第三章二維隨機變量及其分布

第三章二維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量及其聯(lián)合分布第二節(jié)邊緣分布與隨機變量的獨立性第三節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布(X,Y)A實際問題中往往需要同時研究多個隨機變量.例如抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高

X

和體重

Y

以研究該年齡段青少年的身體發(fā)育情況,此時不僅要探究

X

和

Y

各自的性質(zhì),還要探究它們間的相互關(guān)系.有序?qū)?/p>

(X,

Y)稱為二維隨機變(向)量,它是平面上的隨機點:性質(zhì)(1)F(x,

y)

分別關(guān)于

x,

y

單調(diào)不減.(2)F(x,

y)

分別關(guān)于

x,

y

左連續(xù).(3)0

F(x,

y)

1,且F(,

y)

=

F(x,

)

=

F(,

)

=

0,F(+,

+)

=

1.二維隨機變量(X,

Y)的聯(lián)合分布函數(shù):

F(x,

y)

=

P{X

<

x,

Y

<

y}.(x,

y)xy(X,

Y)隨機點落在矩形域的概率 P{x1

X

x2,

y1

Y

y2} =

F(x2,

y2)

F(x2,

y1)

F(x1,

y2)

+

F(x1,

y1).(x2,

y2)(x1,

y1)二維離散型隨機變量(X,

Y)

的可能取值是有限或可列無限個實數(shù)對.(X,

Y)的聯(lián)合概率分布(分布律):P{X

=

xi,

Y

=

yj}

=

pij,(i,

j

=

1,

2,

3,

…).YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………性質(zhì)(1)0

pij1;(2)i,j

pij=

1.例1袋中有三個球,依次標有數(shù)字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個.X,

Y分別為第一,二次取到的球上的數(shù)字,求(X,

Y)的聯(lián)合分布列.解(X,

Y)的可能取值為(1,

2),(2,

1),(2,

2).P{X

=

1,

Y

=

2}

=

(1/3)(2/2)

=

1/3,P{X

=

2,

Y

=

1}

=

(2/3)(1/2)

=

1/3,P{X

=

2,

Y

=

2}

=

(2/3)(1/2)

=

1/3,YX12101/321/31/3例2設(shè)二維隨機變量(X,

Y)可能取值為

(0,

0),

(1,

1),(1,

1/3),

(2,

0)

且取這些值的概率依次為求(X,

Y)的分布列.解(X,

Y)

的聯(lián)合分布律

Y

X01/3101/600101/121/325/1200二元連續(xù)型隨機變量(X,

Y)的分布函數(shù)其中

f

(x,

y)

稱為

(X,

Y)的(聯(lián)合)概率密度(分布密度).性質(zhì)(1)f

(x,

y)

0;(2)(3)在連續(xù)點處(4)(X,

Y)落在區(qū)域

D

的概率F(+,

+)

=

1f

(x,

y)xy例3設(shè)

(X,

Y)

的概率密度為(1)確定常數(shù)

k; (2)求(X,

Y)的分布函數(shù);(3)求

P{0

<

X

4,

0

<

Y

1}; (4)求

P{X

<

y}.解(1)k

=

6,因為

(2)當

x

0

或

y

0

時,F(x,

y)

=

0.當

x

>

0

且

y

>

0

時,所以(3)41或(4)

x

x

o224例4已知

(X,

Y)

的密度求概率(1)

P{X

<

1,

Y

<

3};(2)

P{X

+

Y

<

3}.解13(2)12243x

+

y

=

3區(qū)域

D

上的均勻分布

例設(shè)(X,

Y)服從區(qū)域

D

上的均勻分布,D

為

x

軸,

y

軸及直線

y

=

2x

+

1

所圍成的三角形區(qū)域.求

P{Y

<

1/2}.答:區(qū)域

D

上的均勻分布y

=

2x

+

1D1D1思考設(shè)

(X,

Y)服從

D

上的均勻分布,D

為

x

軸,y

軸及直線

y

=

2x

+

1

所圍成的三角形區(qū)域.求其分布函數(shù).解(X,

Y)的密度函數(shù)分布函數(shù)(1)當

x

1/2

或

y

0

時,F(x,

y)

=

P(}

=

0.y

=

2x

+

11/2(2)當

1/2

<

x

0

且

0

<

y

2x

+

1

時,y

=

2x

+

11/2(3)當

1/2

<

x

0

且

y

>

2x

+

1

時,(4)當

x

>

0

且

0

<

y

1

時,y

=

2x

+

11/2(5)當

x

>

0

且

y

>

1

時,綜上,所求的分布函數(shù)為二維正態(tài)分布

N(1,

2,

12,

22,

):其中

1>

0,

2>

0,

1

<

<

1.最常見的二維連續(xù)型分布第三章二維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量及其聯(lián)合分布第二節(jié)邊緣分布與獨立性第三節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布不在教學(xué)范圍內(nèi):三.條件分布(conditionaldistribution)pp61-64邊緣分布隨機變量的獨立性二維隨機變量(X,

Y)是把兩個隨機變量視為一個整體,討論其聯(lián)合取值規(guī)律:F(x,

y)

=

P{X

<

x,

Y

<

y}.邊緣分布問題:由二維隨機變量(X,

Y)的分布來確定兩個一維隨機變量

X,

Y

各自的分布.marginaldistribution設(shè)二維隨機變量(X,

Y)的分布函數(shù)為F(x,

y),則FX(x)

=

P{X

<

x}

=

P{X

<

x,

Y

<

+}

=

F(x,

+),FY(y)

=

P{Y

<

y}

=

P{X

<

+,

Y

<

y}

=

F(+,

y)依次稱為

(X,

Y)

關(guān)于

X

和

Y

的邊緣分布函數(shù).marginaldistributionFX(x)

=

P{X

<

x}

=

F(x,

+)FY(y)

=

P{Y

<

y}

=

F(+,

y)二維離散型的邊緣分布若二維離散型隨機變量(X,

Y)的聯(lián)合分布律為P{X

=

xi,

Y

=

yj}

=

pij,(i,

j

=

1,

2,

3,

…),則稱

pi.=

P{X

=

xi}

=jpij為關(guān)于

X

的邊緣分布,p.j

=

P{Y

=

yj}

=ipij為關(guān)于

Y

的邊緣分布.YXy1y2…yj…pi.x1p11p12…p1j…p1.x2p21p22…p2j…p2.………………xipi1pi2…pij…p.i………………p.jp.1p.2…p.j…=1關(guān)于

X

的邊緣分布關(guān)于

Y

的邊緣分布Xx1x2…xi…概率p1.p2.…pi.…Yy1y2…yj…概率p.1p,2…p.j…例1設(shè)二維離散型隨機變量(X,

Y)的聯(lián)合分布律為YX011/3101/31/1201/60025/1200求關(guān)于

X,

Y的邊緣分布.關(guān)于

Y

的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關(guān)于

X

的邊緣分布X102概率5/121/65/12二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布

其中,關(guān)于

X

的邊緣概率密度其中,關(guān)于

Y

的邊緣概率密度關(guān)于

X

的邊緣分布函數(shù)關(guān)于

Y

的邊緣分布函數(shù)例2設(shè)(X,

Y)的聯(lián)合密度為求

k

值和兩個邊緣分布密度.解由得當

x

[0,1]時,關(guān)于

X

的邊緣分布密度113當x

[0,

1]時,fX(x)=0.故關(guān)于X的邊緣分布密度113故,關(guān)于

Y

的邊緣分布密度當

y

[1,

3]

時,fY(y)

=

0.當

y

[1,

3]

時,關(guān)于Y的邊緣分布密度例3設(shè)(X,

Y)的聯(lián)合分布密度(1)求

k;(2)求關(guān)于

X

和

Y

的邊緣密度;(3)求概率P{X

+

Y

<

1}

和

P{X

>

1/2}.均勻分布解(1)由得-11(2)當

x

[1,

1]

時,當

x

[1,

1]

時,fX(x)

=

0.故

X

的邊緣密度11當

y

[1,

1]

時,當

y

[1,

1]

時,fY(y)

=

0.故

Y

的邊緣密度(3)若

(X,

Y)

~

N(1,

2,

12,

22,

)?,則兩個邊緣分布分別服從正態(tài)分布:X

~

N(1,

12),Y

~

N(2,

22),與相關(guān)系數(shù)

無關(guān).一般地,

聯(lián)合分布可確定邊緣分布,但邊緣分布未必能確定聯(lián)合分布.隨機變量

X

和

Y

相互獨立:F(x,

y)

FX(x)FY(y).對于離散型和連續(xù)型的隨機變量,該定義分別等價于pij

pi?p?jf

(x,

y)

fX(x)fY(y).?在很多實際問題中,隨機變量的相互獨立性是不難判斷的.?相互獨立時,邊緣分布可確定聯(lián)合分布.二隨機變量的獨立性例1設(shè)(X,

Y)的分布律為證明:X,

Y

相互獨立.證逐個驗證等式pij

pi?p?j,故

X,

Y

相互獨立.YX1021/22/201/202/2012/201/202/2024/202/204/20pi?1/41/42/41p?j2/51/52/5例2設(shè)(X,

Y)的概率密度為求(1)P{0

X

1,

0

Y

1};(2)(X,

Y)

的邊緣密度;(3)判斷

X,

Y

是否獨立.解(1)A11(2)邊緣密度函數(shù)當x

0

時,當x

<

0

時,fX(x)

=

0.所以同理可得(3)因所以

X

與

Y

相互獨立.例3設(shè)

(X,

Y)服從區(qū)域

D

上的均勻分布,D

為

x

軸,y軸及直線

y

=

2x

+

1

所圍成的三角形區(qū)域.判斷

X,

Y是否相互獨立.解(X,

Y)的密度函數(shù)為1y

=

2x

+

1D當1/2

<

x

0

時,所以關(guān)于

X

的邊緣分布密度當

x

1/2

或

x

>

0

時,fX(x)

=

0.1y

=

2x

+

1D所以關(guān)于

Y

的邊緣分布密度當

y

0

或

y

>

1

時,fY(y)

=

0.當

0

<

y

1

時,所以,X

與

Y

不獨立.1y

=

2x

+

1D例4設(shè)(X,

Y)服從矩形域{(x,

y)|a

x

b,

c

d}

上的均勻分布,求證

X

與

Y

相互獨立.證當

a

x

b

時當

x(a,

b)時fX(x)

=

0.于是Aacbd類似地可見f

(x,

y)

fX(x)·fY(y),即

X

與

Y

相互獨立.設(shè)

(X,

Y)

~

N(1,

2,

12,

22,

),則

X,

Y

相互獨立

=

0.此時

X

~

N(1,

12),Y

~

N(2,

22):證見p60例4.第三章二維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量及其聯(lián)合分布第二節(jié)邊緣分布與獨立性第三節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布第三節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布已知二維隨機變量(X,

Y)的分布,求

Z

=

g(X,

Y)的分布.Z

的分布函數(shù)FZ(z)

=

P{Z

<

z}

=

P{g(X,

Y)

<

z}.簡介二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)二維離散型隨機變量(X,

Y)的聯(lián)合分布列為P{X

=

ai,

Y

=

bj}

=

pij,(i

=

1,

2,

…

;

j

=

1,

2,

…).則

Z

=

(X,

Y)是一維離散型隨機變量,其分布列為P{Z

=

g(ai,

bj)}

=

pij,(i

=

1,

2,

…

;

j

=

1,

2,

…).?對于g(ai,

bj)

的相同的值,合并相應(yīng)的概率.例1設(shè)(X,

Y)的聯(lián)合分布列為

YX210-11/121/123/1202/121/12012/1202/12分別求(1)X

+

Y,(2)X

Y,(3)X2+

Y

2

的分布列.解

由(X,

Y)的聯(lián)合分布列可得如下表格(X,Y)(1,2)(1,1)(1,

0)(0,2)(0,1)(1,2)(1,

0)概率1/121/123/122/121/122/122/12X+

Y321

2

1

11X

Y10

12131X2+

Y

+

21230113X

+

Y3211概率1/123/126/122/12X

Y

10123概率3/121/124/122/122/12X2+

Y

20123概率2/124/121/125/12例2證明:如果

X

與

Y

相互獨立,且

X

~

B(m,

p),Y

~

B(n,

p),則

X

+

Y

~

B(m

+

n,p).證X

+

Y

可能取值為

0,

1,

…

,

m

+

n.例3設(shè)隨機變量

X1,

X2,

…,

Xn相互獨立且每個都服從同一個0-1分布

B(1,

p):(1)證明

Yn=

X1+

X2+

…

+

Xn服從二項分布

B(n,

p);(2)證明如果

X

與

Y

相互獨立,且

X

~

B(m,

p),Y

~

B(n,

p),則

X

+

Y

~

B(m

+

n,p).證(1)

Yn只能取0,

1,

…

,

n.{Yn=

i}

就是

X1,

…

,

Xn中恰有

i

個取

1

而其余取

0,

共有

Cni種方式,這些方式兩兩互斥.因諸

Xi的相互獨立,故每種方式出現(xiàn)的概率都為

pi(1p)ni.因此P{Yn=

i}

=

Cnipi(1

p)ni,(i

=

0,

1,

…

,

n).即

Yn~

B(n,

p).(2)令 X

=

X1+

…

+

Xm,Y

=

Y1+

…

+

Yn,其中諸

Xi,

Yj相互獨立且都服從

B(1,

p)

分布.故X

+

Y

=

(X1+

…

+

Xm)

+

(Y1+

…

+

Yn)

~

B(n,p).X01P1-pp二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)二維連續(xù)型隨機變量

(X,

Y)

的聯(lián)合密度為f

(x,

y)