第9章矩陣位移法

結構力學（下）主講：肖梅玲Tel容四章**矩陣位移法**結構動力計算結構穩(wěn)定計算結構極限荷載考核平時作業(yè)、出勤10%中考20%期末考70%1、該課程實踐性較強，需要同學多作練習。2、充分利用多種媒體，重點復習。教學方法和教學形式建議學習方法課堂只能講解重點內容，并布置一些重點習題。同學們應在系統(tǒng)學習教材的基礎上盡可能作較多習題，才能熟練掌握本課程的知識。

希望同學們應以學習教材為主，作簡單筆記，在學習理論、概念的同時，一定要作相當數(shù)量的習題，通過手算的方法和技巧來掌握力學的概念以及分析和計算的方法。

第9章

矩陣位移法§9－1概述§9－2單元剛度矩陣§9－3坐標變換§9－4單元集成法和連續(xù)梁的整體剛度矩陣§9－6等效結點荷載§9－5平面剛架的整體剛度矩陣§9－7計算步驟與算例結構矩陣分析方法是電子計算機進入結構力學領域而產(chǎn)生的一種方法?！?－1概述結構力學傳統(tǒng)方法與結構矩陣分析方法，二者同源而有別：在原理上同源，在作法上有別。簡單地說，前者在“手算”的年代形成；后者則著眼于“電算”，計算手段的不同，引起計算方法的差異。

與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應，在結構矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實現(xiàn)計算過程程序化的優(yōu)點而廣為流傳，本章只對矩陣位移法進行討論。矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結構矩陣分析有時也稱為桿件結構的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術語和提法。先把整體拆開，分解成若干個單元（在桿件結構中，一般把每個桿件取作一個單元），這個過程稱作離散化。然后再將這些單元按一定條件集合成整體。在一分一合，先拆后搭的過程中，把復雜結構的計算問題轉化為簡單單元的分析和集合問題。

有限元法的要點：有限元法包含兩個基本環(huán)節(jié)：1.單元分析2.整體分析單元分析的任務:

建立單元剛度方程，形成單元剛度矩陣整體分析的主要任務:將單元集合成整體，由單元剛度矩陣按照剛度集成規(guī)則形成整體剛度矩陣，建立整體結構的位移法基本方程，從而求出解答。本節(jié)對平面結構的桿件單元進行單元分析，得出單元剛度方程和單元剛度矩陣。§9－2單元剛度矩陣位移法中給出的轉角位移方程實際上就是梁單元的剛度方程。梁單元是桿件單元的特例。本節(jié)推導單元剛度方程時有幾點新的考慮：重新規(guī)定正負號規(guī)則，討論桿件單元的一般情況，采用矩陣表示形式。9.2.1一般單元圖1所示為平面剛架中的一個等截面直桿單元圖—1

設桿件除彎曲變形外，還有軸向變形。左右兩端各有三個位移分量（兩個移動、一個轉動），桿件共有六個桿端位移分量，這是平面結構桿件單元的一般情況。由端點1到端點2的方向規(guī)定為桿軸的正方向，在圖中用箭頭表明。

圖中采用坐標系

，軸與桿軸重合。這個坐標系稱為單元坐標系或局部坐標系。上面都劃上一橫，作為局部坐標系的標志。在局部坐標系中，一般單元的每端各有三個位移分量和對應的三個力分量圖-2中所示的位移、力分量方向為正方向。

圖—2

單元的六個桿端位移分量和六個桿端力分量按一定順序排列，形成單元桿端位移向量和單元桿端力向量

如下：（9－1）

向量中的六個元素的序碼記為（1），（2），…，（6）。由于它們是在每個單元中各子編碼的（不是在剛架所有單元中統(tǒng)一編碼的），因此稱為局部碼——桿端位移分量（或桿端力分量）的局部碼。數(shù)碼（1），（2），…都加上括號，作為局部碼的標志。單元剛度方程是指由單元桿端位移求單元桿端力時所建立的方程——記為

§9.2.2單元剛度方程和剛度矩陣為了建立單元剛度方程，我們按照位移法基本體系的作法，在桿件兩端加上人為控制的附加約束，使基本體系在兩端發(fā)生任意指定的位移如下圖-3所示。然后根據(jù)

推算相應的桿端力圖-3忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，分別推導軸向變形和彎曲變形的剛度方程。首先，由桿端軸向位移可推算出相應的桿端軸向力（9－2）

其次，由桿端橫向位移

和轉角可推算出相應的桿端橫向力和桿端力矩根據(jù)轉角位移方程（8－5）和（8－6），并改用本章的記號和正負號，即得（8－5）

（8－6）

（9－3）

上面六個剛度方程（9－2）和（9－3）實際上在位移法中已經(jīng)推導過?，F(xiàn)在將它們合在一起，寫成矩陣形式如下：

（9－4）

上式可記為：（9－5）

（9－6）

其中

式（9－5）即為所求的稱為在局部坐標系中的單元剛度方程。矩陣

稱為局部坐標系中的單元剛度矩陣。它是方陣。

9.2.3單元剛度矩陣的性質

1）單元剛度系數(shù)的意義

中的每個元素稱為單元剛度系數(shù)，代表由于單位桿端位移所引起的桿端力。例如，第（6）行第（3）列元素（即元素）

代表當?shù)冢?）個桿端位移時引起的第（6）個桿端力分量

一般來說，第（i）行第（j）列元素代表當?shù)冢╦）個桿端位移分量等于1（其他位移分量為零）時所引起的第（i）個桿端力分量的值。

中某一列的六個元素分別表示當某個桿端位移分量等于1時所引起的六個桿端力分量。例如，第1列對應于單位位移所引起的桿端力。為了幫助理解，在式（9－6）中，在每一列的上方都標明了對應的單位位移分量。2）是對稱矩陣

的對稱性是指其元素有如下關系：（9－7）

這實際上是根據(jù)反力互等定理得出的結論。3）一般單元的是奇異矩陣的奇異性是指其行列式等于零，即（9－8）

直接計算式（9－6）的矩陣行列式，便可驗證上述結論。由此可知，不存在逆矩陣。也就是說，根據(jù)單元剛度方程（9－5），可以由桿端位移推算出桿端力且的解是唯一解；但不能由桿端力反推出桿端位移，可能無解，如有解，則為非唯一解。為了避免混淆，我們把正反兩個問題再從數(shù)學提法、力法模型、解的性質等方面作一對比。見下表：

正問題

反問題

數(shù)學提法為任意指定值，為待求量。為任意指定值，為待求量。力學模型把單元按“兩端有六個人工控制的附加約束的桿件”（位移法基本體系）來分析——由控制附加約束而加以指定。把單元按“兩端自由的桿件”來分析——直接加在自由端作為指定的桿端力。解的性質

為任意值時，都有解，且為唯一解?？偸且粋€平衡力系，不可能是不平衡力系。

為不平衡力系時，沒有解。為平衡力系時，有解，但為非唯一解（因為自由桿件除本身變形外還可有任意剛體位移）。不存在?？傊磧蓚€問題的力學模型是截然不同的，不能把單元籠統(tǒng)地統(tǒng)稱為“自由單元”。逆矩陣的性質是根據(jù)反問題確定的，這里的反問題是按“自由單元”分析，故得出不存在的結論。9.2.4特殊單元剛度矩陣式（9－4）是一般單元的剛度方程，其中六個桿端位移可指定為任意值。在結構中還有一些特殊單元，單元的某個或某些桿端位移的值已知為零，而不能任意指定。各種特殊單元的剛度方程無需另行推導，只需對一般的單元剛度方程（9－4）作一些特殊處理便可自動得到。舉例來說，計算連續(xù)梁時，我們通常忽略軸向變形。如取每跨梁作為單元（圖－4），則只有兩個桿端位移分量可指定為任意值，而其余四個分量均已知為零：

圖—4

返回

（a）

將式（a）代入式（9－4），即自動得出此特殊單元連續(xù)梁的剛度方程如下：（9－9）

此時單元剛度矩陣為

（9－10）

返回某些特殊單元的剛度矩陣是可逆的。例如式（9－10）中的，其逆矩陣存在。

對于圖4所示特殊單元來說，正問題的力學模型如圖－5a所示，每端有兩個支桿和一個控制轉角的附加約束，

可指定為任意值。

和

圖—5

返回返回反問題的力學模型如圖－5b所示，每端有兩個支桿，桿端力矩為任意值。

由于反問題的力學模型是一個幾何不變體系，因此，當為任意值時，桿端轉角有解，且為唯一解。由此得出存在的結論。選用局部坐標系的目的是希望導出的單元剛度矩陣具有最簡單的形式。為了便于進行整體分析，必須選用一個統(tǒng)一的公共坐標系，稱為整體坐標系。為了區(qū)別，用表示局部坐標，用表示整體坐標。

9.3單元坐標轉換矩陣圖－6a所示為一單元e，局部坐標系中的桿端力分量用表示。整體坐標系中則用表示，如圖－6b所示。

圖—6

返回顯然，二者有下列關系：

（9－11）

將式（9－11）寫成矩陣形式：（9－12）

或簡寫成（9－13）返回式中T稱為單元坐標轉換矩陣（9－14）

式（9—13）是兩種坐標系中單元桿端力的轉換式。

T－1＝TT

（9—15）

或

TTT＝TTT＝I

（9—16）

式（9—13）的逆轉換式為（9—17）

設局部坐標系中單元桿端位移列陣為

，整體坐標系中單元桿端位移列陣為

，則返回（9—18）

（9—19）

9.3.2整體坐標系中的單元剛度矩陣單元桿端力與桿端位移在整體坐標系中的關系式可寫為

（9—20）

返回

單元e在局部坐標系中的剛度方程為（a）

將式（9—13）和（9—18）代入式（a），得到等式兩邊各前乘，并引入式（9—16），得（b）

表較式（b）與（9—20），可知（9—21）

整體坐標系中的單元剛度矩陣與同階，具有類似的性質：元素表示在整體坐標系中第（j）個桿端位移分量等于1時引起的第(i)個桿端力分量。

（1）是對稱矩陣。

（2）一般單元的是奇異矩陣。

（3）例9—1P7

試求圖—7所示剛架中各單元在整體坐標系中的剛度矩陣。設各桿的桿長和截面尺寸相同。

圖—7

解:局部坐標系中的單元剛度矩陣由式（9—6）得==（1）①

②

整體坐標系中的單元剛度矩陣（2）

單元①：

①

=

單元②：

單元坐標轉換矩陣為①

②

=②

T

=§9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣前兩節(jié)進行了單元分析，建立了單元剛度方程，推導了單元剛度矩陣。從本節(jié)起轉到整體分析，建立整體剛度方程，導出整體剛度矩陣。本節(jié)以連續(xù)梁為例，下節(jié)討論剛架的一般情況，并考慮桿件軸向變形的影響。整體剛度方程是按位移法建立的,具體做法有兩種：1.傳統(tǒng)位移法2.單元集成法（也稱為剛度集成法或直接剛度法）單元集成法的優(yōu)點是便于實現(xiàn)計算過程的程序化。對于圖-8a所示的連續(xù)梁，位移法基本體系如圖－8b所示。

圖－8位移法的基本未知量為節(jié)點轉角他們可指定為任意值，在基本體系中用控制附加約束加以指定。他們組成整體結構的節(jié)點位移向量：（）T

與對應的力是附加約束的力偶它們組成整體結構的結點力向量F

在傳統(tǒng)作法中，分別考慮每個結點轉角獨自引起的節(jié)點力偶，如下圖-9a﹑b﹑c所示。圖－9

疊加得結點力偶；如下（9－22）記為：（9－24）（9－23）式（9-22）或(9-23)稱為整體剛度方程，K稱為整體剛度矩陣。9.4.1.單元集成法的力學模型和基本概念傳統(tǒng)位移法求結構的結點F時，分別考慮每個結點位移對F的單獨貢獻（采用圖-9中的力學模型），然后進行疊加。

單元集成法求F時，分別考慮每個單元對F的單獨貢獻，然后進行疊加—其特點就是“由單元直接集成”。

首先，考慮單元①的貢獻，力學模型見圖-10。整個結構的結點力是由單元①單獨產(chǎn)生的，記為

F①=(F1①

F2②

F3③)T圖－10F1①表示單元①對結構結點力F的貢獻。F1①和F2①可由單元①的單元剛度矩陣k①算出。已知F3①＝0（a）k①＝

（9－25）得：

（b）由（a）和（b）得：（9－26）記為F3①＝K①

（9－27）其中

K①＝（9－28）K①表示單元①對剛度矩陣提供的貢獻，稱為單元①的貢獻矩陣。其次，考慮單元②的貢獻。力學模型見圖-11所示。圖－11已知k②＝故得記為F②=K②

（9－29）（9－30）（9－31）其中K②

（9－32）K②稱為單元②的貢獻矩陣。將式（9-27）和式（9-31）疊加，得：F=F①+F②=(k①+k②)（9－33）由此得出整體剛度矩陣K為K=K①+K②=

（9－34）單元集成法求整體剛度矩陣的步驟可表示為其中：為單元剛度矩陣，單元貢獻矩陣，K為整體剛度矩陣2.按照單元定位向量由求

注意以下3點：1)結點位移（或結點力）有兩種編碼：在整體分析中，結點位移在結構中統(tǒng)一進行編碼，稱為總碼。在單元分析中，每個單元的兩個結點位移各自編碼為（1）和（2），稱為局部編碼。（見下圖-12）（b）（a）圖－122)注意每個單元的結點位移分量兩種編碼之間的對應關系，具體見下表：

單元對應關系單元定位向量局部碼→總碼①（1）→1（2）→2

②（1）→2（2）→3

3)注意單元剛度矩陣和單元貢獻矩陣中元素的排列方式,見下表

在單元剛度

矩陣中在單元貢獻矩陣中

換碼元素的原行碼(i)原列碼（j）換成新行碼新列碼（i）→（j）→

重排座原排在(i)行（j）的元素改在行列總之，由求的問題實質上就是中的元素在中如何定位的問題。定位規(guī)則是：（9－36）參見下表:單元單元剛度矩陣單元定位向量單元貢獻矩陣①

（1）（2）（1）4i12i1（2）2i14i1

(1)(2)↓

↓123（1）→14i12i10（2）→22i14i103000②（1）（2）（1）4i22i2（2）2i24i2

(1)(2)↓

↓123（1）→1000（2）→204i22i2302i24i23.單元集成法的實施方案單元集成法形成K的過程：1)先將K置零，這時K=02)將k①的元素在K中按定位①并進行累加，這時，K=K①

3)將k②的元素在K中按定位②并進行累加，這時，K=K①+K②按此作法對所有單元循環(huán)一遍，最后得到現(xiàn)以圖-8a所示連續(xù)梁為例，說明上過程：將k①集成后，得到：在此基礎上將k②集成得最終結果：

例-2試求圖-13a所示連續(xù)梁得整體剛度矩陣K

P14解（1）結點位移分量總碼（見圖-13a）圖－13（2）各單元得定位向量①

③

②

（3）單元集成過程單元單元剛度矩陣按單元定位向量換碼

集成過程中得階段結果①

（1）（2）（1）4i12i1（2）2i14i1（1）→1（2）→2

123（1）→14i12i10（2）→22i14i103000②

（1）（2）（1）4i22i2（2）2i24i2(1)→2(2)→312314i12i10（1）→22i14i1+(4i2)2i2

（2）→3302i24i2③

（1）（2）（1）4i32i3

（2）2i34i3(1)→3(2)→0(2)→0123（1）→14i12i10（2）→22i14i1+(4i2)2i2302i24i2+4i3

4.整體剛度矩陣的性質（1）整體剛度系數(shù)的意義

K中的元素稱為整體剛度系數(shù)。它表示當?shù)趈個結點位移分量（其他結點位移分量為零）時所產(chǎn)生的第i個結點力(2)K是對稱矩陣(3)按本節(jié)方法計算連續(xù)梁時，K時可逆矩陣。圖-8a所示為下圖-14為例的反問題力學模型。當F為指定值時，均可得的唯一解，故是存在的。

圖－14（4）K是稀疏矩陣和帶狀矩陣。對下圖-15，可導出其整體剛度矩陣：圖－15（9－37）§9-5平面剛架的整體剛度矩陣本節(jié)討論用單元集成法求平面剛架的整體剛度矩陣K。思路的要點：K由直接集成；集成包括將的元素在K中定位和累加兩個環(huán)節(jié)；定位是依據(jù)單元定位向量進行的。情況的復雜性表現(xiàn)在下列幾個方面：1）在一般情況下要考慮剛架中各桿的軸向變形，而忽略桿件軸向變形的情況則作為特例來處理；2）剛架中每個結點的位移分量要增加到三個：角位移和兩個方向的線位移；3）剛架中各桿方向不盡相同，在整體分析中需采用整體坐標；4）剛架中除剛結點外，還要考慮鉸結點等其他情況。1.結點位移分量的統(tǒng)一編碼――總碼圖-16所示剛架整體結構的結點位移向量：＝（）T＝（）T相應結點力向量為F=(F1F2F3F4)T

圖－16P7例9.12.單元定位向量單元①單元②局部編碼→總碼單元定位向量局部編碼→總碼單元定位向量（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→4①（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→0②3.單元集成過程首先，考慮單元①；①＝

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）300kN/m00-300kN/m00（2）012kN/m30kN0-12kN/m30kN（3）030kN100.kN.m0-30kN50.kN.m×104（4）-300kN/m00300kN/m00（5）0-12kN/m-30kN012kN/m-30kN（6）030kN50.kN.m0-30kN100.kN.m

（9－38）K的階段結果＝(1)(2)(3)(6)↓↓↓↓(1)→1300kN/m000(2)→2012kN/m30kN30kN×104(3)→3030kN100.kN.m50.kN.m(6)→4030kN50.kN.m100.kN.m（9－39）其次，考慮單元②k①=

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）12kN/m0-30kN-12kN/m0-30kN（2）0300kN/m00-300kN/m0（3）-30kN0100.kN.m30kN050.kN.m×104（4）-12kN/m030kN12kN/m030kN（5）0-300kN/m00300kN/m0（6）-30kN050.kN.m30kN0100.kN.m（9－40）K=

(1)(2)(3)↓↓↓1234(1)→1[300+(12)]kN/m0+(0)[0+(-30)]kN0

(2)→20+(0)[12+(300)]kN/m[30+(0)]kN30kN×104

(3)→3[0+(-30)]kN[30+(0)]kN[100+(100)]kN.m50.kN.m

4030kN50.kN.m100kN.m（9－41）4．鉸結點的處理圖-17所示為具有鉸結點的剛架。

圖－171.考慮結點位移分量的統(tǒng)一編碼（圖中已標出）2.考慮單元定位向量各單元定位向量如下；分析過程：①＝（123456）T

②＝（123000）T③＝（457000）T

第一階段結果①，見式（9－43）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（1）

1

（2）

2

（3）

3

（4）

4

（5）

5(6)

6730000-300000012300-123000301000-30500-300003000000-12-30012-300030500-30100000000001234567（9－43）

（1）

（2）

（3）1234567（1）

1（2）

24（3）

3300+（12）0+（0）0+（－30）-3000000+（0）12+（300）30+（0）0-123000+（－30）30+（0）100+（100）0-30500-300003000000-12-30012-300030500-3010000000000567（9－44）

在式（9－40）中已給出。將其中的元素按在K中定位并與前階段結果累加，即得K的第二階段結果，見式（9－44）。其次，考慮單元②

：

最后，考慮單元③：

與相同。由即得K最后結果，見式（9－45）。

（1）

（2）

（3）（1）（2）（3）123456712345673120-30-3000000312300-12300-30302000-30500-30000300+（12）0+（0）00+（-30）

0-12-300+（0）12+（300）-300+（0）030500-3010000000+（－30）0+（0）00+（100）（9－45）

以上式（9－43）、（9－44）、（9－45）中各物理量是有單位的，這里只是表示單元集成的過程，故式中未標單位。

1.位移法基本方程

§9－6等效結點荷載前兩節(jié)討論了結構的整體剛度矩陣K，建立了整體剛度方程（9－46）

整體剛度方程（9－46）是根據(jù)原結構的位移法基本體系建立的，它表示由結點位移推算結點力（即在基本體系的附加約束中引起的約束力）F的關系式。它只反映結構的剛度性質，而不涉及到原結構上作用的實際荷載。它并不是用以分析原結構的位移法基本方程。為了建立位移法基本方程，我們回顧一下本書（Ι）§8－5中的推導方法，分別考慮位移法基本體系的兩種狀態(tài)：

(1)設荷載單獨作用（結點位移設為零）——此時在基本結構中引起的結點約束力，記為。

(2)設結點位移單獨作用（荷載設為零）——此時在基本結構中引起的結點約束力為。

位移法基本方程為

（11－47）

2.等效結點荷載的概念

等效的原則是要求這兩種荷載在基本結構中產(chǎn)生相同的結點約束力。

如果原來荷載在基本結構中引起的結點約束力記為，則等效結點荷載在基本結構中引起的結點約束力也應為。由此即可得出如下結論：（9－48）

將式（9－48）代入式（9－47），則位移法基本方程可寫為

（9－49）

由式（9－46）和式（9－49）可知，如果把剛度方程（9－46）中的結點約束力F換成等效節(jié)點荷載P，即得到位移法基本方程（9－49）。

3．按單元集成法求整體結構的等效結點荷載

(1)單元的等效結點荷載

先考慮局部坐標系。

在單元兩端加上六個附加約束，使兩端固定。在給定荷載作用下，可求出六個固端約束力，它們組成固端約束力向量：

（9－50）

在表9－1中給出了幾種典型荷載所引起的固端約束力。將固端約束力反號，即得到單元等效結點荷載（局部坐標系）：

（9－51）

(2)單元的等效結點荷載（整體坐標系）

現(xiàn)考慮整體坐標系。由坐標轉換公式（9－17），得

（9－52）

(3)整體結構的等效結點荷載P

依次將每個中的元素按單元定位向量在P中進行定位并累加，最后即得到P。

表

9－1

單元固端約束力（局部坐標系）

荷載簡圖

始

端

1末

端

21

2

3

4

5

6

7例－3

試求圖－16a所示剛架在圖－18給定荷載下的等效結點荷載向量P。

圖

－18

解（1）求局部坐標系中的固端約束力

單元①：由表9－1第1行，

得單元②：由表9－1第2行，

得因此

(2)各單元在整體坐標系中的等效結點荷載

單元①、②的傾角分別為

由式（9－51）和（9－52）得

(3)求剛架的等效結點荷載

兩個單元的結點局部和總碼見圖－16?？偞a在圖－18中用虛線重新示出。單元定位向量已知為將中得元素，按在中進行定位并累加即可得出。

首先，考慮單元①：

的階段結果為[（4）、（5）行元素在中無座位]

（1）

1

（2）2（3）

3(6)4其次,考慮單元②

（1）

1

（2）2（3）

34(1)整理原始數(shù)據(jù)，對單元和剛架進行局部編碼和總體編碼。

(2)形成局部坐標系中的單元剛度矩陣，用式（9－6）。

(3)形成整體坐標系中的單元剛度矩陣，用式（9－21）。

(4)用單元集成法形成整體剛度矩陣，參看式（9－35）。

§9－7

計算步驟和算例

用矩陣位移法計算平面剛架的步驟如下：

(5)求局部坐標系的單元等效結點荷載，轉換成整體結構的等效結點荷載，用式（9－51）和式（9－52）；用單元集成法形成整體結構的等效結點荷載。

(6)解方程，求出結點位移。

(7)求各桿的桿端內力，用下面的式（9－53）。

各桿的桿端內力是由兩部分組成：

一部分是在結點位移被約束住的條件下的桿端內力，即各桿的固端約束力。另一部分是剛架在等效結點荷載作用下的桿端內力，可由式（9－5）求出。將兩部分內力疊加，即得

（11－52）