第5章頻率分析法分析

自動控制理論

第五章頻率分析法宋瀟瀟西華大學(xué)電氣與電子信息學(xué)院目錄5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖的繪制5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)5.5開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系5.6系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性頻域分析法:是一種圖解分析方法，它依據(jù)系統(tǒng)的頻率特性，對系統(tǒng)的性能進行分析。頻域分析法的特點:1.可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去判斷閉環(huán)系統(tǒng)的性能。2.能較方便地分析系統(tǒng)中參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。5.1頻率特性5.1.1頻率響應(yīng)在正弦輸入信號作用下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號的關(guān)系稱為頻率特性。根據(jù)微分方程解的理論，若輸入信號為：則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也為同一頻率的正弦信號，但幅值和相位發(fā)生了變化：設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為：而正弦輸入信號的拉氏變換為：則輸出信號的拉氏變換為：兩邊取反拉氏變換得：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當t+時，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為即：其中因此其穩(wěn)態(tài)輸出表明，線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號作用下，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量是與輸入正弦信號同頻率的正弦信號，與輸入正弦信號的幅值之比為|G(j)|，相角之差為∠G(j)，均與G(j)有關(guān)。5.1.2頻率特性通常定義為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號與正弦輸入信號之間的關(guān)系。A()=|G(j)|系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號與正弦輸入信號的幅值之比，稱為系統(tǒng)的幅頻特性，反映了系統(tǒng)對于不同頻率正弦輸入信號的幅值變化特性。()=∠G(j)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號與正弦輸入信號的相角之差，稱為系統(tǒng)的相頻特性，表示系統(tǒng)輸出對于不同頻率正弦輸入信號的相位變化特性因為頻率特性G(j)為復(fù)數(shù)，所以它還可以用如下的形式來表示，即式中，Re()為頻率特性G(j)的實部，它是頻率的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的實頻特性；Im()為頻率特性G(j)的虛部，它也是頻率的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的虛頻特性。顯然，頻率特性的極坐標和直角坐標表示形式的相互關(guān)系為5.1.3頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系通過上述推導(dǎo)過程，可以看出系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為由于這種簡單關(guān)系的存在，利用頻率特性的頻率分析法和利用傳遞函數(shù)的時域分析法在數(shù)學(xué)上是等價的，因此在系統(tǒng)分析和設(shè)計時，其作用也是類似的。但頻率分析法有其獨特的優(yōu)勢。因為該式不僅可以獲得穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性，而且也可獲得不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性還可以通過實驗的方法獲得，這對于那些內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知以及難以用分析的方法列出動態(tài)方程的系統(tǒng)尤為重要。頻率特性雖然是一種穩(wěn)態(tài)特性，但它卻不僅能夠反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且還可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)。5.1.4頻率特性的表示方法極坐標圖幅相頻率特性(Nyquist)對數(shù)坐標圖對數(shù)頻率特性(Bode)頻率對數(shù)分度幅值/相角線性分度對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相頻率特性(Nichols)以頻率為參變量表示對數(shù)幅值和相角關(guān)系：L()—()圖(1)幅相頻率特性（奈氏圖）奈氏圖，又稱為幅相頻率特性曲線。它是當頻率從0變化時，G(j)在極坐標復(fù)平面上的幅值A(chǔ)()=|G(j)|與相角()=∠G(j)的關(guān)系曲線。幅頻特性為的偶函數(shù)，相頻特性為的奇函數(shù)，則從0+和從0-的幅相頻率特性曲線關(guān)于實軸對稱，因此只繪制從0+的曲線。(2)對數(shù)頻率特性(伯德圖)伯德圖，又稱對數(shù)頻率特性曲線。對數(shù)頻率特性曲線就是將頻率特性表示在對數(shù)坐標系中。它由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。對數(shù)幅頻特性曲線：對數(shù)相頻特性曲線：(3)對數(shù)幅相頻率特性(尼克爾斯圖)尼克爾斯圖，又稱為對數(shù)幅相頻率特性曲線。它以相位()為橫軸，為L()=20lgA()縱坐標，頻率為參變量的一種圖示法。對數(shù)幅相圖是在為參變量的情況下，將對數(shù)幅頻和相頻特性兩張圖合成一張圖。縱坐標為對數(shù)幅值L()(dB)，橫坐標為相應(yīng)的相角()()。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1典型環(huán)節(jié)幅相頻率特性（Nyquist圖）(1)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為幅頻和相頻特性分別為極坐標圖為實軸上的一點(2)積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為其頻率特性為：幅頻和相頻特性分別為：當從0變化時，A()由0，相角()=-90(3)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：當從0變化時，A()由0，()=90(4)一階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻特性為相頻特性為實頻和虛頻特性分別為所以：當頻率從0變化時，極坐標圖如圖中的實線所示，為一半圓。(5)二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：在欠阻尼情況下當從01/T變化時，A()由11/(2)0，()=0-90-180A()和()也隨著阻尼比改變而改變。由上圖可以看出，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性和阻尼比有關(guān)系，當阻尼比大時，幅值A(chǔ)()變化??；阻尼比小時，A()變化大。此外對于任意一個阻尼比都存在一個最大幅值Mr，稱為諧振峰值，其對應(yīng)的頻率r稱為諧振頻率。當阻尼比大于1時，幅相頻率特性近似為一個半圓。當阻尼比足夠大時，數(shù)值大的特征根對動態(tài)響應(yīng)的影響很小，因此，此時的二階振蕩環(huán)節(jié)可近似為一個一階慣性環(huán)節(jié)。(6)延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為幅頻和相頻特性分別為：當頻率從0變化時，A()=1，相角()由0-。問題&思考通過奈奎斯特圖分析，上述典型環(huán)節(jié)中哪些表現(xiàn)出低通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出高通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出帶通濾波器的特性？5.2.2典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性（Bode圖）頻率特性對數(shù)坐標圖是將開環(huán)幅相頻率特性G(j)H(j)寫成其中，A()為幅頻特性，()為相頻特性。將幅頻特性A()取以10為底的對數(shù)，并乘以20得L()，單位是分貝(dB)，即使用對數(shù)頻率特性表示法的優(yōu)點：1.在研究頻率范圍很寬的頻率特性時，縮小了比例尺，將頻率特性的低、中、高三種頻段都描述在了一張圖上；2.簡化了繪制系統(tǒng)頻率特性的工作。使用Bode圖表示頻率特性有如下特點：1.將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘除化為加減運算；2.可采用近似方法計算；3.可分別作出各環(huán)節(jié)的Bode圖，再采用疊加的方式得出系統(tǒng)的Bode圖；4.由于橫坐標采用對數(shù)分度，因此能夠?qū)⑤^寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來。下面介紹典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性。(1)比例環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻相頻特性為：當從0+變化時，對數(shù)幅頻特性為一水平直線，相角()0(2)積分環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為當從0變化時，每增大十倍，L()值下降20dB。L()是斜率為–20dB/dec的直線；相角()=-90。(3)微分環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為當從0變化時，每增大十倍，L()值增大20dB，L()是斜率為20dB/dec的直線，()=90。(4)一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為當從0變化時，根據(jù)以上兩式可得慣性環(huán)節(jié)對數(shù)坐標圖的精確曲線，但這樣十分麻煩。可用漸近線的方法先畫出曲線的大致圖形，再加以精細化。1)當頻率<<1/T時2)當頻率>>1/T時低頻段的漸近線是一條0分貝的水平線，高頻段的漸近線是斜率為-20(dB/dec)且與軸交于T=1/T點的直線。交點處的頻率T=1/T，稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。在轉(zhuǎn)折頻率=1/T處精確曲線L()與漸近線的誤差最大，為：在頻率=1/(2T)處精確曲線L()與漸近線的誤差為在頻率=2/T處精確曲線L()與漸近線的誤差為可見，離轉(zhuǎn)折頻率越遠誤差越小，慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線如下圖。當頻率從01/T變化時，相角()=0-45

-90(5)一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為一階比例微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的的函數(shù)關(guān)系只是符號相反。兩者的對數(shù)頻率特性曲線形狀相同，只是對數(shù)幅頻特性對稱于橫坐標軸0dB線，對數(shù)相頻特性對稱于0線(6)二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為當從0變化，可根據(jù)上兩式求得精確曲線，但麻煩?？上壤L制漸近線，再在轉(zhuǎn)折頻率附近對曲線進行誤差修正，便可得到精確曲線。1)當頻率<<1/T時，可得低頻段漸近線為2)當頻率>>1/T時，可得高頻段漸近線為低頻段的漸近線是一條0分貝的水平線，高頻段的漸近線是一條斜率為-40(dB/dec)且與軸交于=1/T點的直線。高、低頻段漸近線交點處的頻率=1/T=n稱為二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。在轉(zhuǎn)折頻率=1/T附近，利用誤差曲線對漸近線進行修正便可得到精確曲線L()；當從01/T

變化時()=0-90

-180在轉(zhuǎn)折頻率=1/T處精確曲線L()與漸近線的誤差最大，誤差也隨著阻尼比改變而改變，離轉(zhuǎn)折頻率越遠誤差越小，如下圖所示。(7)延遲環(huán)節(jié)頻率特性為對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性分別為當頻率從0變化時，L()=0,相角()由0-問題&思考通過伯德圖分析，上述典型環(huán)節(jié)中哪些表現(xiàn)出低通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出高通濾波器的特性？哪些表現(xiàn)出帶通濾波器的特性？問題&思考分析奈奎斯特圖和伯德圖的對應(yīng)關(guān)系。5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖的繪制采用頻率分析法進行系統(tǒng)分析，可以用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，也可以根據(jù)開環(huán)頻率特性和已有的頻率特性曲線求得閉環(huán)頻率特性，在利用閉環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。下面分別介紹Nyquist和Bode圖的繪制方法。5.3.1Nyquist圖的繪制繪制Nyquist圖的概略圖形一般步驟如下：1)將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)中的s由j代替，求得開環(huán)頻率特性G(j)，由G(j)求出其實頻率特性、虛頻率特性和幅頻、相頻特性的表達式；2)求出若干特性點，如起點、終點與實軸、虛軸的交點，并標注在極坐標圖上；3)根據(jù)實部、虛部等變化趨勢以及G(j)所處的象限，畫出Nyquist曲線的大致圖形。例5.1繪制如下開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖解：寫出3個環(huán)節(jié)的頻率特性為：系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性為開環(huán)相頻特性為：通過描點法，將從0變化的點描繪出來，畫出Nyquist圖。根據(jù)第3章所述，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v不同，控制系統(tǒng)可分為0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)、II型系統(tǒng)等。下面分別給出0型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)、II型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性極坐標圖。(1)0型系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖0型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其頻率特性為：其中當(2)I型系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖I型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其頻率特性為：其中當(3)II型系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖II型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其頻率特性為：其中當(4)總結(jié)假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為便可求得開環(huán)頻率特性1)奈奎斯特曲線的低頻段當頻率0時①當=0時，即0型系統(tǒng)所以0型系統(tǒng)，曲線起始于正實軸上的K點。②當=1時，即I型系統(tǒng)所以I型系統(tǒng)，曲線起始于負虛軸上的無窮遠點。③當=2時，即II型系統(tǒng)所以II型系統(tǒng)，曲線起始于負實軸上的無窮遠點。由于開環(huán)頻率特性的相位角還與分子和分母的時間常數(shù)以及系統(tǒng)類型有關(guān)，所以當=1，2，3，4時，低頻段的奈奎斯特曲線如圖所示。2)奈奎斯特曲線的高頻段所以當n>m時，奈奎斯特曲線以順時針方向收斂于原點，(n-m)值決定與哪個坐標軸相切。①當n-m=1時，曲線將與負虛軸相切；②當n-m=2時，曲線將與負實軸相切；③當n-m=3時，曲線將與正虛軸相切；④當n-m=4時，曲線將與正實軸相切。由于開環(huán)頻率特性的相位角還與分子和分母的時間常數(shù)以及系統(tǒng)類型有關(guān)，所以當n-m=1，2，3，4時，高頻段的奈奎斯特曲線如圖所示。3)中頻段的奈奎斯特曲線假設(shè)開環(huán)頻率特性為求與坐標軸的交點令開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的實部Re()和虛部Im()分別為零，便可得到開環(huán)頻率特性與虛軸和實軸的所有交點。其中，實部等于零的解，是與虛軸的所有交點；虛部等于零的解，是與實軸的所有交點。問題&思考已知某典型二階振蕩系統(tǒng)為繪制其奈奎斯特圖。根據(jù)奈奎斯特圖的低頻和高頻段特性，分析不同型號時伯德圖的低頻和高頻段特性。5.3.2Bode圖的繪制繪制對數(shù)幅頻特性漸近線的步驟：1)將開環(huán)頻率特性化成典型環(huán)節(jié)之積的形式：求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，標注在對數(shù)坐標圖上。2)確定低頻段的漸近線假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為若因子

和因子

中的最小轉(zhuǎn)折頻率為

，則當<<min時：即低頻段(<<min)的漸近線方程為當=1時，有L()=20lgK當L()=0時，有20lgK=20lg

，即所以低頻段的漸近線是斜率為-20(dB/dec)，且通過=1，L()=20lgK點(或與軸交于點)的直線。它從低頻段開始一直到最小轉(zhuǎn)折頻率處。系統(tǒng)低頻段的漸近線：0型系統(tǒng)是一條水平直線；I型系統(tǒng)是一條斜率為-20(dB/dec)的直線；II型系統(tǒng)是一條斜率為-40(dB/dec)的直線；依次類推。3)L()從低頻段開始向高頻段延伸時，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，漸近線斜率的改變量為該轉(zhuǎn)折頻率所屬典型環(huán)節(jié)的高頻漸近線斜率。4)在各轉(zhuǎn)折頻率附近對漸近線作合理修正，便可得到精確的L()曲線。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性的繪制，先分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，然后將各曲線進行疊加。實際畫圖時，可先寫出總的系統(tǒng)開環(huán)相頻特性表達式，然后每隔十倍頻程或倍頻程計算出一個點，最后用光滑曲線連接。（借助Nyquist圖畫對數(shù)相頻特性）例5.2作下述系統(tǒng)的Bode圖。其傳遞函數(shù)為解：將傳遞函數(shù)化為標準型系統(tǒng)的頻率特性為：寫出各階段的轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)根據(jù)書上的步驟，首先繪制對數(shù)幅頻特性的漸近線，并對誤差進行修正；然后將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性進行疊加；最后得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性。對各環(huán)節(jié)的相頻特性進行疊加，得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性。例5.3繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性。解：標準化傳遞函數(shù)后寫出系統(tǒng)的頻率特性求出轉(zhuǎn)折頻率在處，在第一個轉(zhuǎn)折頻率左邊作斜率為-20dB/dec的直線，在經(jīng)過第一個轉(zhuǎn)折頻率后斜率為-40dB/dec，直至第二個轉(zhuǎn)折頻率變?yōu)?20dB/dec，在經(jīng)過第三個轉(zhuǎn)折頻率后斜率再次變?yōu)?40dB/dec。系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性為：問題&思考試繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖和伯德圖。若在系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)一個純積分環(huán)節(jié)，上述兩圖會發(fā)生哪些變化？若在串聯(lián)一個慣性環(huán)節(jié)呢？5.3.3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有零、極點，則稱為最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)，例如：反之，稱為非最小相位系統(tǒng)，例如：G1(s)和G2(s)的幅頻特性相同當其相頻特性卻不一樣：當=0時，當時，對于最小相位系統(tǒng)G1(s)來說，相角變化了90；而非最小相位系統(tǒng)G2(s)相位則變化了270?？梢?，最小相位系統(tǒng)的相角變化為最小。對于G3(s)，則其相位變化為270，也是非最小相位系統(tǒng)的特性?？刂葡到y(tǒng)相位滯后越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)5.4.1奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的基本原理對于復(fù)變函數(shù)若在s平面上任意選擇一封閉的曲線，只要不經(jīng)過F(s)的極點，則對應(yīng)的F(s)平面上的曲線也是一條封閉的曲線。當s按順時針方向變化了一周，F(xiàn)(s)將按順時針方向旋轉(zhuǎn)N周。若令：Z為包圍在s平面上封閉曲線內(nèi)F(s)的零點數(shù)，P為包圍在s平面上封閉曲線內(nèi)F(s)的極點數(shù)，則：N=Z-P5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(1)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（一）假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的原點和虛軸上沒有極點。則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為令則：其中si為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。為了使得系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)全部的根應(yīng)具有負實部，即si均具有負實部。當由-+變化時，若開環(huán)頻率特性G(j)H(j)順時針方向包圍(-1,j0)點的圈數(shù)N等于G(s)H(s)在s平面的右半平面的極點P時，有N=-P，由N=Z-P知Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。其中Z為在s平面右半平面的零點數(shù)，對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)不包圍(-1,j0)點。理解：因為閉環(huán)特征函數(shù)的頻率特性為閉環(huán)特征函數(shù)的頻率特性由單位1和G(j)H(j)組成，將[F]平面上的F(j)曲線向左平移1個單位，便得[GH]平面上的G(j)H(j)曲線。這樣，[F]平面上的原點就對應(yīng)于[GH]平面上的(-1,j0)點。所以，F(xiàn)(j)曲線在[F]平面上順時針方向包圍原點的次數(shù)N，就對應(yīng)于G(j)H(j)曲線在[GH]平面上順時針方向包圍(-1,j0)點的次數(shù)N。例5.4設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線不包括(-1,j0)點，即N=0。而開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為-0.5，-1，-2，都位于s平面左半部分，故P=0，則Z=N+P=0。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例5.5設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線順時針包含(-1,j0)點兩次，即N=2。而開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為-1，-2，-3，都位于s平面左半部分，故P=0，則Z=N+P=2。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5.6設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線逆時針包含(-1,j0)點兩次，即N=-2。而開環(huán)傳遞函數(shù)的極點中有兩個位于s平面右半部分，故P=2，則Z=N+P=0。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)（二）當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點上有極點時，要對s平面上的Nyquist路徑進行修正，使其不通過G(s)H(s)的極點。假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若G(s)H(s)在s平面的原點有極點，為使s平面上的Nyquist路徑不通過原點，可對Nyquist路徑在原點附近進行修正：以原點為圓心，做半徑為無窮小的右半圓弧，如圖

將此半圓弧作為Nyquist路徑的一部分，從而將原點歸入了左半s平面。

將Nyquist路徑在G(s)H(s)平面上的映射中，位于原點附近的小半圓可表示為從-900+90考慮

0，有映射為半徑為無窮大的圓弧，從+v90開始，順時針經(jīng)0，結(jié)束于-v90。針對不同類型的系統(tǒng)分別討論如下：1)I型系統(tǒng)對于I型系統(tǒng)，應(yīng)該補充半徑為的圓弧，從G(j)H(j)曲線上的點開始，按順時針方向到達的點為止，相應(yīng)的復(fù)角從90到-90。2)II型系統(tǒng)對于II型系統(tǒng)，應(yīng)該補充半徑為的圓弧，從G(j)H(j)曲線上的點開始，按順時針方向到達的點為止。對于s平面虛軸上的開環(huán)極點，在虛軸上的極點處作半徑為無窮小的右半圓，即在極點附近，取（

0，從-900+90），使Nyquist路徑不通過虛軸上的極點但仍包圍整個s右半平面，修改后的奈奎斯特判據(jù)仍可用。

修改后的Nyquist路徑在[GH]平面上的映射，一般稱為增補的Nyquist曲線。例5.7設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線順時針包含(-1,j0)點兩次，即N=2。而開環(huán)傳遞函數(shù)的極點中沒有位于s平面右半部分，故P=0，則Z=N+P=2。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5.8設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：G(j)H(j)曲線不包含(-1,j0)點，即N=0。而開環(huán)傳遞函數(shù)的極點中沒有位于s平面右半部分，故P=0，則Z=N+P=0。由Nyquist判據(jù)可知，該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(3)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)極點都在s平面左半部分的穩(wěn)定性判據(jù)對于最小相位系統(tǒng)，即P=0，在畫奈奎斯特圖時，只需作出由0+的部分即可，不必再計算包圍(-1,j0)的次數(shù)。(4)系統(tǒng)具有延遲環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析對于具有延遲環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)包含有延遲環(huán)節(jié)其開環(huán)傳遞函數(shù)為：可改寫為：則系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：則系統(tǒng)的幅值和相角分別為：則相對于G(s)H(s)而言，幅值沒有變化，相角在其基礎(chǔ)之上轉(zhuǎn)動的角度。5.4.3頻域法分析系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性對于最小相位系統(tǒng)，若Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點，則系統(tǒng)穩(wěn)定。若系統(tǒng)穩(wěn)定，Nyquist曲線離(-1，j0)點越遠，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高，反之，穩(wěn)定程度越低。由此可見，奈氏圖不僅表明了系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且還表明了穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，這就是所謂的相對穩(wěn)定性。由于(-1，j0)點可表示幅值為1，相角為-180的向量，即s=-1+j0，所以Nyquist曲線對(-1，j0)的靠近程度，即系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量可從幅值和相角兩個方面來考慮。一般用相位裕量和增益裕量Kg表示最小相位系統(tǒng)的Nyquist曲線對臨界穩(wěn)定邊界點(-1，j0)靠近程度的定量關(guān)系，它反應(yīng)了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。(1)相位裕量（PhaseMagin，簡稱PM）c處的相角G(jc)H(jc)與-180的相位差稱為相位裕量或相角裕量，用表示，即c滿足設(shè)G(j)H(j)曲線，在極坐標圖中與單位圓交于C點，C點處的頻率c稱為增益穿越頻率(也稱剪切頻率)。如圖：相位裕量表示在增益穿越頻率c處，G(jc)H(jc)與-180的接近程度。當>0時，表示相位裕量是正的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；<0時，表示相位裕量是負的，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時，表示相位裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定。(2)增益裕量（GainMargin，簡稱GM）設(shè)G(j)H(j)在極坐標圖中與負實軸相交于G點，G點處的頻率g稱為相位穿越頻率。如圖|G(jg)H(jg)|的倒數(shù)稱為增益裕量或幅值裕量，用Kg表示。當Kg>1時，表示增益裕量大于1，系統(tǒng)穩(wěn)定；Kg<1時，表示增益裕量小于1，系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kg=1時，表示增益裕量等于1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。問題&思考通過奈奎斯特圖中相對穩(wěn)定性的判據(jù)，分析在伯德圖上如何根據(jù)曲線得到最小相位系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（相位裕量和增益裕量）？5.5開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系5.5.1開環(huán)對數(shù)頻率特性與閉環(huán)穩(wěn)定性的關(guān)系(1)用伯德圖確定穩(wěn)定裕量c在Bode圖中對應(yīng)零分貝的點，即L()與軸的交點。g在Bode圖中對應(yīng)相角為-180的點，即開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線與-180水平直線的交點。在Bode圖中，相位裕量和增益裕量的定義仍同上，但增益裕量通常以分貝數(shù)來表示，即對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，增益裕量為正，如圖G1(j)H1(j)所示；不穩(wěn)定的系統(tǒng)，如圖G2(j)H2(j)所示；臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，如圖G3(j)H3(j)所示：增益裕量反映系統(tǒng)開環(huán)增益對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，相位裕量反映理論上只改變開環(huán)頻率特性的那些參數(shù)的變化對穩(wěn)定性的影響。因此增益裕量大的系統(tǒng)其相位裕量不一定大。所以一般需同時利用增益裕量和相位裕量兩種性能指標來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。一般相位裕量應(yīng)當在3060之間，而增益裕量Kg應(yīng)大于2或6dB，因20lg2=6dB。(2)伯德定理介紹閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在Bode圖上，當由0變?yōu)?時，開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對-180線正穿越與負穿越次數(shù)之差為P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。其中P為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半面的極點數(shù)。對于最小相位系統(tǒng)，P=0，此時開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性先交與橫軸，即c<g時，一定存在>0和Kg>1，所以系統(tǒng)必然穩(wěn)定。當c>g時，一定存在<0和Kg<1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當c=g時，一定滿足=0和Kg=1，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。此條件為開環(huán)最小相位系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。對于多個剪切頻率的問題，則取最大的剪切頻率進行分析。5.5.2系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系(1)0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻特性為：其對數(shù)幅頻特性為：在低頻段即為一條高度為平行于軸的直線；在高頻段為一條斜率為的直線。兩條漸近線的轉(zhuǎn)折頻率若已知低頻段的高度，則可求出位置誤差系數(shù)，以求出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。(2)I型系統(tǒng)I型系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻特性為：其對數(shù)幅頻特性為：在低頻段即為一條斜率為的直線；在高頻段為一條斜率為的直線。兩條漸近線的轉(zhuǎn)折頻率漸近線（延長線）與0dB線的交點為=Kv；=1處，幅值為20lgKv，都可求出穩(wěn)態(tài)誤差。(3)II型系統(tǒng)II型系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻特性為：其對數(shù)幅頻特性為：在低頻段即為一條斜率為的直線；在高頻段為一條斜率為的直線。兩條漸近線的轉(zhuǎn)折頻率漸近線（延長線）與0dB線的交點為；=1處，幅值為，都可求出穩(wěn)態(tài)誤差。5.5.3開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)時域性能之間的關(guān)系(1)伯德圖的對數(shù)幅頻特性曲線中頻段（剪切頻率附近的頻段）與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：畫出伯德圖以及變化情況如圖。對于典型二階振蕩系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性則，開環(huán)幅頻特性為開環(huán)相頻特性為令M()=1，可得幅值剪切頻率c為可得系統(tǒng)的相位裕量為由此可見，c是無阻尼自然振蕩頻率n和阻尼比的函數(shù)；而γ僅是的函數(shù)，且成正比關(guān)系。當0<

≤0.7時，可近似為如下線性關(guān)系(2)頻域性能指標——相位裕量γ與是與性能指標——超調(diào)量Mp和調(diào)整時間ts的定量關(guān)系1)相位裕量γ與超調(diào)量Mp之間的關(guān)系Mp也是的單值函數(shù)。由此可見，Mp與γ之間也有單值關(guān)系。且γ越小，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的Mp便越大，隨之對應(yīng)的系統(tǒng)相對穩(wěn)定性也就越差。因此，可用γ來表征系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的相對穩(wěn)定性。2)相位裕量γ與調(diào)整時間ts之間的定量關(guān)系對于二階振蕩系統(tǒng)，調(diào)整時間ts為：將γ和c代入ts得由此可見，ts隨γ的增加而單調(diào)下降。如果γ不變，則ts與c成反比。即c越大，ts越短，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的快速性就越好。因此，c表征了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的快速性。(3