第六章卡方檢驗(yàn)

第六章

離散型分類計(jì)數(shù)資料的2檢驗(yàn)我們已學(xué)過連續(xù)型資料的t檢驗(yàn)和Z檢驗(yàn)方法，本章介紹離散型資料2檢驗(yàn)。理論基礎(chǔ)：連續(xù)型變量的2分布,擬和優(yōu)度檢驗(yàn)。用途：

①比較兩獨(dú)立樣本頻率或多個(gè)獨(dú)立樣本頻率的假設(shè)檢驗(yàn)；②配對(duì)設(shè)計(jì)分類資料的假設(shè)檢驗(yàn)；③檢驗(yàn)兩個(gè)分類指標(biāo)是否有相關(guān)性；④檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)樣本是否服從某個(gè)分布的假設(shè)檢驗(yàn)。

第一節(jié)2分布和擬合優(yōu)度的2檢驗(yàn)一、2分布：

若互相獨(dú)立,則的分布稱為自由度為的2分布(Chi-squaredistribution),記為。性質(zhì):若互相獨(dú)立,則服從2分布,υ二、關(guān)于擬合優(yōu)度的2檢驗(yàn)(大樣本)：1．建立檢驗(yàn)假設(shè)：H0：樣本來自某理論分布。H1：樣本并非來自該理論分布。α=0.12．H0成立時(shí),大樣本時(shí)，Pearson2統(tǒng)計(jì)量：

2值：反映了實(shí)際頻數(shù)與根據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)算得的理論頻數(shù)的吻合程度。

*似然比統(tǒng)計(jì)量：自由度：-計(jì)算時(shí)利用樣本資料估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)

3．將觀察值代入得當(dāng)前值和相應(yīng)的P值。若P<α，則拒絕H0

，

否則，不拒絕H0。條件：★“大樣本”（都不小于5）。

第二節(jié)比較兩個(gè)獨(dú)立樣本頻率的2檢驗(yàn)表6.1反應(yīng)變量按二項(xiàng)分類的兩個(gè)獨(dú)立樣本資料(四格表類型之一)

例6.1164例用過洋地黃和51例沒用過洋地黃的肺心病人心率失常率是否不同？

表6.2肺心病患者心律失常觀察資料原始數(shù)據(jù)有四個(gè)，即稱為實(shí)際頻數(shù)，用f表示。其余的數(shù)據(jù)都是從這四個(gè)數(shù)據(jù)推算得來的。該資料稱四格表（fourfoldtable）資料。

1．建立檢驗(yàn)假設(shè)：

α=0.05

2．計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2值：

H0成立時(shí),，用近似地代替。一、四格表的基本思想和檢驗(yàn)步驟：

理論頻數(shù)的計(jì)算公式：

統(tǒng)計(jì)量為：（理論公式）

基本思想：式中fij和eij分別表示某一格的實(shí)際頻數(shù)和理論頻數(shù)。

2值：反映了實(shí)際頻數(shù)和根據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)算得的理論頻數(shù)的吻合程度（差別的程度）。如H0成立，實(shí)際頻數(shù)和理論頻數(shù)的差別不會(huì)很大，出現(xiàn)大2值的概率P很?。怀霈F(xiàn)大2值時(shí)，說明實(shí)際頻數(shù)和理論頻數(shù)相差較大，若2值時(shí)，，我們就懷疑H0，因而拒絕它。反之，若，則不能拒絕它。

自由度:υ=(行數(shù)-1)(列數(shù)-1)=1對(duì)于例6.1,υ=(2–1)(2–1)=13．確定P值及決策：按，查附表7，得υ=1時(shí)，臨界值，，P>0.05，故不拒絕，可認(rèn)為兩總體心率失常陽性率相等。

二、四格表資料專用公式：注：關(guān)于統(tǒng)計(jì)量*四格表時(shí)，Z檢驗(yàn)和檢驗(yàn)完全等價(jià)。

三、連續(xù)性校正的公式：

四格表卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用條件：（1）eij≥5，且n≥40時(shí)，用不校正公式計(jì)算值。（2）1≤eij<5,且n≥40時(shí)，用連續(xù)性校正檢驗(yàn)。（3）eij<1或n<40，用Fisher精確概率法。

第三節(jié)2×2交叉分類資料的2檢驗(yàn)

（配對(duì)四格表）

表6.32×2交叉分類資料表(四格表類型之二)根據(jù)研究目的不同可進(jìn)行兩種不同的2檢驗(yàn)：

獨(dú)立性檢驗(yàn)和兩種處理概率相等的檢驗(yàn)。一、兩種屬性分布間獨(dú)立性檢驗(yàn)

(或稱關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn))：如果一種屬性的概率分布與另一種屬性的概率分布無關(guān)，則稱這兩種屬性相互獨(dú)立；否則稱這兩種屬性之間存在關(guān)聯(lián)性。

例6.2

有260份血清樣品，每份樣品一分為二，用二種不同的免疫學(xué)檢測(cè)方法檢驗(yàn)類風(fēng)濕因子，其結(jié)果如表6.4所示。試問這兩種免疫學(xué)檢驗(yàn)的結(jié)果是否相互獨(dú)立?表6.4兩種血清免疫學(xué)檢測(cè)結(jié)果1．建立檢驗(yàn)假設(shè)：

H0:

屬性A和B互相獨(dú)立。

H1:屬性A和B互相關(guān)聯(lián)。

α=0.05

兩種屬性分布間獨(dú)立性檢驗(yàn)與兩獨(dú)立樣本資料頻率相等的假設(shè)檢驗(yàn)資料分析的計(jì)算方法相同，但設(shè)計(jì)和解釋不同。設(shè)計(jì)：一份樣本；n=260；行和與列和事先是不定的；按兩種屬性交叉分類。

2．計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2值：利用(6.8a)或(6.7a),

υ=(2-1)(2-1)=1

3．確定P值及決策：據(jù)，查附表7，υ=1時(shí)，＝10.83，P<0.001，按=0.05，拒絕，可認(rèn)為兩種方法測(cè)定結(jié)果間有關(guān)聯(lián)。關(guān)聯(lián)程度的大小關(guān)聯(lián)系數(shù)表達(dá)。r=(取值在-1與+1之間)其中符號(hào)由關(guān)聯(lián)的方向決定，與的符號(hào)相同。上例中，故：二、兩種處理概率相等的2檢驗(yàn)

(McNemer檢驗(yàn))常用于配對(duì)設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)同上。問題不同。

例6.2

問兩種測(cè)定方法的陽性概率是否相等?*這里不是問是否關(guān)聯(lián)，故不能用上面的辦法分析!*這里的兩份樣本，接受方法A的個(gè)體與接受方法B的個(gè)體有關(guān)聯(lián)，故不能用前一節(jié)兩獨(dú)立樣本資料頻率比較的辦法分析!

兩樣本陽性率之差取決于觀察值f12和f21。

問題：f12和f21的差異是否是偶然的?1．建立檢驗(yàn)假設(shè)：

α=0.052．計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2值：

連續(xù)性校正公式：當(dāng)時(shí)，3．確定P值及決策：查附表7，υ=1時(shí)，，按水準(zhǔn)，不拒絕，可以認(rèn)為兩種檢測(cè)方法的總體陽性率相等。第四節(jié)

R×C列聯(lián)表資料的2檢驗(yàn)

一、問題的提出：前面我們已經(jīng)學(xué)過用2檢驗(yàn)進(jìn)行兩個(gè)率(比率)差異的比較。在醫(yī)學(xué)研究中，常遇見多個(gè)率（比率）的比較?？煞裼猛瑯拥乃悸泛头椒ㄈソ鉀Q這類問題？見表6.6的資料:表6.6不同疾病病人的血型分布這是三個(gè)三分類構(gòu)成比的比較。表6.11某病170例不同年齡患者的療效統(tǒng)計(jì)這是三個(gè)率的比較。二、R×C表資料的2檢驗(yàn)：

我們可用同樣的思路，利用2檢驗(yàn)進(jìn)行多個(gè)率（比率）差異的比較，將資料整理成一個(gè)R×C表，可用R×C表資料的2檢驗(yàn)比較多個(gè)率或構(gòu)成比的差異?；竟剑?/p>

R×C表簡(jiǎn)化公式：

例6.4

在血型與疾病關(guān)系的研究中，隨機(jī)抽取胃潰瘍病人、胃癌病人及對(duì)照人群的樣本，根據(jù)ABO血型分類(本例中因AB血型的例數(shù)較少，故省略不計(jì))，觀測(cè)結(jié)果列于表6.6。試探討不同病種是否具有不同的血型分布。表6.6不同疾病病人的血型分布

1.建立檢驗(yàn)假設(shè):H0：三種疾病的血型構(gòu)成比相等。

H1：三種疾病的血型構(gòu)成比不全相等。α=0.052.計(jì)算2統(tǒng)計(jì)量：

思想：假設(shè)三個(gè)構(gòu)成比相等，等于什么？在沒其他信息時(shí)，基于樣本信息，最可靠的估計(jì)值是等于合計(jì)的構(gòu)成比。每個(gè)格子的理論頻數(shù)就等于各疾病的總?cè)藬?shù)乘以相應(yīng)的合計(jì)構(gòu)成比，如胃潰瘍組A型血的理論頻數(shù)為：

e11=17960.424=761.5，其余格子相同。可用基本公式：或R×C表簡(jiǎn)化公式：

3.確定P值及決策：自由度=(3－1)(3－1)=4，查附表得＝18.47，故P＜0.001，按=0.05，拒絕H0，即認(rèn)為三種疾病的血型構(gòu)成比不等或不全相等。三、R×C表資料的關(guān)聯(lián)度測(cè)定：

對(duì)于交叉分類資料，用2檢驗(yàn)拒絕了兩有序分類特征變量間獨(dú)立的零假設(shè)之后，可用Pearson列聯(lián)系數(shù)來定量描述兩有序分類特征變量的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度。

Pearson列聯(lián)系數(shù)(rP)：

例6.5

某病不同年齡患者的治療效果資料列于表6.11中，進(jìn)行獨(dú)立性2檢驗(yàn)得到=23.582，＝4，拒絕兩種屬性分類相互獨(dú)立的零假設(shè)。例6.5:表6.11某病170例不同年齡患者與療效統(tǒng)計(jì)現(xiàn)計(jì)算Pearson列聯(lián)系數(shù)rP為：

注意:列聯(lián)系數(shù)的符號(hào)，當(dāng)頻數(shù)集中在正對(duì)角線的格子時(shí)，取正值，集中在負(fù)對(duì)角線的格子時(shí)，取負(fù)值。（本例為負(fù)值）。四、注意事項(xiàng)：

1.同四格表資料一樣，2分布是建立在大樣本的假定上的，要求不能有1/5以上的格子理論頻數(shù)小于5，且不能有一個(gè)格子的理論頻數(shù)小于1。

解決辦法：①增大樣本量；②合理地合并相鄰的組別；③刪除理論數(shù)太小的行列；④電腦進(jìn)行精確概率計(jì)算。

2.當(dāng)多個(gè)樣本率（或構(gòu)成比）作2檢驗(yàn)，結(jié)論為拒絕零假設(shè)時(shí)，只能認(rèn)為各總體率（或總體構(gòu)成比）之間總的有差別，不能說明兩兩之間有差別。兩組間的比較可參考2分割的方法。第五節(jié)檢驗(yàn)頻數(shù)分布的2檢驗(yàn)

利用2檢驗(yàn)的性質(zhì)，我們可以用于檢驗(yàn)任意實(shí)際分布與某個(gè)理論分布的符合程度。例如：某市成年男女的構(gòu)成比鼻咽癌在家族的分布儀器測(cè)量誤差的分布

例6.6

某地暴發(fā)流行細(xì)菌性痢疾。為了分析這次爆發(fā)流行是否存在家庭內(nèi)成員間的傳播，共調(diào)查了四口之家288戶。原始資料列于表6.12中第1及第2兩列。其步驟為：表6.12二項(xiàng)分布擬合優(yōu)度計(jì)算表1.

建立檢驗(yàn)假設(shè)：H0：服從

=0.18576的二項(xiàng)分布，即不存在家庭內(nèi)傳播。H1：不服從二項(xiàng)分布，即存在家庭內(nèi)傳播。

=0.052.估計(jì)，計(jì)算P(x)﹑理論家庭數(shù)ex及2分量：①發(fā)病率發(fā)病人數(shù)／調(diào)查人數(shù)本例＝(0×167＋1×51＋…＋4×3)/288×4＝0.18576不發(fā)病率1－＝0.81424。②發(fā)病人數(shù)為x的概率：

例如：P(x=0)＝(0.18576)0(0.81424)4＝0.43955③理論家庭數(shù)：本例n=288為調(diào)查家庭總數(shù)。e0＝288×0.43955＝126.59④相應(yīng)的2分量為：＝(167－126.59)2／126.59＝12.90（條件：ex5）

3.計(jì)算2值：

4.確定P值及決策:自由度=4-1-1=2。查附表7，=2時(shí)，

=5.99，故P＜0.05，拒絕H0，可認(rèn)為本次調(diào)查的四口之家內(nèi)發(fā)病人數(shù)的分布不符合二項(xiàng)分布，此次流行可能存在家庭成員間的傳播。*第七節(jié)四格表精確概率檢驗(yàn)法前以述及，由于2分布為連續(xù)性分布，2檢驗(yàn)是基于大樣本假定，四格表時(shí)，如果總例數(shù)小于40或任意一格子理論數(shù)小于1，大樣本假定不成立，則不能用2檢驗(yàn)。表6.14栓塞性脈管炎兩種治療方法的結(jié)果總例數(shù)n小于40，為小樣本資料，不能用2檢驗(yàn)。

1.建立檢驗(yàn)假設(shè)：H0：1＝2H1：1≠2α=0.052.計(jì)算各種可能組合的概率：用a,b,c,d代替四個(gè)格子的頻數(shù)。我們知道總的12個(gè)病人中有7人治愈，如治愈率與治療方法無關(guān)時(shí)，可建立以下條件概率：

目前四格表資料的發(fā)生概率為：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的P值還