第九章+靜電場(chǎng)

第九章靜電場(chǎng)9.1電荷和庫(kù)侖定律9.1.1電荷及其基本性質(zhì)電量是物體所帶電荷的量度，符號(hào)用q或Q表示，單位為庫(kù)侖（C）。

1.電荷的量子性任何帶電體的電量都是電子電量（-e）或質(zhì)子電量（+e）的整數(shù)倍，即：q=±ne（e=1.6×10-19C）

2.電荷守恒定律在沒(méi)有凈電荷出入邊界的系統(tǒng)中，電荷的代數(shù)和保持不變。

3.電荷的相對(duì)論不變性對(duì)于同一帶電粒子，無(wú)論是處于靜止還是處于不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其電量保持不變。9.1.2庫(kù)侖定律和庫(kù)侖力疊加原理9.1電荷和庫(kù)侖定律

1.點(diǎn)電荷和試驗(yàn)電荷當(dāng)一個(gè)帶電體的線度比問(wèn)題研究中涉及的距離小得多時(shí)，該帶電體就可視為一個(gè)帶電的點(diǎn)，成為點(diǎn)電荷。當(dāng)被看做點(diǎn)電荷的帶電體所帶電量的絕對(duì)值非常小，且其自身的線度也非常小時(shí)，該帶電體就被稱為試驗(yàn)點(diǎn)和或檢驗(yàn)電荷。

2.庫(kù)侖定律點(diǎn)電荷之間存在著相互作用力，稱為庫(kù)侖力。實(shí)驗(yàn)表明：在真空中，兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力的方向沿著這兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線，同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引，作用力的大小與電荷之積的絕對(duì)值成正比，與這兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離的平方成反比。這個(gè)規(guī)律叫做真空中的庫(kù)侖定律。9.1電荷和庫(kù)侖定律（真空中的介電常數(shù)）庫(kù)侖定律標(biāo)量形式：9.1電荷和庫(kù)侖定律

3.庫(kù)侖力的疊加原理在真空中，當(dāng)幾個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)存在時(shí)，作用于某一個(gè)點(diǎn)電荷上的庫(kù)侖力等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于該點(diǎn)電荷的庫(kù)侖力的矢量和。++-9.1電荷和庫(kù)侖定律一般情況下，一個(gè)點(diǎn)電荷系對(duì)點(diǎn)電荷q0的作用力可以表示為：任何帶電體都可以看成是無(wú)限多個(gè)點(diǎn)電荷的集合。因此，一個(gè)帶電體對(duì)點(diǎn)電荷q0的作用力可以表示為：9.1電荷和庫(kù)侖定律電荷的線密度、面密度和體密度9.1電荷和庫(kù)侖定律【典型例題1】求解點(diǎn)電荷所受的庫(kù)侖力例1：3個(gè)點(diǎn)電荷的位置如圖所示，其中q1=q2>0，相距為2a，q0<0，位于X軸上，求q0所受的庫(kù)侖力。解：q0所受的庫(kù)侖力為：9.1電荷和庫(kù)侖定律例2、在邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形的頂點(diǎn)上，分別放置電荷量為

、

和

的點(diǎn)電荷。（1）哪一個(gè)點(diǎn)電荷所受的力最大？（2）求作用在

q2

上力的大小和方向。答案：（1）f1=59.5N，f2=67.5N，f3=81.1N。q3受到的力最大。（2）f2=67.5N，方向沿著X軸方向。例3、在長(zhǎng)為l帶電量為q的均勻細(xì)桿的一端離端點(diǎn)為d處置一點(diǎn)電荷q0，求其所受的庫(kù)侖力。解：細(xì)桿電荷線密度為：=q/l，在x處取線元dx，其電量為：dq=dx=qdx/l9.1電荷和庫(kù)侖定律該電荷元到q0的距離為：r=l+d-x，q0受到該電荷元的庫(kù)侖力為：例4、長(zhǎng)為l帶電量為q的均勻細(xì)桿，在桿的中垂線上距離為d處置一點(diǎn)電荷q0，求其所受的庫(kù)侖力。9.1電荷和庫(kù)侖定律解：根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)電荷收到的庫(kù)侖力在X軸方向上為0。9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度

電場(chǎng)：凡是有電荷的地方，四周就存在著某種特殊形式的物質(zhì)，稱為電場(chǎng)。

電場(chǎng)的基本性質(zhì)是：對(duì)任何處在其中的其他電荷都施加力的作用，作用力的大小由庫(kù)侖定律及庫(kù)侖力的疊加原理決定，這種力稱為電場(chǎng)力。

靜電場(chǎng)：相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)。9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度9.2.1電場(chǎng)強(qiáng)度

（1）試驗(yàn)電荷q0處在點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)中的受力情況：是

q到q0的位置矢量，其中：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度

（2）試驗(yàn)電荷q0處在點(diǎn)電荷系（q1，q2，…，qn）所產(chǎn)生的電場(chǎng)中的受力情況：是

qi

到q0的位置矢量，其中：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度

（3）試驗(yàn)電荷q0處在帶電體（Q）所產(chǎn)生的電場(chǎng)中的受力情況：是dq到q0的位置矢量，其中：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度

在任何電場(chǎng)中，試驗(yàn)電荷q0在電場(chǎng)中任一點(diǎn)p處收到的電場(chǎng)力均可表示為：

是由產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷及場(chǎng)點(diǎn)p的位置所決定的物理量，它決定著試驗(yàn)電荷q0所受電場(chǎng)力的大小和方向，稱為電場(chǎng)中p點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

與q0無(wú)關(guān)，若令q0=+1，則有：。由此可見，電場(chǎng)強(qiáng)度等于單位正電荷在電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力。電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，其單位為：牛頓·庫(kù)侖-1（N·C-1）9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度9.2.2電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算式

（1）點(diǎn)電荷的電場(chǎng)：

（2）點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)：（3）帶電體的電場(chǎng)：場(chǎng)強(qiáng)疊加原理：p點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度【典型例題2】求解帶電體的電場(chǎng)例1：計(jì)算電偶極子軸線的延長(zhǎng)線上和中垂線上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。表示從負(fù)電荷到正電荷的相對(duì)位置矢量，稱為電偶極子的軸，定義電偶極矩（）是描述電偶極子自身特征的物理量。（1）電偶極子軸線的延長(zhǎng)線上某點(diǎn)A(x,0)處的場(chǎng)強(qiáng)（x>>l）：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度（2）電偶極子中垂線上某點(diǎn)B(y,0)處的場(chǎng)強(qiáng)（y>>l）：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度例2：一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑為R，所帶總電量為q（q>0），求圓環(huán)軸線上與圓心相距為x處的點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng)。解：在細(xì)環(huán)上取電荷元dq，該電荷元在P點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：將沿垂直于軸線和平行于軸線兩個(gè)方向分解，相應(yīng)的分量為和。根據(jù)對(duì)稱性，圓環(huán)上所有電荷在垂直于軸線方向上分量的矢量疊加為零，因而P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只有軸向分量，即：相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度例3：試計(jì)算均勻帶電薄圓盤軸線上與盤心相距為x的任意一點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng)，設(shè)薄圓盤的半徑為R，電荷面密度為。解：取半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，其面積為2rdr，帶電量為dq=2rdr，該圓環(huán)在P點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿軸線方向，其大小為：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)無(wú)限大帶電面激發(fā)的電場(chǎng)9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度例4：設(shè)有一均勻帶電的直導(dǎo)線，長(zhǎng)度為b，帶電量為q，如圖所示的直角坐標(biāo)系中，用表示帶電直導(dǎo)線到線外一點(diǎn)P的垂直位矢，用1和2分別表示P點(diǎn)和導(dǎo)線兩端的連線與x軸的夾角，求P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：直導(dǎo)線電荷線密度為：=q/b，在x處取線元dx，其電量為：dq=dx。該電荷元在P點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)為：9.2

電場(chǎng)強(qiáng)度9.3

電場(chǎng)線9.3.1電場(chǎng)線

電場(chǎng)線：在電場(chǎng)中畫出一系列假想的曲線，使得曲線上的每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，這些假想的曲線稱為電場(chǎng)線。

電場(chǎng)線密度：電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)線密度定義為穿過(guò)某點(diǎn)附近與電場(chǎng)線垂直的單位面元的電場(chǎng)線條數(shù)。規(guī)定某點(diǎn)電場(chǎng)線密度與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小成正比。在電場(chǎng)中某點(diǎn)附近取一與電場(chǎng)線垂直的面元dS⊥，設(shè)穿過(guò)它的電場(chǎng)線數(shù)位dN，則電場(chǎng)線密度為dN/dS⊥。因此有：9.3

電場(chǎng)線9.3.2靜電場(chǎng)電場(chǎng)線的性質(zhì)性質(zhì)1：靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線發(fā)自正電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），在沒(méi)有電荷的地方不中斷（場(chǎng)強(qiáng)為零的奇異點(diǎn)——導(dǎo)體內(nèi)除外）；性質(zhì)2：電場(chǎng)線不構(gòu)成閉合曲線；性質(zhì)3：任何兩條電場(chǎng)線不會(huì)相交。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理9.4.1電通量有向面元（矢量）：通過(guò)有向面元的電通量（標(biāo)量）：電通量在量值上等于通過(guò)電場(chǎng)中有向面元的電場(chǎng)線條數(shù)乘以+1或-1。電場(chǎng)線順著方向通過(guò)電場(chǎng)線逆著方向通過(guò)9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理通過(guò)任意曲面的電通量：通過(guò)該曲面上各有向面元的電通量的代數(shù)和。通過(guò)閉合曲面的電通量：電通量單位：牛頓·米2·庫(kù)侖-1（N·m2·C-1）例2：在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，以點(diǎn)電荷所在點(diǎn)O為球心作一半徑為r的球面，求通過(guò)球面的電通量。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理例1：在均勻電場(chǎng)中通過(guò)一個(gè)平面的電通量。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理例3：在電荷線密度為

的長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)中，以長(zhǎng)直導(dǎo)線為軸，做一半徑為r，高度為a的圓柱面。該圓柱面的側(cè)面及上下底面圍成一個(gè)閉合面S，求通過(guò)S的電通量。解：因?yàn)閳A柱面上下底面的法向法向與電場(chǎng)線方向垂直，因此通過(guò)圓柱面上下底面的電通量為0。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理9.4.2靜電場(chǎng)的高斯定理在真空中，對(duì)于任意靜電場(chǎng)，通過(guò)任意封閉曲面S的電通量，等于該封閉曲面內(nèi)所包圍的總電荷量的1/0倍。（1）任意閉合曲面S叫做高斯面；（2）高斯定理表達(dá)式中電場(chǎng)是高斯面上面元處的場(chǎng)強(qiáng)，它是由全部電荷（包括面內(nèi)和面外）共同產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)，并非只是由封閉面內(nèi)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。（3）通過(guò)高斯面的電通量有正負(fù)之分，其正負(fù)只取決于封閉曲面所包圍電荷量的代數(shù)和。（4）靜電場(chǎng)的高斯定理說(shuō)明靜電場(chǎng)為有源場(chǎng)。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理9.4.3高斯定理的應(yīng)用舉例【典型例題3】用高斯定理求解帶電體的電場(chǎng)（1）根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理分析場(chǎng)強(qiáng)的方向和場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性。（2）作一個(gè)合適的高斯面，求出高斯面內(nèi)的總電荷qint。（3）應(yīng)用高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)大小，繼而給出矢量表達(dá)式。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理例1：設(shè)在真空中有一均勻的帶電球體，半徑為R，帶電總量為Q，求球面內(nèi)外空間各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電球體場(chǎng)強(qiáng)具有球?qū)ΨQ性。（2）求球外任意一點(diǎn)

P（r≥R）的場(chǎng)強(qiáng)。過(guò)P點(diǎn)作半徑為r的同心球面S（高斯面），根據(jù)高斯定理可知：9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理（3）求球內(nèi)任意一點(diǎn)P（r≤R）的場(chǎng)強(qiáng)。過(guò)P點(diǎn)作半徑為r的同心球面S（高斯面），根據(jù)高斯定理可知：綜上有：綜上有：9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理例2：設(shè)在真空中有一均勻的帶電球面，半徑為R，帶點(diǎn)總量為Q，求球面內(nèi)外空間各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。例3：設(shè)在真空中有一均勻的帶電球殼，內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，帶點(diǎn)總量為Q，求空間各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理例4：求半徑為R，電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)。解：（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電球體場(chǎng)強(qiáng)具有柱對(duì)稱性。（2）r<R時(shí)，E=0；（3）r>R時(shí)，取與帶電柱面同軸的高為l的圓柱面為高斯面：綜上有：9.4

靜電場(chǎng)的高斯定理例5：求半徑為R，電荷體密度為（=R2）的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體的電場(chǎng)。例6：求電荷面密度為的無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)。解：（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電體場(chǎng)強(qiáng)具有面對(duì)稱性。（2）取軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面為高斯面：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理9.5.1靜電場(chǎng)的環(huán)路定理討論點(diǎn)電荷Q的靜電場(chǎng)作功問(wèn)題：試探電荷q0從靜電場(chǎng)中的A點(diǎn)沿任意路徑運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，靜電力作功為：試探電荷q0在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)q0作功只與其量值和運(yùn)動(dòng)路徑的始末位置有關(guān)，而與其運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這就是靜電場(chǎng)的保守性（有勢(shì)性）。9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理討論在任意靜電場(chǎng)中，作一任意閉合路徑L，考察沿該閉合路徑移動(dòng)單位正電荷過(guò)程中靜電力所作的功：環(huán)流：靜電場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)路積分叫做靜電場(chǎng)強(qiáng)沿閉合路徑的環(huán)流。靜電場(chǎng)的環(huán)路定理：靜電場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流等于零：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理9.5.2電勢(shì)差和電勢(shì)試探電荷q0從靜電場(chǎng)中的p點(diǎn)沿任一路徑移動(dòng)到p點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)q0作功等于q0的電勢(shì)能的減少量：

電勢(shì)能（Wp）：試探電荷q0在p點(diǎn)的靜電勢(shì)能，選擇p點(diǎn)為參考點(diǎn)，令Wp=0，則有（靜電勢(shì)能屬于靜電場(chǎng)與試探電共有）：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

電勢(shì)（Vp）：靜電場(chǎng)中p點(diǎn)的電勢(shì)，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)的靜電勢(shì)能，也等于把單位正電荷從該點(diǎn)沿任一路徑移動(dòng)到電勢(shì)參考點(diǎn)（與靜電勢(shì)能參考點(diǎn)相同）時(shí)靜電力所作的功。

電勢(shì)差（UAB）：靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)A、B之間的電勢(shì)之差（電壓），等于把單位正電荷從A點(diǎn)沿任一路徑移動(dòng)到到B點(diǎn)時(shí)靜電力所作的功。靜電場(chǎng)中，將點(diǎn)電荷q從A點(diǎn)沿任一路徑移動(dòng)到B點(diǎn)，靜電力作功：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理（1）電勢(shì)構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)，電勢(shì)差不構(gòu)成標(biāo)量場(chǎng)，對(duì)一點(diǎn)談電勢(shì)，對(duì)兩點(diǎn)談電勢(shì)差；（2）可以由兩點(diǎn)間的電勢(shì)差正負(fù)號(hào)判斷兩點(diǎn)間的電勢(shì)高低；（3）由于電勢(shì)參考點(diǎn)選取的任意性，因此電勢(shì)是一個(gè)相對(duì)量；但兩點(diǎn)間的電勢(shì)差是一個(gè)絕對(duì)量，與參考點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)；（4）當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，一般將電勢(shì)零點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)電場(chǎng)中某點(diǎn)A的電勢(shì)為：（5）點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則距離點(diǎn)電荷q為r處的P點(diǎn)電勢(shì)為：幾點(diǎn)說(shuō)明9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理9.5.3電勢(shì)的計(jì)算舉例1.電勢(shì)疊加原理

n個(gè)點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電勢(shì)等于每一個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和，即：（1）電荷離散分布時(shí)，電勢(shì)疊加原理表示為：（2）電荷連續(xù)分布時(shí)，電勢(shì)疊加原理表示為：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理2.電勢(shì)的計(jì)算方法（1）利用電勢(shì)的定義式計(jì)算，適用于能用高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的情形。首先要明確電勢(shì)零點(diǎn)；其次是選一條合適的積分路徑，求出積分路徑上電場(chǎng)的分布函數(shù)；最后代入電勢(shì)的定義式進(jìn)行計(jì)算。（2）利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式結(jié)合電勢(shì)疊加原理進(jìn)行計(jì)算，適用于電荷分布在有限區(qū)域的實(shí)際情形。9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理【典型例題4求帶電體的電勢(shì)】例1、計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任意一點(diǎn)的電勢(shì)。9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理例2、正電荷q均勻分布的半徑為R的細(xì)圓環(huán)上，求圓環(huán)軸線上距環(huán)心為x的點(diǎn)P處的電勢(shì)。解：在圓環(huán)上取電荷元dq，該電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢(shì)9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理另解：均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為：根據(jù)電勢(shì)定義有：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理例3、在電荷面密度為的均勻分布的半徑為R的圓盤上，求圓盤軸線上距盤心為x的點(diǎn)P處的電勢(shì)。解：將圓盤分成一個(gè)個(gè)圓環(huán)，其中任一環(huán)的半徑為r，寬度為dr，帶電量為：該環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)為：積分可得圓盤在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理另解：均勻帶電薄圓盤軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為：根據(jù)電勢(shì)定義有：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理相當(dāng)于點(diǎn)電荷激發(fā)的電勢(shì)另解：9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理當(dāng)R→時(shí)，帶電平面將延伸到無(wú)限遠(yuǎn)，不能取無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)。由于無(wú)限大平面在空間激發(fā)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，故選空間某點(diǎn)P(x)處為電勢(shì)參考點(diǎn)，有：由此可見：在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)是相對(duì)的，而電勢(shì)差有絕對(duì)意義，沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低。9.5

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理例4、求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線電場(chǎng)中的電勢(shì)，設(shè)電荷線密度為。解：由于無(wú)限