第九章+靜電場

第九章靜電場9.1電荷和庫侖定律9.1.1電荷及其基本性質(zhì)電量是物體所帶電荷的量度，符號用q或Q表示，單位為庫侖（C）。

1.電荷的量子性任何帶電體的電量都是電子電量（-e）或質(zhì)子電量（+e）的整數(shù)倍，即：q=±ne（e=1.6×10-19C）

2.電荷守恒定律在沒有凈電荷出入邊界的系統(tǒng)中，電荷的代數(shù)和保持不變。

3.電荷的相對論不變性對于同一帶電粒子，無論是處于靜止還是處于不同的運動狀態(tài)，其電量保持不變。9.1.2庫侖定律和庫侖力疊加原理9.1電荷和庫侖定律

1.點電荷和試驗電荷當(dāng)一個帶電體的線度比問題研究中涉及的距離小得多時，該帶電體就可視為一個帶電的點，成為點電荷。當(dāng)被看做點電荷的帶電體所帶電量的絕對值非常小，且其自身的線度也非常小時，該帶電體就被稱為試驗點和或檢驗電荷。

2.庫侖定律點電荷之間存在著相互作用力，稱為庫侖力。實驗表明：在真空中，兩個靜止的點電荷之間的相互作用力的方向沿著這兩個點電荷的連線，同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引，作用力的大小與電荷之積的絕對值成正比，與這兩個點電荷之間的距離的平方成反比。這個規(guī)律叫做真空中的庫侖定律。9.1電荷和庫侖定律（真空中的介電常數(shù)）庫侖定律標量形式：9.1電荷和庫侖定律

3.庫侖力的疊加原理在真空中，當(dāng)幾個點電荷同時存在時，作用于某一個點電荷上的庫侖力等于各個點電荷單獨存在時作用于該點電荷的庫侖力的矢量和。++-9.1電荷和庫侖定律一般情況下，一個點電荷系對點電荷q0的作用力可以表示為：任何帶電體都可以看成是無限多個點電荷的集合。因此，一個帶電體對點電荷q0的作用力可以表示為：9.1電荷和庫侖定律電荷的線密度、面密度和體密度9.1電荷和庫侖定律【典型例題1】求解點電荷所受的庫侖力例1：3個點電荷的位置如圖所示，其中q1=q2>0，相距為2a，q0<0，位于X軸上，求q0所受的庫侖力。解：q0所受的庫侖力為：9.1電荷和庫侖定律例2、在邊長為2cm的等邊三角形的頂點上，分別放置電荷量為

、

和

的點電荷。（1）哪一個點電荷所受的力最大？（2）求作用在

q2

上力的大小和方向。答案：（1）f1=59.5N，f2=67.5N，f3=81.1N。q3受到的力最大。（2）f2=67.5N，方向沿著X軸方向。例3、在長為l帶電量為q的均勻細桿的一端離端點為d處置一點電荷q0，求其所受的庫侖力。解：細桿電荷線密度為：=q/l，在x處取線元dx，其電量為：dq=dx=qdx/l9.1電荷和庫侖定律該電荷元到q0的距離為：r=l+d-x，q0受到該電荷元的庫侖力為：例4、長為l帶電量為q的均勻細桿，在桿的中垂線上距離為d處置一點電荷q0，求其所受的庫侖力。9.1電荷和庫侖定律解：根據(jù)對稱性可知，點電荷收到的庫侖力在X軸方向上為0。9.2

電場強度

電場：凡是有電荷的地方，四周就存在著某種特殊形式的物質(zhì)，稱為電場。

電場的基本性質(zhì)是：對任何處在其中的其他電荷都施加力的作用，作用力的大小由庫侖定律及庫侖力的疊加原理決定，這種力稱為電場力。

靜電場：相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場。9.2

電場強度9.2.1電場強度

（1）試驗電荷q0處在點電荷q所產(chǎn)生的電場中的受力情況：是

q到q0的位置矢量，其中：9.2

電場強度

（2）試驗電荷q0處在點電荷系（q1，q2，…，qn）所產(chǎn)生的電場中的受力情況：是

qi

到q0的位置矢量，其中：9.2

電場強度

（3）試驗電荷q0處在帶電體（Q）所產(chǎn)生的電場中的受力情況：是dq到q0的位置矢量，其中：9.2

電場強度

在任何電場中，試驗電荷q0在電場中任一點p處收到的電場力均可表示為：

是由產(chǎn)生電場的電荷及場點p的位置所決定的物理量，它決定著試驗電荷q0所受電場力的大小和方向，稱為電場中p點處的電場強度。

與q0無關(guān)，若令q0=+1，則有：。由此可見，電場強度等于單位正電荷在電場中所受的電場力。電場強度是矢量，其單位為：牛頓·庫侖-1（N·C-1）9.2

電場強度9.2.2電場強度的計算式

（1）點電荷的電場：

（2）點電荷系的電場：（3）帶電體的電場：場強疊加原理：p點的總場強等于各點電荷在p點產(chǎn)生的場強的矢量和。9.2

電場強度【典型例題2】求解帶電體的電場例1：計算電偶極子軸線的延長線上和中垂線上任意一點的電場強度。表示從負電荷到正電荷的相對位置矢量，稱為電偶極子的軸，定義電偶極矩（）是描述電偶極子自身特征的物理量。（1）電偶極子軸線的延長線上某點A(x,0)處的場強（x>>l）：9.2

電場強度（2）電偶極子中垂線上某點B(y,0)處的場強（y>>l）：9.2

電場強度例2：一均勻帶電細圓環(huán)，半徑為R，所帶總電量為q（q>0），求圓環(huán)軸線上與圓心相距為x處的點P處的場強。解：在細環(huán)上取電荷元dq，該電荷元在P點激發(fā)的電場強度為：將沿垂直于軸線和平行于軸線兩個方向分解，相應(yīng)的分量為和。根據(jù)對稱性，圓環(huán)上所有電荷在垂直于軸線方向上分量的矢量疊加為零，因而P點的場強只有軸向分量，即：相當(dāng)于點電荷激發(fā)的電場9.2

電場強度例3：試計算均勻帶電薄圓盤軸線上與盤心相距為x的任意一點P處的場強，設(shè)薄圓盤的半徑為R，電荷面密度為。解：取半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，其面積為2rdr，帶電量為dq=2rdr，該圓環(huán)在P點激發(fā)的電場強度沿軸線方向，其大小為：9.2

電場強度相當(dāng)于點電荷激發(fā)的電場無限大帶電面激發(fā)的電場9.2

電場強度例4：設(shè)有一均勻帶電的直導(dǎo)線，長度為b，帶電量為q，如圖所示的直角坐標系中，用表示帶電直導(dǎo)線到線外一點P的垂直位矢，用1和2分別表示P點和導(dǎo)線兩端的連線與x軸的夾角，求P點處的電場強度。解：直導(dǎo)線電荷線密度為：=q/b，在x處取線元dx，其電量為：dq=dx。該電荷元在P點激發(fā)的電場為：9.2

電場強度9.3

電場線9.3.1電場線

電場線：在電場中畫出一系列假想的曲線，使得曲線上的每一點的切線方向與該點電場強度方向相同，這些假想的曲線稱為電場線。

電場線密度：電場中某點的電場線密度定義為穿過某點附近與電場線垂直的單位面元的電場線條數(shù)。規(guī)定某點電場線密度與該點場強大小成正比。在電場中某點附近取一與電場線垂直的面元dS⊥，設(shè)穿過它的電場線數(shù)位dN，則電場線密度為dN/dS⊥。因此有：9.3

電場線9.3.2靜電場電場線的性質(zhì)性質(zhì)1：靜電場的電場線發(fā)自正電荷（或無窮遠），終止于負電荷（或無窮遠），在沒有電荷的地方不中斷（場強為零的奇異點——導(dǎo)體內(nèi)除外）；性質(zhì)2：電場線不構(gòu)成閉合曲線；性質(zhì)3：任何兩條電場線不會相交。9.4

靜電場的高斯定理9.4.1電通量有向面元（矢量）：通過有向面元的電通量（標量）：電通量在量值上等于通過電場中有向面元的電場線條數(shù)乘以+1或-1。電場線順著方向通過電場線逆著方向通過9.4

靜電場的高斯定理通過任意曲面的電通量：通過該曲面上各有向面元的電通量的代數(shù)和。通過閉合曲面的電通量：電通量單位：牛頓·米2·庫侖-1（N·m2·C-1）例2：在點電荷q的電場中，以點電荷所在點O為球心作一半徑為r的球面，求通過球面的電通量。9.4

靜電場的高斯定理例1：在均勻電場中通過一個平面的電通量。9.4

靜電場的高斯定理例3：在電荷線密度為

的長直導(dǎo)線的電場中，以長直導(dǎo)線為軸，做一半徑為r，高度為a的圓柱面。該圓柱面的側(cè)面及上下底面圍成一個閉合面S，求通過S的電通量。解：因為圓柱面上下底面的法向法向與電場線方向垂直，因此通過圓柱面上下底面的電通量為0。9.4

靜電場的高斯定理9.4.2靜電場的高斯定理在真空中，對于任意靜電場，通過任意封閉曲面S的電通量，等于該封閉曲面內(nèi)所包圍的總電荷量的1/0倍。（1）任意閉合曲面S叫做高斯面；（2）高斯定理表達式中電場是高斯面上面元處的場強，它是由全部電荷（包括面內(nèi)和面外）共同產(chǎn)生的總場強，并非只是由封閉面內(nèi)電荷產(chǎn)生的場強。（3）通過高斯面的電通量有正負之分，其正負只取決于封閉曲面所包圍電荷量的代數(shù)和。（4）靜電場的高斯定理說明靜電場為有源場。9.4

靜電場的高斯定理9.4.3高斯定理的應(yīng)用舉例【典型例題3】用高斯定理求解帶電體的電場（1）根據(jù)電荷分布的對稱性，利用場強疊加原理分析場強的方向和場強分布的對稱性。（2）作一個合適的高斯面，求出高斯面內(nèi)的總電荷qint。（3）應(yīng)用高斯定理計算場強大小，繼而給出矢量表達式。9.4

靜電場的高斯定理例1：設(shè)在真空中有一均勻的帶電球體，半徑為R，帶電總量為Q，求球面內(nèi)外空間各點的場強。解：（1）根據(jù)對稱性可知，帶電球體場強具有球?qū)ΨQ性。（2）求球外任意一點

P（r≥R）的場強。過P點作半徑為r的同心球面S（高斯面），根據(jù)高斯定理可知：9.4

靜電場的高斯定理（3）求球內(nèi)任意一點P（r≤R）的場強。過P點作半徑為r的同心球面S（高斯面），根據(jù)高斯定理可知：綜上有：綜上有：9.4

靜電場的高斯定理例2：設(shè)在真空中有一均勻的帶電球面，半徑為R，帶點總量為Q，求球面內(nèi)外空間各點的場強。例3：設(shè)在真空中有一均勻的帶電球殼，內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，帶點總量為Q，求空間各點的場強。9.4

靜電場的高斯定理例4：求半徑為R，電荷線密度為的無限長均勻帶電圓柱面的電場。解：（1）根據(jù)對稱性可知，帶電球體場強具有柱對稱性。（2）r<R時，E=0；（3）r>R時，取與帶電柱面同軸的高為l的圓柱面為高斯面：綜上有：9.4

靜電場的高斯定理例5：求半徑為R，電荷體密度為（=R2）的無限長均勻帶電圓柱體的電場。例6：求電荷面密度為的無限大均勻帶電平面的電場。解：（1）根據(jù)對稱性可知，帶電體場強具有面對稱性。（2）取軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面為高斯面：9.5

靜電場的環(huán)路定理9.5.1靜電場的環(huán)路定理討論點電荷Q的靜電場作功問題：試探電荷q0從靜電場中的A點沿任意路徑運動到B點的過程中，靜電力作功為：試探電荷q0在靜電場中運動的過程中，電場力對q0作功只與其量值和運動路徑的始末位置有關(guān)，而與其運動路徑無關(guān)，這就是靜電場的保守性（有勢性）。9.5

靜電場的環(huán)路定理討論在任意靜電場中，作一任意閉合路徑L，考察沿該閉合路徑移動單位正電荷過程中靜電力所作的功：環(huán)流：靜電場強的環(huán)路積分叫做靜電場強沿閉合路徑的環(huán)流。靜電場的環(huán)路定理：靜電場強的環(huán)流等于零：9.5

靜電場的環(huán)路定理9.5.2電勢差和電勢試探電荷q0從靜電場中的p點沿任一路徑移動到p點的過程中，電場力對q0作功等于q0的電勢能的減少量：

電勢能（Wp）：試探電荷q0在p點的靜電勢能，選擇p點為參考點，令Wp=0，則有（靜電勢能屬于靜電場與試探電共有）：9.5

靜電場的環(huán)路定理

電勢（Vp）：靜電場中p點的電勢，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點的靜電勢能，也等于把單位正電荷從該點沿任一路徑移動到電勢參考點（與靜電勢能參考點相同）時靜電力所作的功。

電勢差（UAB）：靜電場中任意兩點A、B之間的電勢之差（電壓），等于把單位正電荷從A點沿任一路徑移動到到B點時靜電力所作的功。靜電場中，將點電荷q從A點沿任一路徑移動到B點，靜電力作功：9.5

靜電場的環(huán)路定理（1）電勢構(gòu)成標量場，電勢差不構(gòu)成標量場，對一點談電勢，對兩點談電勢差；（2）可以由兩點間的電勢差正負號判斷兩點間的電勢高低；（3）由于電勢參考點選取的任意性，因此電勢是一個相對量；但兩點間的電勢差是一個絕對量，與參考點的選取無關(guān)；（4）當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時，一般將電勢零點選在無窮遠處，此時電場中某點A的電勢為：（5）點電荷電場中，選無窮遠處為電勢零點，則距離點電荷q為r處的P點電勢為：幾點說明9.5

靜電場的環(huán)路定理9.5.3電勢的計算舉例1.電勢疊加原理

n個點電荷系的電場中，任意一點的電勢等于每一個點電荷單獨存在時在該點所產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，即：（1）電荷離散分布時，電勢疊加原理表示為：（2）電荷連續(xù)分布時，電勢疊加原理表示為：9.5

靜電場的環(huán)路定理2.電勢的計算方法（1）利用電勢的定義式計算，適用于能用高斯定理計算場強的情形。首先要明確電勢零點；其次是選一條合適的積分路徑，求出積分路徑上電場的分布函數(shù)；最后代入電勢的定義式進行計算。（2）利用點電荷的電勢公式結(jié)合電勢疊加原理進行計算，適用于電荷分布在有限區(qū)域的實際情形。9.5

靜電場的環(huán)路定理【典型例題4求帶電體的電勢】例1、計算電偶極子電場中任意一點的電勢。9.5

靜電場的環(huán)路定理例2、正電荷q均勻分布的半徑為R的細圓環(huán)上，求圓環(huán)軸線上距環(huán)心為x的點P處的電勢。解：在圓環(huán)上取電荷元dq，該電荷元在P點產(chǎn)生的電勢為：相當(dāng)于點電荷激發(fā)的電勢9.5

靜電場的環(huán)路定理另解：均勻帶電細圓環(huán)軸線上的電場強度為：根據(jù)電勢定義有：9.5

靜電場的環(huán)路定理例3、在電荷面密度為的均勻分布的半徑為R的圓盤上，求圓盤軸線上距盤心為x的點P處的電勢。解：將圓盤分成一個個圓環(huán)，其中任一環(huán)的半徑為r，寬度為dr，帶電量為：該環(huán)在P點產(chǎn)生電勢為：積分可得圓盤在P點產(chǎn)生的電勢為：9.5

靜電場的環(huán)路定理另解：均勻帶電薄圓盤軸線上的電場強度為：根據(jù)電勢定義有：9.5

靜電場的環(huán)路定理相當(dāng)于點電荷激發(fā)的電勢另解：9.5

靜電場的環(huán)路定理當(dāng)R→時，帶電平面將延伸到無限遠，不能取無限遠處為電勢零點。由于無限大平面在空間激發(fā)的電場為勻強電場，故選空間某點P(x)處為電勢參考點，有：由此可見：在靜電場中，電勢是相對的，而電勢差有絕對意義，沿著電場線方向電勢降低。9.5

靜電場的環(huán)路定理例4、求無限長均勻帶電直導(dǎo)線電場中的電勢，設(shè)電荷線密度為。解：由于無限