第4講單位根過程

第4講單位根檢驗

在ARMA模型中使用自相關(guān)函數(shù)遞減判斷序列平穩(wěn)性，有時不準確，故正式的計量檢驗很必要。單位根檢驗是上世紀60~70年代由Dicky和Fuller提出的，至今已有多種檢驗方法可供我們使用，此類研究已成為計量經(jīng)濟學的熱點問題之一。試問：我國1980年1月~2006年6月間的CPI通貨膨脹率，是否弱平穩(wěn)（理論上應是）？上下波動較大，顯示不平穩(wěn)。需嚴格的統(tǒng)計檢驗。1、單位根的定義考慮一個簡單的AR(1)模型，即——（3.1）

其中，是方差為σ2的白噪聲過程。因為可逆的ARMA模型總可寫成AR模型，故研究AR模型有代表性。DF檢驗只考慮AR(1)，之后的ADF檢驗會把AR(1)拓展到AR(p)。注意：在DF檢驗過程中，一般把（3.1）先改寫成其中，，DF檢驗共有以下三種情況：

分別為隨機游走過程、帶截距和既帶截距又帶時間趨勢的隨機游走過程。情況I實際不常見，使用價值不大，只是理論研究的興趣。

注意：三種對應的原假設(shè)相同，即待檢驗序列為含有單位根的非平穩(wěn)序列，而I和II的對立假設(shè)是平穩(wěn)序列，III對應的則是趨勢平穩(wěn)序列。

注意：I、II、III至于選擇哪種情況，要依據(jù)考察數(shù)據(jù)的特征，顯然III是最一般的情況.

如果無法確定是否存在時間趨勢，就可以分別選用情況II和III進行檢驗，然而如果確信無時間趨勢，就可直接選用II。另外，雖然對二非平穩(wěn)（甚至是嚴重非平穩(wěn)）序列建立回歸模型，會破壞經(jīng)典回歸的基礎(chǔ)和有效性，但不一定能發(fā)現(xiàn)問題。可能建立的模型的t，F(xiàn)以及R2都很正常，模型的顯著性和擬合優(yōu)度都很好，這就產(chǎn)生了所謂的“偽回歸”。事實上，大多數(shù)時序非平穩(wěn)的原因都是因為包含單位根過程，因此，現(xiàn)代計量經(jīng)濟分析主要通過檢驗是否存在單位根，來檢驗序列的平穩(wěn)性。

例1：建年度文件：1952~1996，調(diào)入book5.5中的y（我國社會商品零售總額）。再調(diào)入book12中的一個數(shù)據(jù)，起名y1（我國商品的物價指數(shù)）。其時序圖分別為：我國社會商品零售總額我國商品的物價指數(shù)

表面看y和y1的圖像很像，實際上，指數(shù)不可能無止境上升，因為如果把97、98年及以后的數(shù)據(jù)放入，就會發(fā)現(xiàn)從97年以后開始下滑。為此，需討論趨勢類型：對于

，其原假設(shè)H0：

；H1：

為檢驗H0，構(gòu)造統(tǒng)計量：注意：嚴格來講，該統(tǒng)計量并不是標準的t分布，它服從非標準和非對稱的極限分布，記為

。為此，DF通過不斷模擬，依顯著性水平和樣本容量得到一個臨界值。

因分布偏態(tài)且不對稱，可根據(jù)計算出的統(tǒng)計量與得到的臨界值比較。(1)若統(tǒng)計量實際計算值小于臨界值，則拒絕H0，即序列是平穩(wěn)過程；(2)若大于臨界值，則接受H0，說明序列是單位根過程。4、單位根檢驗

注意：

（1）選Level/None（3）在MaximumLags處填寫0。則：接例1：建年度文件：1952~1996，調(diào)入book12中的一個數(shù)據(jù)，起名y1（我國商品的物價指數(shù)）。統(tǒng)計量值

為

6.654372，而對應1%、5%、10%的臨界值分別為-2.618579、-1.948495、-1.612135，顯然t值大于所有臨界值，所以，接受原假設(shè)，即認為原序列y1是一個單位根過程。1）y1帶常數(shù)項：2）y1既帶趨勢也帶常數(shù)項：顯然，上述二情況均為

大于臨界值，即接受原假設(shè)，說明序列是一個單位根過程。下面對y1一階差分和二階差分：

一階差分情況：1）一階差分選None易見，在水平10%下，-1.759193<-1.612036，通過檢驗，即平穩(wěn)。2）一階差分選Constant顯然，

值都大于臨界值，表明各水平下都是單位根過程。同樣，

值都大于臨界值，表明各水平下也都是單位根過程。3）一階差分選Trendandintercept

二階差分情況：1）二階差分選None可見，二階差分均平穩(wěn)。但是，二階差分序列做模型會更麻煩。在兩邊同減

得：

定義

，則變成檢驗，這是一階自相關(guān)的情況。

如果存在高階自相關(guān)，比如AR（p），其所有的系數(shù)均應小于1，它的特征方程

=0的根均應在單位園外。即本來有p個根，有一個是單位根（即在單位園上），p-1個在單位園外，這樣就把一階自相關(guān)的情況拓展到p階高階自相關(guān)，這就是DF檢驗的擴展——ADF檢驗。試想：對上例，物價指數(shù)僅僅是一階自相關(guān)嗎？為此，選一階差分和None以及最大滯后階數(shù)為1。得如下表：可見，已平穩(wěn)。故需做AR(2)。下面做一個截面的深交所1998年246個交易日的數(shù)據(jù)。

例2：建立文件：246個數(shù)據(jù)，導入book10中的5個數(shù)據(jù)，x1、x2、x3、x4、x5。先分析一下x4（工業(yè)類股指），做單位根檢驗：

發(fā)現(xiàn)原序列是一個單位根過程。

但若選擇一階差分，則不論是None、Intercept還是Trendandintercept都通過檢驗，即平穩(wěn)。

單位根檢驗為考察序列有無趨勢又提供了一個工具，這個工具比自相關(guān)更嚴格。

且利用單位根檢驗可進一步確認序列是否有趨勢，而且可把趨勢類型區(qū)分開。

例3：月度數(shù)據(jù)文件：1981：01到1997：12，調(diào)入book消費品指數(shù)中的1個數(shù)據(jù)y。對y，選None，最大滯后階數(shù)為0，輸出下表：可見，檢驗未通過。

試問：要差分嗎？

但實際上，y無趨勢（如圖），注意：

（1）若對原序列y，選None沒通過檢驗，此時應先考慮帶常數(shù)項或趨勢項，若能通過檢驗，就不需要差分。因為如果差分，雖通過檢驗平穩(wěn)，但模型會復雜化。故不能盲目差分。（2）加常數(shù)項平穩(wěn)，說明可做AR或MA模型，即AR模型中含有一個常數(shù)項，即模型為

。

試問：前面做ARMA或ARIMA模型時，為什么沒加常數(shù)項？

（3）在做一般模型時：（隨機游走）（1）

（AR）（2）

（截面回歸）（3）

需要注意的是：上述模型均要求誤差項

為i.i.d。否則，需調(diào)整模型。調(diào)整方法如下：

1）若破壞獨立性，可調(diào)整主模型對于（3），導致DW檢驗沒通過或自相關(guān)的原因可能是：模型遺漏了重要的解釋變量，加入遺漏的變量即可。對于（2）類似，可考慮增加AR項，甚至加進MA項。

2）若破壞同方差，調(diào)整主模型可能無效，這時需對殘差建模。——以上是模型調(diào)整的兩個思路。同例2：建立文件：246個數(shù)據(jù)，導入book10中的5個數(shù)據(jù)，x1、x2、x3、x4、x5。

x4——深交所1998年246個交易日工業(yè)類收盤價指數(shù)。

x4的時序圖：回顧：上面做單位根檢驗時，它是一階差分平穩(wěn)。為此，最好先取對數(shù)再差分（即變成對數(shù)收益），輸入：genrly=log(x4)genre=ly-ly(-1)則e的時序圖為：可見，已經(jīng)平穩(wěn)。但是，取對數(shù)并差分后的序列是否獨立？

其自相關(guān)如下表：可見，不相關(guān)程度p值比較高。

注意：i.i.d不僅考慮它有無線性關(guān)系，還要考慮有無非線性關(guān)系。為此，輸入：genre2=e^2。