第4講單位根過(guò)程

第4講單位根檢驗(yàn)

在ARMA模型中使用自相關(guān)函數(shù)遞減判斷序列平穩(wěn)性，有時(shí)不準(zhǔn)確，故正式的計(jì)量檢驗(yàn)很必要。單位根檢驗(yàn)是上世紀(jì)60~70年代由Dicky和Fuller提出的，至今已有多種檢驗(yàn)方法可供我們使用，此類(lèi)研究已成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。試問(wèn)：我國(guó)1980年1月~2006年6月間的CPI通貨膨脹率，是否弱平穩(wěn)（理論上應(yīng)是）？上下波動(dòng)較大，顯示不平穩(wěn)。需嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。1、單位根的定義考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的AR(1)模型，即——（3.1）

其中，是方差為σ2的白噪聲過(guò)程。因?yàn)榭赡娴腁RMA模型總可寫(xiě)成AR模型，故研究AR模型有代表性。DF檢驗(yàn)只考慮AR(1)，之后的ADF檢驗(yàn)會(huì)把AR(1)拓展到AR(p)。注意：在DF檢驗(yàn)過(guò)程中，一般把（3.1）先改寫(xiě)成其中，，DF檢驗(yàn)共有以下三種情況：

分別為隨機(jī)游走過(guò)程、帶截距和既帶截距又帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)游走過(guò)程。情況I實(shí)際不常見(jiàn)，使用價(jià)值不大，只是理論研究的興趣。

注意：三種對(duì)應(yīng)的原假設(shè)相同，即待檢驗(yàn)序列為含有單位根的非平穩(wěn)序列，而I和II的對(duì)立假設(shè)是平穩(wěn)序列，III對(duì)應(yīng)的則是趨勢(shì)平穩(wěn)序列。

注意：I、II、III至于選擇哪種情況，要依據(jù)考察數(shù)據(jù)的特征，顯然III是最一般的情況.

如果無(wú)法確定是否存在時(shí)間趨勢(shì)，就可以分別選用情況II和III進(jìn)行檢驗(yàn)，然而如果確信無(wú)時(shí)間趨勢(shì)，就可直接選用II。另外，雖然對(duì)二非平穩(wěn)（甚至是嚴(yán)重非平穩(wěn)）序列建立回歸模型，會(huì)破壞經(jīng)典回歸的基礎(chǔ)和有效性，但不一定能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題?？赡芙⒌哪Ｐ偷膖，F(xiàn)以及R2都很正常，模型的顯著性和擬合優(yōu)度都很好，這就產(chǎn)生了所謂的“偽回歸”。事實(shí)上，大多數(shù)時(shí)序非平穩(wěn)的原因都是因?yàn)榘瑔挝桓^(guò)程，因此，現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析主要通過(guò)檢驗(yàn)是否存在單位根，來(lái)檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性。

例1：建年度文件：1952~1996，調(diào)入book5.5中的y（我國(guó)社會(huì)商品零售總額）。再調(diào)入book12中的一個(gè)數(shù)據(jù)，起名y1（我國(guó)商品的物價(jià)指數(shù)）。其時(shí)序圖分別為：我國(guó)社會(huì)商品零售總額我國(guó)商品的物價(jià)指數(shù)

表面看y和y1的圖像很像，實(shí)際上，指數(shù)不可能無(wú)止境上升，因?yàn)槿绻?7、98年及以后的數(shù)據(jù)放入，就會(huì)發(fā)現(xiàn)從97年以后開(kāi)始下滑。為此，需討論趨勢(shì)類(lèi)型：對(duì)于

，其原假設(shè)H0：

；H1：

為檢驗(yàn)H0，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：注意：嚴(yán)格來(lái)講，該統(tǒng)計(jì)量并不是標(biāo)準(zhǔn)的t分布，它服從非標(biāo)準(zhǔn)和非對(duì)稱(chēng)的極限分布，記為

。為此，DF通過(guò)不斷模擬，依顯著性水平和樣本容量得到一個(gè)臨界值。

因分布偏態(tài)且不對(duì)稱(chēng)，可根據(jù)計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量與得到的臨界值比較。(1)若統(tǒng)計(jì)量實(shí)際計(jì)算值小于臨界值，則拒絕H0，即序列是平穩(wěn)過(guò)程；(2)若大于臨界值，則接受H0，說(shuō)明序列是單位根過(guò)程。4、單位根檢驗(yàn)

注意：

（1）選Level/None（3）在MaximumLags處填寫(xiě)0。則：接例1：建年度文件：1952~1996，調(diào)入book12中的一個(gè)數(shù)據(jù)，起名y1（我國(guó)商品的物價(jià)指數(shù)）。統(tǒng)計(jì)量值

為

6.654372，而對(duì)應(yīng)1%、5%、10%的臨界值分別為-2.618579、-1.948495、-1.612135，顯然t值大于所有臨界值，所以，接受原假設(shè)，即認(rèn)為原序列y1是一個(gè)單位根過(guò)程。1）y1帶常數(shù)項(xiàng)：2）y1既帶趨勢(shì)也帶常數(shù)項(xiàng)：顯然，上述二情況均為

大于臨界值，即接受原假設(shè)，說(shuō)明序列是一個(gè)單位根過(guò)程。下面對(duì)y1一階差分和二階差分：

一階差分情況：1）一階差分選None易見(jiàn)，在水平10%下，-1.759193<-1.612036，通過(guò)檢驗(yàn)，即平穩(wěn)。2）一階差分選Constant顯然，

值都大于臨界值，表明各水平下都是單位根過(guò)程。同樣，

值都大于臨界值，表明各水平下也都是單位根過(guò)程。3）一階差分選Trendandintercept

二階差分情況：1）二階差分選None可見(jiàn)，二階差分均平穩(wěn)。但是，二階差分序列做模型會(huì)更麻煩。在兩邊同減

得：

定義

，則變成檢驗(yàn)，這是一階自相關(guān)的情況。

如果存在高階自相關(guān)，比如AR（p），其所有的系數(shù)均應(yīng)小于1，它的特征方程

=0的根均應(yīng)在單位園外。即本來(lái)有p個(gè)根，有一個(gè)是單位根（即在單位園上），p-1個(gè)在單位園外，這樣就把一階自相關(guān)的情況拓展到p階高階自相關(guān)，這就是DF檢驗(yàn)的擴(kuò)展——ADF檢驗(yàn)。試想：對(duì)上例，物價(jià)指數(shù)僅僅是一階自相關(guān)嗎？為此，選一階差分和None以及最大滯后階數(shù)為1。得如下表：可見(jiàn)，已平穩(wěn)。故需做AR(2)。下面做一個(gè)截面的深交所1998年246個(gè)交易日的數(shù)據(jù)。

例2：建立文件：246個(gè)數(shù)據(jù)，導(dǎo)入book10中的5個(gè)數(shù)據(jù)，x1、x2、x3、x4、x5。先分析一下x4（工業(yè)類(lèi)股指），做單位根檢驗(yàn)：

發(fā)現(xiàn)原序列是一個(gè)單位根過(guò)程。

但若選擇一階差分，則不論是None、Intercept還是Trendandintercept都通過(guò)檢驗(yàn)，即平穩(wěn)。

單位根檢驗(yàn)為考察序列有無(wú)趨勢(shì)又提供了一個(gè)工具，這個(gè)工具比自相關(guān)更嚴(yán)格。

且利用單位根檢驗(yàn)可進(jìn)一步確認(rèn)序列是否有趨勢(shì)，而且可把趨勢(shì)類(lèi)型區(qū)分開(kāi)。

例3：月度數(shù)據(jù)文件：1981：01到1997：12，調(diào)入book消費(fèi)品指數(shù)中的1個(gè)數(shù)據(jù)y。對(duì)y，選None，最大滯后階數(shù)為0，輸出下表：可見(jiàn)，檢驗(yàn)未通過(guò)。

試問(wèn)：要差分嗎？

但實(shí)際上，y無(wú)趨勢(shì)（如圖），注意：

（1）若對(duì)原序列y，選None沒(méi)通過(guò)檢驗(yàn)，此時(shí)應(yīng)先考慮帶常數(shù)項(xiàng)或趨勢(shì)項(xiàng)，若能通過(guò)檢驗(yàn)，就不需要差分。因?yàn)槿绻罘郑m通過(guò)檢驗(yàn)平穩(wěn)，但模型會(huì)復(fù)雜化。故不能盲目差分。（2）加常數(shù)項(xiàng)平穩(wěn)，說(shuō)明可做AR或MA模型，即AR模型中含有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，即模型為

。

試問(wèn)：前面做ARMA或ARIMA模型時(shí)，為什么沒(méi)加常數(shù)項(xiàng)？

（3）在做一般模型時(shí)：（隨機(jī)游走）（1）

（AR）（2）

（截面回歸）（3）

需要注意的是：上述模型均要求誤差項(xiàng)

為i.i.d。否則，需調(diào)整模型。調(diào)整方法如下：

1）若破壞獨(dú)立性，可調(diào)整主模型對(duì)于（3），導(dǎo)致DW檢驗(yàn)沒(méi)通過(guò)或自相關(guān)的原因可能是：模型遺漏了重要的解釋變量，加入遺漏的變量即可。對(duì)于（2）類(lèi)似，可考慮增加AR項(xiàng)，甚至加進(jìn)MA項(xiàng)。

2）若破壞同方差，調(diào)整主模型可能無(wú)效，這時(shí)需對(duì)殘差建模?！陨鲜悄Ｐ驼{(diào)整的兩個(gè)思路。同例2：建立文件：246個(gè)數(shù)據(jù)，導(dǎo)入book10中的5個(gè)數(shù)據(jù)，x1、x2、x3、x4、x5。

x4——深交所1998年246個(gè)交易日工業(yè)類(lèi)收盤(pán)價(jià)指數(shù)。

x4的時(shí)序圖：回顧：上面做單位根檢驗(yàn)時(shí)，它是一階差分平穩(wěn)。為此，最好先取對(duì)數(shù)再差分（即變成對(duì)數(shù)收益），輸入：genrly=log(x4)genre=ly-ly(-1)則e的時(shí)序圖為：可見(jiàn)，已經(jīng)平穩(wěn)。但是，取對(duì)數(shù)并差分后的序列是否獨(dú)立？

其自相關(guān)如下表：可見(jiàn)，不相關(guān)程度p值比較高。

注意：i.i.d不僅考慮它有無(wú)線(xiàn)性關(guān)系，還要考慮有無(wú)非線(xiàn)性關(guān)系。為此，輸入：genre2=e^2。