生豬出售時(shí)間綜述

生豬出售的最佳時(shí)間本案例源于MarkM.Meerschaert《MathematicalModeling》(SecondEdition)Step1.提出問題Step2.選擇建模方法Step3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式Step4.求解模型Step5.回答問題數(shù)學(xué)建模5步方法一頭豬重200磅，每天增重5磅，飼養(yǎng)每天需花費(fèi)45美分，豬的市場價(jià)格為65美分/磅，每天下降1%，求生豬出售的最佳時(shí)間。例1：生豬出售時(shí)間問題Step1.變量、假設(shè)、目標(biāo)的確定變量t

=時(shí)間(天)w

=豬的重量(磅)p

=豬的價(jià)格(美元/磅)C=飼養(yǎng)t天的花費(fèi)(美元)R

=售出豬的收益(美元)Q=凈收益(美元)假設(shè)w=200＋5tp=0.65－0.01tC=0.45tR=p·wQ=R－

Ct≥0目標(biāo)求凈收益(Q)的最大值單變量優(yōu)化問題，或極大(小)化問題若實(shí)值函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn)x處可微，且在x點(diǎn)達(dá)到極大或極小，則

f’(x)=0.只要f’(x)=0的x點(diǎn)不太多，此方法很有效。Step2.選擇建模方法Q=(0.65－0.01t)·(200＋5t)

－

0.45t(t≥0)即f(x)=(0.65－0.01x)·(200＋5x)

－

0.45x(x≥0).Step3.推導(dǎo)模型的公式f’(x)=0.8－0.1x.

f’(8)=0.則Qmax=f(8)=133.20.Step4.求解模型Step5.回答問題第8天出售，可獲得凈收益133.20美元。Step1.提出問題Step2.選擇建模方法Step3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式Step4.求解模型Step5.回答問題數(shù)學(xué)建模5步驟a.列出問題中涉及的變量(包括單位)；b.不要混淆變量與參量；c.列出對變量的全部假設(shè)；d.檢查單位保證你的假設(shè)有意義；e.用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)式給出問題的目標(biāo).根據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、技巧或查找相關(guān)文獻(xiàn)，選擇解決問題的一個(gè)建模方法；a.將Step1中得到的問題重新表達(dá)成Step2選定的建模方法所需的形式；b.可能需要將Step1的一些變量名改成與Step2一致；c.記下任何補(bǔ)充假設(shè)，這些假設(shè)使Step1的問題與Step2的模型相匹配。a.注意檢查推導(dǎo)過程和結(jié)果是否有意義；b.采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件技術(shù)擴(kuò)大解決問題的范圍，盡可能避免計(jì)算錯誤。a.用非技術(shù)的語言將Step4的結(jié)果重新表述；b.避免數(shù)學(xué)符號與術(shù)語；c.能理解最初提出問題的人應(yīng)該能理解你給出的解答。靈敏性分析只要Step1的假設(shè)成立，則結(jié)果正確。解決農(nóng)民決定何時(shí)出售他所飼養(yǎng)的生豬在Step1會有風(fēng)險(xiǎn)因素存在，有必要一些不同的可能，此過程稱為“靈敏性分析”。生豬的重量、現(xiàn)在的價(jià)格、每天的飼養(yǎng)花費(fèi)，有相當(dāng)大的確定性；豬的生長速率(每天增重5磅)則不那么確定，生豬價(jià)格的下降速率(每天下降1%)確定性更低。記r為價(jià)格下降速率，此前

r=0.01,

p

=0.65－0.01t.現(xiàn)將r視為未知參數(shù)，則

p

=0.65－r·t

f(x)=(0.65－r·x)·(200＋5x)

－

0.45x.x≥0則

f

’(x)=2.8－200r－10r·x=0可得

x=7/(25r)－20.若只要x≥0，即0<r≤0.14,上式即為最佳出售時(shí)間；若

r>

0.14，則x∈[0,+∞),f

’(x)<0，最佳出售時(shí)間x=0.最佳售豬時(shí)間關(guān)于價(jià)格的下降速率的曲線rx記g為豬的生長速率，此前

g=5(磅/天),

w

=200＋5t.現(xiàn)將g視為未知參數(shù)，則

w

=200＋g·t

f(x)=(0.65－0.01x)·(200＋g·x)

－

0.45x.x≥0則

f

’(x)=－2.45＋0.65g－0.02g·x=0可得

x=32.5－245/(2g).若只要x≥0，即g>49/13,上式即為最佳出售時(shí)間；若

0<g≤49/13，則x∈[0,+∞),f

’(x)<0，最佳出售時(shí)間x=0.gx最佳售豬時(shí)間關(guān)于價(jià)格的下降速率的曲線將靈敏性數(shù)據(jù)表示成相對改變量的形式更加實(shí)用。r的10%的下降導(dǎo)致了x的39%的增加，而g的10%的下降導(dǎo)致了x的34%的下降。若x的改變量為△x，則x的相對改變量為△x/x,若r改變了△r，導(dǎo)致x有△x

的改變量，則相對改變量的比值被稱為x對r的靈敏性，記為S(x,r).若r增加1%，則x下降3.5%；若g增加1%，則x增加約3%.生豬價(jià)格下跌速率增加1%，則出售時(shí)間應(yīng)提前3.5%.豬生長率增加1%，出售時(shí)間應(yīng)后延約3%.靈敏性分析的成功應(yīng)用通常要有較好的判斷力，需要選擇那些有較大不確定性的參數(shù)進(jìn)行靈敏性分析本例，通常認(rèn)為豬的生長率g比價(jià)格的下降率r更可靠。根據(jù)生活常識，g的誤差一般不大，而r則可能存在較大的偏差。靈敏性分析是一種根據(jù)數(shù)據(jù)提出的假設(shè)來評估模型穩(wěn)健性的方法。穩(wěn)定性與穩(wěn)健性數(shù)學(xué)模型力求接近完美；模型的穩(wěn)健性：模型的結(jié)果不完全精確但足夠近似，從而使模型具備實(shí)用價(jià)值。本例主要假設(shè)豬的重量w和價(jià)格p都是關(guān)于時(shí)間t的線性函數(shù)，這是“簡化”，不可能嚴(yán)格滿足；更實(shí)際的模型應(yīng)既考慮這些函數(shù)的非線性性，又考慮隨時(shí)間推移的不確定性的增加。Q=pw-0.45t若模型的初始數(shù)據(jù)和假設(shè)沒有與實(shí)際相差太大，則生豬的最佳出售時(shí)間為Q’=0，得

p’w+pw’=0.45其中左側(cè)代表豬價(jià)的增長率，解讀：1)若豬價(jià)比飼養(yǎng)的費(fèi)用增長快，應(yīng)暫不出售；2)p’w：因價(jià)格下降而損失的價(jià)值；3)pw’：由于豬增重而增加的價(jià)值；4)實(shí)際的p’和w’在不斷的變化，因此p和w不是時(shí)間的線性函數(shù)，但是只要在一段時(shí)間內(nèi)變化不大，則模型的結(jié)果是可接受的。考慮豬的生長情況的結(jié)果解讀最佳售豬時(shí)間x對豬的生長率w’改變的靈敏性為3，假設(shè)在下幾周內(nèi)豬的實(shí)際生長率在每天4.5~5.5磅(預(yù)期值5磅的10%內(nèi))，則最佳售豬時(shí)間為5~11天(預(yù)計(jì)值8天的30%內(nèi))，而仍在第8天賣出所導(dǎo)致的收益損失不超過1美元?？紤]生豬價(jià)格的結(jié)果解讀假設(shè)今后幾周時(shí)間內(nèi)價(jià)格的變動p’=-0.01,即每天下降1美分。現(xiàn)實(shí)的情況是有可能在今后會下降速度減緩，甚至達(dá)到p’=0。結(jié)論是：至少等8天再出售。由于模型對較長的時(shí)間不再有效，因此建議：將豬飼養(yǎng)一周之后，重新評估p

、w，p’和w’，再用模型重新計(jì)算。對每天的飼養(yǎng)花費(fèi)做靈敏性分析，分別考慮最佳售豬時(shí)間和相應(yīng)收益的影響。若有新的飼養(yǎng)方式，每天飼養(yǎng)花費(fèi)60美分，會使豬按照7磅/天增重，應(yīng)改變飼養(yǎng)方式嗎？并求出值得改變飼養(yǎng)方式的最小增重率。思考題(1)思考題(2)原來的價(jià)格函數(shù)為

p=0.65-0.01*t(eq1)現(xiàn)假設(shè)豬的價(jià)格保持穩(wěn)定，設(shè)

p=0.65-0.01*t+0.00004*t*t(eq2)(1)，畫圖對比價(jià)格函數(shù)eq1和eq2，解釋為什么eq1可以作為eq2在t接近0時(shí)的近似；(2)，利用五步方法，求最佳的售豬時(shí)間；(3)，參數(shù)0.00004表示價(jià)格的平穩(wěn)率，對這個(gè)參數(shù)求其靈敏性，分別考慮最佳的售豬時(shí)間和相應(yīng)的收益；(4)，對比(2)的結(jié)果和例題中所得的最優(yōu)解，討論關(guān)于價(jià)格的假設(shè)的穩(wěn)健性。思考題(3)考慮收益率(美元/天)最大化,，假設(shè)豬已經(jīng)養(yǎng)了90天，已為這頭豬