1+i2+i3=0對網(wǎng)孔Ⅰ

R1i1+R2i2+0=us對網(wǎng)孔Ⅱ

0－R2i2+(R3+R4)i3=μu1

例

圖示電路中，求

（1）各支路的電流。

（2）計算10Ω電阻的端電壓。

（3）計算各元件的功率。解（1）求各支路電流標(biāo)定各支路電流參考方向如圖所示，以節(jié)點b為參考節(jié)點，對獨立節(jié)點a列出KCL方程。選取兩個網(wǎng)孔，以順時針繞行方向列出3-（2-1）=2個獨立的KVL方程，得到即解此方程組得I1為負(fù)值，表明該支路電流的實際方向與標(biāo)定的方向相反，30V電源被充電。（2）計算10Ω電阻的端電壓（3）計算元件的功率兩個電源發(fā)出的功率為：可見第一條電源支路吸收功率，第二條電源支路提供功率。負(fù)載吸收的功率為：節(jié)點a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1個KCL方程：例列寫支路電流方程.(電路中含有理想電流源）解1.(2)b–(n–1)=2個KVL方程：7I1–11I2=70-Ua1270V6A7b+–I1I3I2711+U_11I2+7I3=U增補方程：I2=6A170V6A7b+–I1I3I2711a由于I2已知，故只列寫兩個方程節(jié)點a：–I1+I3=6避開電流源支路取回路列KVL：7I1＋7I3=70解2.節(jié)點a：–I1–I2+I3=0例

列寫支路電流方程.(電路中含有受控源）解11I2+7I3=5U7I1–11I2=70-5U增補方程：U=7I3a1270V7b+–I1I3I2711+5U_+U_有受控源的電路，方程列寫分兩步：(1)先將受控源看作獨立源列方程；(2)將控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中間變量。第二節(jié)

網(wǎng)孔分析法2.2.1網(wǎng)孔電流欲使方程數(shù)目減少，必使求解的未知量數(shù)目減少。在一個平面電路里，因為網(wǎng)孔是由若干條支路構(gòu)成的閉合回路，所以它的網(wǎng)孔個數(shù)必定少于支路個數(shù)。如果我們設(shè)想在電路的每個網(wǎng)孔里有一假想的電流沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各支路循環(huán)流動，如圖所示中實線箭頭所示，把這一假想的電流稱作網(wǎng)孔電流。網(wǎng)孔電流是完備的電路變量。例如圖所示電路中，i1=iA,i2=iB,i3=iC。如果某支路屬于兩個網(wǎng)孔所共有，則該支路上的電流就等于流經(jīng)該支路二網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。例如圖所示電路中支路電流i4,它等于流經(jīng)該支路的

A、C

網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。與支路電流方向一致的網(wǎng)孔電流取正號，反之取負(fù)號，即有2.2.2網(wǎng)孔電流法對平面電路，以假想的網(wǎng)孔電流作未知量，依KVL列出網(wǎng)孔電壓方程式(網(wǎng)孔內(nèi)電阻上電壓通過歐姆定律換算為電阻乘電流表示)，求解出網(wǎng)孔電流，進(jìn)而求得各支路電流、電壓、功率等，這種求解電路的方法稱網(wǎng)孔電流法(簡稱網(wǎng)孔法)。應(yīng)用網(wǎng)孔法分析電路的關(guān)鍵是如何簡便、正確地列寫出網(wǎng)孔電壓方程。

設(shè)圖電路中網(wǎng)孔電流

iA,iB,iC,其參考方向即作為列寫方程的巡行方向。按網(wǎng)孔列寫KVL方程如下：網(wǎng)孔A

R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0網(wǎng)孔B

R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0網(wǎng)孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0為了便于應(yīng)用克萊姆法則求解上述3個方程，需要按未知量順序排列并加以整理，同時將已知激勵源也移至等式右端。這樣，整理改寫上述3個式子得(2.2-1)(2.2-2)(2.2-3)

觀察(2.2-1)式，可以看出：iA前的系數(shù)(R1+R4+R5)恰好是網(wǎng)孔A

內(nèi)所有電阻之和，稱它為網(wǎng)孔A的自電阻，以符號R11表示；iB

前的系數(shù)(+R5)是網(wǎng)孔

A

和網(wǎng)孔B

公共支路上的電阻，稱它為網(wǎng)孔

A

與網(wǎng)孔B

的互電阻，以符號R12表示。(2.2-1)由于流過R5

的網(wǎng)孔電流iA、iB

方向相同，故R5前為

“+”號；iC

前系數(shù)(－R4)是網(wǎng)孔

A和網(wǎng)孔C公共支路上的電阻，稱它為網(wǎng)孔A

與網(wǎng)孔C

的互電阻，以符號

R13表示，由于流經(jīng)R4

的網(wǎng)孔電流iA、iC

方向相反，故R4

前取“－”號；等式右端us1－us4表示網(wǎng)孔A中電壓源的代數(shù)和，以符號us11表示，計算us11時遇到各電壓源的取號法則是，在巡行中先遇到電壓源正極性端取負(fù)號，反之取正號。(2.2-1)用同樣的方法可求出(2.2-2)、(2.2-3)式的自電阻、互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源，即

歸納總結(jié)得到應(yīng)用網(wǎng)孔法分析具有3個網(wǎng)孔電路的方程通式(一般式)，即(2.2-4)如果電路有m

個網(wǎng)孔，也不難得到列寫網(wǎng)孔方程的通式為…(2.2-5)因取網(wǎng)孔電流方向作為列寫KVL方程的巡行方向，所以各網(wǎng)孔的自電阻恒為正；為了使方程通式形式整齊統(tǒng)一，故把公共支路電阻上電壓的正負(fù)號歸納在有關(guān)的互電阻中，求互電阻時就要注意取正號或取負(fù)號的問題。在應(yīng)用方程通式列方程時要特別注意“取號”問題：

求等效電壓源時遇電壓源的取號法則表面上看起來與應(yīng)用∑u=0列方程時遇電壓源的取號法則相反，實際上二者是完全一致的，因為網(wǎng)孔方程的us11(或us22、

us33)是直接放在等式右端的。

兩網(wǎng)孔電流在流經(jīng)公共支路時方向一致，互電阻等于公共支路上電阻相加取正號，反之，取負(fù)號；例3

如圖所示電路，求各支路電流。

解本問題有6個支路，3個網(wǎng)孔，用支路電流法需解6元方程組，而用網(wǎng)孔法只需解3元方程，顯然網(wǎng)孔法要比支路電流法簡單得多。

第二步：觀察電路直接列寫方程。觀察電路心算求自電阻、互電阻、等效電壓源數(shù)值，代入方程通式即寫出所需要的方程組。

第一步：設(shè)網(wǎng)孔電流iA,iB,iC

如圖所示。一般網(wǎng)孔電流方向即認(rèn)為是列KVL方程時的巡行方向。代入(2.2-4)式得(2.2-6)

第三步：解方程得各網(wǎng)孔電流。用克萊姆法則解(2.2-6)式方程組，各相應(yīng)行列式為于是各網(wǎng)孔電流分別為

第四步：由網(wǎng)孔電流求各支路電流。設(shè)各支路電流參考方向如圖所示，根據(jù)支路電流與網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系，得第五步：如果需要，可由支路電流求電路中任何處的電壓、功率。例4

對圖所示電路，求電阻

R上消耗的功率pR。解本題并不需要求出所有支路電流，為求得R上消耗的功率，只需求出R上的電流即可。如果按圖(a)設(shè)網(wǎng)孔電流，需解出iA、

iC兩個網(wǎng)孔電流才能求得R上的電流，即iR=iA－iC。若對電路做伸縮扭動變形，由圖(a)變換為圖(b)(注意節(jié)點2、4的變化),按圖(b)設(shè)網(wǎng)孔電流iA、iB、iC，使所求支路電流iR恰為網(wǎng)孔C的網(wǎng)孔電流。按(2.2-4)式列寫方程:(2.2-7)化簡(2.2-7)式(第二個方程可兩端相約化簡)得由化簡的方程組求得進(jìn)而可求得例5

求圖所示電路中的電壓uab。

解：

設(shè)網(wǎng)孔電流iA,iB

如圖中所標(biāo)，觀察電路，應(yīng)用方程通式列基本方程為由圖可以看出控制量ux

僅與回路電流iB

有關(guān)，故有輔助方程（2.2-8）（2.2-9）將(2.2-9)式代入(2.2-8)式并經(jīng)化簡整理，得（2.2-10）解(2.2-10)方程組，得所以例6

對圖所示電路，求各支路電流。解本題圖(a)所示的兩個網(wǎng)孔的公共支路上有一理想電流源。如果按圖(a)所示電路設(shè)出網(wǎng)孔電流，如何列寫網(wǎng)孔方程呢？網(wǎng)孔方程實際上是依KVL列寫的回路電壓方程，即網(wǎng)孔內(nèi)各元件上電壓代數(shù)和等于零，那么在巡行中遇到理想電流源(或受控電流源)，它兩端電壓取多大呢？根據(jù)電流源特性，它的端電壓與外電路有關(guān)，在電路未求解出之前是未知的。這時可先假設(shè)該電流源兩端電壓為ux，把ux當(dāng)做理想電壓源一樣看待列寫基本方程。因為引入了電流源兩端電壓ux這個未知量，所以列出的基本方程就少于未知量數(shù)，必須再找一個與之相互獨立的方程才可求解。這個方程也是不難找到的，因為理想電流源所在支路的支路電流i3等于is，i3又等于二網(wǎng)孔電流代數(shù)和，這樣就可寫輔助方程，即

iB－iA=is用網(wǎng)孔法求解圖(a)電路所需的方程為(2.2-11)

將圖(a)電路伸縮扭動變形，使理想電流源所在支路單獨屬于某一網(wǎng)孔，如圖(b)電路所示。理想電流源支路單獨屬于網(wǎng)孔B，設(shè)B

網(wǎng)孔電流iB

與is方向一致，則所以只需列出網(wǎng)孔

A

一個方程即可求解。網(wǎng)孔A

的方程為所以進(jìn)一步可求得電流(2.2-12)例

用網(wǎng)孔電流法求解電流

i解選網(wǎng)孔為獨立回路：i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i例

列出網(wǎng)孔電流方程。解：本例中電流源支路僅屬于一個網(wǎng)孔，則該網(wǎng)孔電流是已知的?？墒〉粼摼W(wǎng)孔的KVL方程。例

列出網(wǎng)孔電流方程。解法一：假設(shè)電壓法本例中電流源接在兩個網(wǎng)孔間，各網(wǎng)孔的KVL方程均不可省，注意在方程中不要漏掉電流源的電壓。（補充方程）解法二：重選獨立回路法使電流為一個回路所擁有，則該電流就是電流源電流，可減少一個方程。69第三節(jié)

節(jié)點電位法2.3.1節(jié)點電位在電路中，任選一節(jié)點作參考點，其余各節(jié)點到參考點之間的電壓稱為相應(yīng)各節(jié)點的電位。如圖所示電路，選節(jié)點4作參考點(亦可選其他節(jié)點作參考點)，設(shè)節(jié)點1、2、3的電位分別為v1、v2、v3。顯然，這個電路中任何兩點間的電壓，任何一支路上的電流，都可應(yīng)用已知的節(jié)點電位求出。例如，支路電流電導(dǎo)G5

吸收的功率對電路中任何一個回路列寫KVL方程，回路中的節(jié)點，其電位一定出現(xiàn)一次正號一次負(fù)號。例如圖中

A

回路，由KVL列寫方程為將上式中各電壓寫為電位差表示，即有節(jié)點電位變量是相互獨立的變量。

2.3.2節(jié)點電位法以各節(jié)點電位為未知量，將各支路電流通過支路VAR用未知節(jié)點電位表示，依KCL列節(jié)點電流方程(簡稱節(jié)點方程)，求解出各節(jié)點電位變量，進(jìn)而求得電路中需要求的電流、電壓、功率等，這種分析法稱為節(jié)點電位法。(2.3-2)現(xiàn)在依KCL列出節(jié)點1，2，3的KCL方程，設(shè)流出節(jié)點的電流取正號，流入節(jié)點的電流取負(fù)號，可得節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3(2.3-3)將(2.3-2)式代入(2.3-3)式，得(2.3-4)為了方便應(yīng)用克萊姆法則求解，將(2.3-4)式按未知量順序重新排列，已知的電流源移至等式右端并加以整理，得(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)

觀察整理后的方程，變量v1前的系數(shù)(G1+G5)恰是與第一個節(jié)點相連各支路的電導(dǎo)之和，稱為節(jié)點1的自電導(dǎo)，以符號G11表示。變量v2前系數(shù)(-G1),它是

1與2節(jié)點間的互電導(dǎo)，以符號G12表示，它等于與該兩節(jié)點相連的公共支路上電導(dǎo)之和，并取負(fù)號。

v3

前系數(shù)(－G5)是節(jié)點

1與節(jié)點3之間的互電導(dǎo)，以G13表示，它等于與節(jié)點1、3相連的公共支路上電導(dǎo)之和，并取負(fù)號。等式右端is1－is2

是流入節(jié)點1的電流源的代數(shù)和，以符號is11表示，稱為等效電流源。計算is11

時是以流入節(jié)點1的電流源為正，流出節(jié)點1的電流源為負(fù)。

歸納總結(jié)得到應(yīng)用節(jié)點法分析具有3個獨立節(jié)點電路的方程通式(一般式)，即(2.3-8)

如果電路有

n

個獨立節(jié)點，我們也不難得到列寫節(jié)點方程的通式為…(2.3-9)

例7

如圖所示電路，求電導(dǎo)G1、G2、G3

中的電流及圖中3個電流源分別產(chǎn)生的功率。

解采用節(jié)點電位法求解。

第一步：選參考點，設(shè)節(jié)點電位。對本問題，選節(jié)點4為參考點，設(shè)節(jié)點1、2、3的電位分別為v1、v2,v3。若電路接地點已給出，就不需要再選參考點，只需設(shè)出節(jié)點電位就算完成了這一步。

第二步：觀察電路，應(yīng)用(2.3-8)或(2.3-9)式直接列寫方程。一般計算求出各節(jié)點的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)和等效電流源數(shù)值，代入通式寫出方程。當(dāng)然寫出求自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源的過程亦可以。將求得的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源代入式(2.3-8)，得(2.3-10)

第三步：解方程，求得各節(jié)點電位。用克萊姆法則解方程組

第四步：由求得的各節(jié)點電位，求題目中需要求的各量。我們先求3個電導(dǎo)上的電流。設(shè)通過電導(dǎo)G1、G2、G3

的電流分別為

i1、i2、i3,參考方向如圖中所標(biāo)，由歐姆定律電導(dǎo)形式可算得3個電流分別為

再求電流源產(chǎn)生功率。設(shè)ps1、ps2、ps3分別代表電流源is1、is2、is3產(chǎn)生的功率。由計算一段電路產(chǎn)生功率的公式，算得

例8如圖（a）所示電路中，各電壓源、電阻的數(shù)值如圖上所標(biāo)，求各支路上的電流。解在一些電路里，常給出電阻參數(shù)和電壓源形式的激勵。在這種情況下應(yīng)用節(jié)點法分析時，可先應(yīng)用電源互換將電壓源形式變換為電流源形式，各電阻參數(shù)換算為電導(dǎo)參數(shù)，如圖(b)所示。在(b)圖中，設(shè)節(jié)點3為參考點，并設(shè)節(jié)點1、2的電位分別為

v1,v2,可得方程組為

化簡上方程組，得(2.3-11)解(2.3-11)方程組，得所以，節(jié)點電位圖(b)所求的各節(jié)點電位數(shù)值也就是(a)圖相應(yīng)節(jié)點的電位值。在圖(a)中設(shè)出各支路電流，由支路VAR,得在熟練掌握節(jié)點法之后，可不畫如圖(b)所示的等效電路，而由圖(a)所示電路就可直接列寫出方程。但要注意：

列寫方程時電阻要換算為電導(dǎo)；

計算節(jié)點等效電流源時，該電流源的數(shù)值等于電壓源電壓除以該支路的電阻，其符號這樣確定：若電壓源正極性端向著該節(jié)點a,則電流源電流方向指向該節(jié)點，取正號；反之，則電流源電流方向背向該節(jié)點，取負(fù)號。例9

對圖所示電路，求

u與

i。

解(1)若原電路沒有指定參考點，可選擇其理想電壓源支路所連的兩個節(jié)點之一作參考點，選節(jié)點4作為參考點，這時節(jié)點1的電位v1=2V，可作為已知量，這樣可少列一個方程。設(shè)節(jié)點2、3的電位分別為v2、v3,

由電路可寫方程組(2.3-12)由歐姆定律，求得因為電壓所以電壓

以節(jié)點3作參考點，設(shè)節(jié)點4的電位為v4,對這個電路列寫的方程組為(輔助方程)例10

對圖所示電路，求v1,i1。解原電路已經(jīng)指定參考點，就不能另選參考點。

由電源互換等效將圖（a）等效為圖（b）。(輔助方程)例

求解圖示電路節(jié)點的電壓和電流源發(fā)出的功率。解：節(jié)點1的方程：節(jié)點2的方程：解得：V1=14VV2=10V電流源兩端的電壓電流源發(fā)出的功率為：例

用節(jié)點電位法求圖中各支路的電流解：設(shè)電路中C點為零電位點，則：對節(jié)點B有：

對于節(jié)點D有：聯(lián)立求解可得：＋－IR1－＋US23V6Ω4Ω8Ω8ΩR1R2R3R412VUS1IR2IR3IR41234I又因：對節(jié)點A有：由歐姆定律得到：＋－IR1－＋US23V6Ω4Ω8Ω8ΩR1R2R3R412VUS1IR2IR3IR41234節(jié)點電位法使用注意事項：（1）列節(jié)點方程時，自電導(dǎo)前總是正，互電導(dǎo)前總是負(fù)。（2）表示流入節(jié)點j的電流的代數(shù)和，流入節(jié)點j的電流取正號，流出節(jié)點的j電流取負(fù)號。（3）參考點選擇：其一，使參考點與盡量多的節(jié)點相鄰；其二，如果電路含有理想電壓源支路，應(yīng)選擇理想電壓源所連的兩個節(jié)點之一作參考點。（4）與理想電流源串聯(lián)的電阻不影響各個節(jié)點的電位（因為理想電流源的內(nèi)阻為無窮大）。（5）與理想電壓源并聯(lián)的電阻兩端電壓恒定，對其它支路的電流和各節(jié)點的電位不產(chǎn)生任何影響。（6）對含有受控源的電路，在列節(jié)點方程時應(yīng)將它與獨立源同樣對待，需要時再將控制量用節(jié)點電位表示。第四節(jié)

疊加定理、齊次定理和替代定理

2.4.1疊加定理

對于圖所示電路，如求電流i1，我們可采用網(wǎng)孔法。設(shè)網(wǎng)孔電流為iA、iB。由圖可知iB=is，對網(wǎng)孔A列出的KVL方程為

(R1+R2)iA+R2is=us

所以于是(2.4-1)

(2.4-1)式告訴我們，第一項只與us有關(guān)，第二項只與is有關(guān)。如令i1′=us/(R1+R2)，i1″=R1is/(R1+R2)，則可將電流

i1寫為

i1=i1′+i1″

式中:i1′可看做僅有us作用而is不作用(is=0，視為開路)時R2上的電流，如圖(b)所示;i1″可看做僅有is作用而us不作用(us=0，視為短路)時R2上的電流,如圖(c)所示。

疊加定理

在線性電路中，任一支路的電流(或電壓)可以看成是電路中每一個獨立電源單獨作用于電路時，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。

例11

如圖(a)所示電路，求電壓uab和電流i1。解本題獨立源數(shù)目較多，每一個獨立源單獨作用一次，需作4個分解圖，分別計算4次，比較麻煩。這里采用獨立源“分組”作用，即3A獨立電流源單獨作用一次，其余獨立源共同作用一次，作兩個分解圖，(b)、(c)所示。由圖(b)，得由圖(c)，得所以，由疊加定理得

例12

如圖(a)所示電路，含有一受控源，求電流i和電壓u。解根據(jù)應(yīng)用疊加定理分析含有受控源的電路問題時受控源不要單獨作用的勸告，作分解圖如圖(b)、(c)所示。由圖2.4-3(b)，得所以i′=2A，u′=3i′=3×2=6V由圖2.4-3(c)，根據(jù)KVL，有

2i″+1×(5+i″)+2i″=0

可解得i″=－1A，u″=－2i″=－2(－1)=2V

故得

i=i′+i″=2+(－1)=1A

u=u′+u″=6+2=8V

例

如圖所示電路，含有一受控源，求電流i和電壓u。

例

如圖所示電路，含有一受控源，求電流i和電壓u。

疊加定理幾點說明1）疊加定理只適用于線性電路。2）單獨作用一個電源作用，其余電源為零電壓源為零—短路。電流源為零—開路。3）代數(shù)和

u,i疊加時要注意各分量的參考方向。4）含受控源(線性)電路亦可用疊加，但疊加只適用于獨立源，受控源應(yīng)始終保留。5）疊加原理適用于電流和電壓，而不適用于功率。2.4.2齊次定理線性電路另一個重要特性就是齊次性(又稱比例性或均勻性)，把該性質(zhì)總結(jié)為線性電路中另一重要的定理——齊次定理。齊次定理表述為：當(dāng)一個激勵源(獨立電壓源或獨立電流源)作用于線性電路時，其任意支路的響應(yīng)(電壓或電流)與該激勵源成正比。

例13

圖為一線性純電阻網(wǎng)絡(luò)NR，其內(nèi)部結(jié)

構(gòu)不詳。已知兩激勵源us、is是下列數(shù)值時的實驗數(shù)據(jù)為當(dāng)us=1V，

is=1A時，響應(yīng)u2=0；當(dāng)us=10V，is=0時，響應(yīng)u2=1V。問當(dāng)us=30V，is=10A時，響應(yīng)u2為多少?解本例介紹應(yīng)用疊加定理與齊次定理研究一個線性網(wǎng)絡(luò)激勵與響應(yīng)關(guān)系的實驗方法。由于us和is為兩個獨立的激勵源，根據(jù)疊加定理、齊次定理，設(shè)響應(yīng)

u2=k1us+k2is

(2.4-7)

式中：

k1、k2為未知的比例常數(shù)，其中k1無量綱，k2的單位為Ω。將已知的實驗數(shù)據(jù)代入(2.4-7)式，得

k1×1+k2×1=0

k1×10+k2×0=1

(2.4-8)

解(2.4-8)式，得

k1=0.1，

k2=－0.1Ω

將k1、k2的數(shù)值及us=30V、is=10A代入(2.4-7)式，即得

u2=0.1×30+(－0.1)×10=2V例：已知U=68V，求各支路電流

i。

替代定理可表述為：具有唯一解的電路中，若知某支路k的電壓為uk，電流為ik，且該支路與電路中其他支路無耦合，則無論該支路是由什么元件組成的，都可用下列任何一個元件去替代：

2.4.3替代定理(1)電壓等于uk的理想電壓源；

(2)電流等于ik的理想電流源；

(3)阻值為uk/ik的電阻Rk。替代以后該電路中其余部分的電壓、電流、功率均保持不變。如圖所示是替代定理示意圖。

例14

如圖(a)所示電路，求電流i1。解這個電路看起來比較復(fù)雜，但如果將短路線壓縮，

ab合并為一點，3Ω與6Ω電阻并聯(lián)等效為一個2Ω的電阻，(b)所示。再把圖(b)中虛線框起來的部分看做一個支路k，且知這個支路的電流為4A(由圖(b)中下方4A理想電流源限定)，應(yīng)用替代定理把支路k用4A理想電流源替代，如圖(c)所示。再應(yīng)用電源互換將圖(c)等效為圖(d),即可解得可由圖(a)直接畫出最簡等效圖(d)。例15

如圖所示電路，巳知uab=0，求電阻R。解本電路中有一個未知電阻R，直接應(yīng)用網(wǎng)孔法或節(jié)點法求解比較麻煩。這是因為未知電阻R在所列方程的系數(shù)里，整理化簡方程的工作量比較大。如果根據(jù)已知的uab=0條件求得ab支路電流i，即

uab=－3i+3=0→i=1A

先用1A理想電流源替代ab支路，如圖(b)所示。在圖(b)里，選節(jié)點d作參考點，并設(shè)節(jié)點電位

va、vb、vc。由圖可知,vc=20V。

解之，得va=8V因uab=0，所以vb=va=8V。

對節(jié)點a列方程,有在圖(a)中設(shè)出支路電流i1、iR及電壓uR。由歐姆定律及KCL，得第五節(jié)

等效電源定理

2.5.1戴維寧定理某線性含源二端網(wǎng)絡(luò)的化簡

一個含獨立源、線性受控源、線性電阻的二端網(wǎng)絡(luò)，對其兩個端子來說都可以等效為一個理想電壓源串聯(lián)內(nèi)阻的模型。其理想電壓源的數(shù)值為有源二端網(wǎng)絡(luò)N的兩個端子間的開路電壓uoc,串聯(lián)內(nèi)阻為N內(nèi)部所有獨立源等于零（理想電壓源短路，理想電流源開路），受控源保留時兩端子之間的等效電阻Req，常記為R0。戴維寧定理

開路電壓uoc可以這樣求?。合葘⒇?fù)載支路斷開，設(shè)出uoc的參考方向，然后計算該電路的端電壓uoc，其計算方法視具體電路形式而定。前面講過的串、并聯(lián)等效，分流分壓關(guān)系，電源互換，疊加定理，網(wǎng)孔法，節(jié)點法等都可應(yīng)用，亦可用戴維寧定理。

(1)開路、短路法。即在求得電路N兩端子間開路電壓uoc后，將兩端子短路，并設(shè)端子短路電流isc參考方向(注意：若uoc參考方向是a為高電位端，則isc的參考方向設(shè)成從a流向b)，應(yīng)用所學(xué)的任何方法求出isc，則等效內(nèi)阻(2.5-1)求uoc、isc時N內(nèi)所有的獨立源、受控源均保留。

求R0常用方法：

(2)外加電源法。令N內(nèi)所有的獨立源為0(理想電壓源短路，理想電流源開路)，若含有受控源，受控源要保留，這時的二端電路用N0表示，在N0兩端子間外加電源。若加電壓源u，就求端子上電流i(i與u對N0二端電路來說參考方向關(guān)聯(lián))，如圖(a)所示；若加電流源i，就求端子間電壓u，如圖(b)所示。N0兩端子間等效電阻(2.5-2)2.5.2諾頓定理

一個含獨立源、線性受控源、線性電阻的二端網(wǎng)絡(luò)，對其兩個端子來說都可以等效為一個理想電流源并聯(lián)內(nèi)阻的模型。其理想電流源的數(shù)值為有源二端網(wǎng)絡(luò)N的兩個端子間的短路時其上的電流isc.并聯(lián)內(nèi)阻為N內(nèi)部所有獨立源等于零（理想電壓源短路，理想電流源開路）時電路兩端子間的等效電阻，常記為R0。

isc電流源并聯(lián)R0模型稱二端電路N的諾頓等效源。isc，R0的求法與戴維寧定理中講述的方法相同。應(yīng)用戴維南定理解題步驟：1、將復(fù)雜電路分解為待求支路和有源二端網(wǎng)絡(luò)部分。2、將待求支路從電路中移去，其他部分看成一個有源二端網(wǎng)絡(luò)。3、求出有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc及等效電阻R0。4、把有源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路與所求的支路連接起來，計算待求支路的電流。例16

如圖(a)所示電路，負(fù)載電阻RL可以改變，求RL=1Ω時其上的電流i；若RL改變?yōu)?Ω，再求電流i。解(1)求開路電壓uoc。自a、b處斷開待求支路(待求量所在的支路)，設(shè)uoc，u1，u2的參考方向如圖(b)所示。由分壓關(guān)系求得所以

uoc=u1－u2=4V

(2)求等效內(nèi)阻R0。將圖(b)中的電壓源短路，電路變?yōu)閳D(c)。應(yīng)用電阻串、并聯(lián)等效，求得

R0=6∥3+4∥4=4Ω

(3)由求得的uoc、R0畫出等效電壓源(戴維寧電源)，接上待求支路，如圖(d)所示。若a端為所設(shè)開路電壓uoc參考方向的“+”極性端，則在畫等效電壓源時使正極向著a端。由圖(d)求得由于RL在二端電路之外，故當(dāng)RL改變?yōu)?Ω時，二端電路的uoc、R0均不變化，所以只需將圖(d)中的RL由1Ω變?yōu)?Ω，從而可以非常方便地求得此時的電流

例17

如圖(a)所示電路，求電壓u。解諾頓定理求解比較方便。因為自a、b處斷開待求支路后，開路電壓沒有短路電流容易求。

(1)求短路電流isc。自a、b處斷開電流源，再將a、b短路，設(shè)isc及有關(guān)電流參考方向如圖(b)所示。由電阻串并聯(lián)等效、分流關(guān)系及KCL可求得

(2)求等效內(nèi)阻R0。將圖(b)中的24V電壓源短路，并將a、b間短路線斷開，如圖(c)所示。利用串并聯(lián)等效可求得

R0=［6∥3+6］∥［3∥6+6］=4Ω

(3)畫出諾頓等效電源，接上待求支路(從哪里斷開待求支路，還從哪里接上),如圖(d)所示。注意,畫諾頓等效電源時，勿將isc電流源的流向畫錯了。若圖(b)中isc的參考方向設(shè)為由a流向b，則在圖(d)中電流源畫成由b流向a。由圖(d)，應(yīng)用KCL及歐姆定律求得

u=(3+1)×4=16V

例18

如圖(a)所示電路，求負(fù)載電阻RL上消耗的功率pL。

解(1)求uoc。將圖(a)所示的受控電流源與相并聯(lián)的50Ω電阻互換為受控電壓源，并自a、b處斷開待求支路，設(shè)uoc參考方向如圖(b)所示。由KVL得

100i1′+200i1′+100i1′=40所以i1′=0.1A，uoc=100i1′=100×0.1=10V

(2)求R0。先用開路、短路法求R0。將圖(b)中的ab兩端子短路并設(shè)短路電流isc的參考方向如圖(c)所示。

i1″=0

從而受控電壓源

200i1″=0(相當(dāng)于短路)由圖可知:

圖(c)等效為圖(d)，顯然所以再用外加電源法求R0。將圖(b)中的40V獨立電壓源短路，受控源保留，并在ab端子間加電壓源u，設(shè)出各支路電流如圖(e)所示。由圖可得由KVL，解得據(jù)KCL，有

得

(3)畫出戴維寧等效源，接上待求支路，如圖(f)所示。由圖可得所以負(fù)載RL上消耗的功率在分析含受控源的電路時要注意受控源受控制的特點，當(dāng)電路改變狀態(tài)時(如端子開路、短路等)控制量將發(fā)生變化，它必然引起受控源的變化，在(b)、(c)、(e)圖中分別用i1′、i1″、i1″′表示100Ω電阻上的電流就是出于這種考慮。用“開路、短路法”、“外加電源法”兩種方法當(dāng)中的一種方法求含受控源電路的等效內(nèi)阻R0即可。

例19

如圖(a)所示電路，已知當(dāng)RL=9Ω時，

IL=0.4A，若RL改變?yōu)?Ω時，其上的電流又為多大呢？解本題不要按“常規(guī)”的戴維寧定理求解問題的步驟進(jìn)行，而要先求等效內(nèi)阻R0。要想通過給定條件去求得Us、Is是不可能的，這是因為給定的是一個條件，而待求量是Us、Is兩個變量。

I=3I1′－I1′=2I1′(1)求R0。畫外加電源法求R0的電路如圖(b)所示。由KCL，得則由KVL，寫回路A的方程為所以

(2)畫戴維寧等效電源接上RL，如圖(c)所示，則(2.5-7)將已知條件代入上式，有解得(3)將RL=7Ω、Uoc=4V代入(2.5-7)式，得此時的電流

(1)所要等效電源模型的二端電路N必須是線性電路。至于外電路(或稱待求支路)沒有限制，線性、非線性電路均可。應(yīng)用等效電源定理時還應(yīng)注意以下3點：

(2)一般而言，若二端電路N的等效內(nèi)阻非零、非無窮大，則該電路的戴維寧等效電路和諾頓等效電路都存在。但當(dāng)二端電路N的等效內(nèi)阻為零時它只有戴維寧等效源，而諾頓等效源不存在；當(dāng)N的等效內(nèi)阻為無限大時只有諾頓等效源，而戴維寧等效源不存在。理想電壓源可認(rèn)為是內(nèi)阻為零的電源，理想電流源可認(rèn)為是內(nèi)阻為無限大(內(nèi)電導(dǎo)為零)的電源，且明確過理想電壓源與理想電流源之間不便互換等效。

(3)二端電路N與外電路之間只能通過連接端口處的電流、電壓來相互聯(lián)系，而不應(yīng)有其他耦合，如二端電路N中的受控源受到外部電路內(nèi)的電壓或電流控制；或外電路中的受控源，其控制量在二端電路N內(nèi)部。這兩種情況就屬于二端電路N與外部電路有耦合的情況。例20

如圖(a)所示電路，求電流I。解先用節(jié)點法來計算本問題。將a點接地，如圖

(b)所示。列節(jié)點方程為解得所以

用等效電源定理求解要注意：若從c、b點斷開待求支路，二端電路為圖(a)中點畫線所圍的N1，控制量U1、受控源2U1均在N1內(nèi)，不存在內(nèi)、外電路間的耦合問題，可以用戴維寧定理或諾頓定理求解，所求結(jié)果和用節(jié)點法求得的結(jié)果完全一樣(Uoc＝7V，R0＝3Ω，I＝3A，

)；

若從a、b點斷開待求支路，二端電路為虛線所圍的N2，控制量U1在外電路中、受控源2U1在N2內(nèi)。這樣就切斷了N2內(nèi)的受控源與外電路中的控制量之間的控制作用，就無法求二端電路的開路電壓Uoc或等效內(nèi)阻R0或開路電壓等效內(nèi)阻均求不出(本問題是無法求得R0)，這種情況就不便使用等效電源定理求解。

例：計算Rx分別為1.2、5.2時的電流IIRxab+–10V4664解：斷開Rx支路，將剩余一端口網(wǎng)絡(luò)化為戴維寧等效電路：b4664+-Uoc求等效電阻ReqReq=4//6+6//4=4.8Uoc=U1-U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=6-4=2V求開路電壓求電壓Uo例解求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V求等效電阻Req方法1：加壓求流336I+–9V+–U0+–6I36I+–9V+–U0C+–6I36I+–U+–6IIo獨立源置零U=6I+3I=9II=Io6/(6+3)=(2/3)IoU=9(2/3)I0=6IoReq=U/Io=6方法2：開路電壓、短路電流(Uoc=9V)6I1+3I=96I+3I=0I=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6獨立源保留36I+–9V+–6IIscI1U0+-+-69V3等效電路例：求電流I解：求短路電流IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A求等效電阻ReqReq=10//2=1.67諾頓等效電路:應(yīng)用分流公式I=2.83A12V210+–24V4I+–Isc12V210+–24V+–Req210I1

I24I-9.6A1.67第六節(jié)

最大功率傳輸定理

2.6.1最大功率傳輸問題

對給定的有源二端電路，當(dāng)負(fù)載為何值時網(wǎng)絡(luò)傳輸給負(fù)載的功率最大呢？負(fù)載所能得到的最大功率又是多少？為了回答這兩個問題，我們將有源二端電路等效成戴維寧電源模型，如圖所示。由圖可知則電源傳輸給負(fù)載RL的功率解上式得

RL=R0

(2.6-2)由上述數(shù)學(xué)定量討論，可歸納總結(jié)出最大功率傳輸定理為：一確定的線性有源二端電路N，其開路電壓為uoc、等效內(nèi)阻為R0(R0＞0)，若兩端子間所接負(fù)載電阻RL可任意改變，則當(dāng)且僅當(dāng)RL＝R0時網(wǎng)絡(luò)N傳輸給負(fù)載的功率最大，此時負(fù)載上得到的最大功率為

(2.6-3)2.6.2最大功率傳輸定理

若有源二端電路等效為諾頓電源，則如圖所示。讀者可自行推導(dǎo)，同樣可得RL=R0時二端電路傳輸給負(fù)載的功率最大，且此時最大功率為(2.6-4)通常，稱RL=R0為最大功率匹配條件。

例21

如圖所示電路，若負(fù)載RL可以任意改變，問負(fù)載為何值時其上獲得的功率為最大？并求出此時負(fù)載上得到的最大功率pLmax。解此類問題應(yīng)用戴維寧定理(或諾頓定理)與最大功率傳輸定理結(jié)合求解最簡便。

(1)求uoc。從a、b處斷開RL，設(shè)uoc如圖(b)所示。在圖(b)中，應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式、歐姆定律及KVL求得

(2)求R0。令圖(b)中的各獨立源為零，如圖(c)所示，可求得

R0=(4+4)∥8+3∥(3+3)=6Ω(3)畫出戴維寧等效源，接上待求支路RL，如圖(d)所示。由最大功率傳輸定理知，當(dāng)

RL=R0=6Ω時,其上獲得最大功率。此時負(fù)載RL上所獲得的最大功率為

例22

如圖(a)所示電路，含有一個電壓控制的電流源，負(fù)載電阻RL可任意改變，問RL為何值時其上獲得最大功率，并求出該最大功率pLmax。解(1)求uoc。自a、b處斷開RL，并設(shè)uoc如圖(b)所示。在圖(b)中設(shè)電流i1、i2,由歐姆定律得又由KCL得所以

(2)求R0。令圖(b)中的獨立源為零，受控源保留，并在a、b端加電流源i,如圖（c)所示。有關(guān)電流、電壓參考方向標(biāo)示在圖上。類同圖(b)中求i1、i2，由圖(c)所以可知

(3)由最大功率傳輸定理可知，當(dāng)

RL=R0=20Ω

時,其上可獲得最大功率。此時負(fù)載RL上獲得的最大功率為

例23

如圖(a)所示電路，負(fù)載電阻RL可任意改變，問RL為何值時其上獲得最大功率，并求出該最大功率pLmax。

解本問題isc較開路電壓uoc容易求，所以選用諾頓定理及最大功率傳輸定理求解。

(1)求isc。自a、b處斷開RL，將其短路并設(shè)isc如圖(b)所示。由圖(b)，顯然可知i1′=0，則30i1′=0，即受控電壓源等于零，視為短路，如圖(c)所示。應(yīng)用疊加定理，得

(2)求R0。令圖(b)中的獨立源為零,受控源保留，a、b端子打開并加電壓源u，設(shè)i1″、i2″及i如圖(d)

所示。由圖(d)，應(yīng)用歐姆定律、

KVL、KCL可求得所以

(3)由最大功率傳輸定理可知，當(dāng)

RL=R0=15Ω時，其上可獲得最大功率。此時，最大功率

第七節(jié)

小結(jié)

1.方程分析法

1)支路電流法

具有n個節(jié)點、b條支路的電路，以支路電流(是完備變量，但不是相互獨立變量)為未知量，依KCL、KVL建立n－1個獨立節(jié)點KCL方程、