第十章機械振動和電磁振蕩PowerPointPresentation

第十章機械振動和電磁振蕩教學(xué)目的:理解諧振動掌握一維諧振動的合成教學(xué)重點:諧振動教學(xué)難點:振動的分解頻譜§10-1諧振動§10-2阻尼振動§10-3受迫振動共振§10-4電磁振蕩§10-5一維諧振動的合成§10-6二維諧振動的合成§10-7振動的分解頻譜§10-8非線性振動與混沌第十章機械振動和電磁振蕩§10-1諧振動簡諧振動（simpleharmonicmotion,SHM）：一、諧振動的特征及其表達(dá)式受力特點：線性回復(fù)力

動力學(xué)特征

物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。其解為令簡諧振動的特征方程簡諧振動表達(dá)式vm=A

稱為速度幅值

；am=2A

稱為加速度幅值

。簡諧振動的速度和加速度：簡諧振動的運動學(xué)特征方程

由初始條件(x0，

v0)求解振幅和初相位：設(shè)t=0時，振動位移：x=x0振動速度：v=v0二、描述諧振動的特征量

2.

周期(period)

T:完成一次完全振動所經(jīng)歷的時間。1.振幅(amplitude):A

（即最大位移，x=±A

）角頻率（或稱圓頻率）：頻率(frequency)

:單位時間內(nèi)完成完全振動的次數(shù)。=1/TAxtOT相位差：=(2

t+20

)-(1t+10)對兩同頻率的諧振動=20-

10初相差

當(dāng)

=2k，(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相同，稱同相。初相位（initialphase）

：0

（t+0

）——描述振動狀態(tài)3.相位（phase）：

當(dāng)

=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相反，稱反相。

若0<

20-

10<，則x2比x1較早達(dá)到正最大，稱x2比x1超前

(或x1比x2落后)。x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1速度相位比位移相位超前/2。加速度與位移反相位。三、諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

投影點P

的運動為簡諧振動。xP

旋轉(zhuǎn)矢量的端點在x軸上的投影點P的位移：O逆時針轉(zhuǎn)動周期：

旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡諧振動的振幅。

旋轉(zhuǎn)矢量的角速度

即為振動的角頻率。

旋轉(zhuǎn)矢量與

x軸的夾角(

t+0

)，為簡諧振動的相位。

t=0時，與x軸的夾角0

即為簡諧振動的初相位。

旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周，P點完成一次完全振動xPO例10-1

一物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時,物體的位移x=0.06m,且向x

軸正向運動。求：(1)簡諧振動表達(dá)式;(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向x軸負(fù)方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解：(1)設(shè)簡諧振動表達(dá)式為由初始條件：簡諧振動表達(dá)式：(2)或設(shè)在某一時刻t1，x=-0.06m(3)且向x

軸負(fù)方向運動。設(shè)t2時刻第一次回到平衡位置四、幾種常見的諧振動1.單擺重物所受合外力矩：由轉(zhuǎn)動定律令(q很小時)振動表達(dá)式為角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期T與角振幅的關(guān)系為

T0為很小時單擺的周期。當(dāng)q不是很小時：2.復(fù)擺q很小時一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺。例10-2

一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。船靜止時浮力與重力平衡，

船在任一位置時，以水面為坐標(biāo)原點，豎直向下的坐標(biāo)軸為y

軸，船的位移用y

表示。解：船的位移為y

時船所受合力為船在豎直方向做簡諧振動，其角頻率和周期為五、諧振動的能量

勢能

機械能簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒!以水平彈簧振子為例動能六、用能量法解諧振動問題以水平彈簧振子為例系統(tǒng)機械能守恒：例10-3

勁度系數(shù)為k，原長為L，質(zhì)量為

的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m(>)的物體，在光滑水平面內(nèi)做直線運動。求解其運動。解：彈簧、物體的動能分別為當(dāng)物體處于位移x

速度為v時，彈簧元dl的質(zhì)量為位移為速度為系統(tǒng)彈性勢能為系統(tǒng)機械能守恒，有對時間求導(dǎo)，常量常量仍為簡諧振動§10-2阻尼振動

振動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所做的振動，稱為無阻尼自由振動。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對在流體(液體、氣體)中運動的物體，當(dāng)物體速度較小時，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)阻尼振動方程：引入阻尼因子

固有頻率在小阻尼條件下，微分方程的解為其中

和為積分常數(shù)，由初始條件決定。阻尼振動的準(zhǔn)周期性余弦項表征了在彈性力和阻力作用下的周期運動；——減幅振動反映了阻尼對振幅的影響。阻尼振動的周期：阻尼振動的三種情形：

欠阻尼

過阻尼

臨界阻尼§10-3受迫振動共振一、受迫振動

物體在周期性外力（驅(qū)動力）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動稱為受迫振動（forcedvibration）。驅(qū)動力：運動方程：設(shè)當(dāng)阻尼較小,＜0時,方程的解：暫態(tài)項穩(wěn)定項穩(wěn)定振動狀態(tài)：

在穩(wěn)定振動狀態(tài)下，受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率。穩(wěn)態(tài)時振動物體速度：

在受迫振動中，周期性的驅(qū)動力對振動系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)。二、共振

當(dāng)驅(qū)動力的角頻率等于某個特定值時，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振（displacementresonance）。

受迫振動速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振（velocityresonance）。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。§10-4電磁振蕩一、LC電路的振蕩

電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。LC振蕩電路

向左合上開關(guān)，使電源給電容器充電，然后將開關(guān)接通LC回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。

電荷與電流（電場能量與磁場能量）隨時間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，稱為(無阻尼)自由振蕩。CL+Q-Q+Q-QLC回路的振蕩過程II

設(shè)t

時刻電容器極板上電荷量為q，電路中電流為i，順時針方向為電流正向，振蕩角頻率（無阻尼）自由振蕩的定量分析CLiQ0是電荷量振幅，0是振蕩初相。電荷和電流都做簡諧振動，電流的振動超前電荷/2。電場能量為磁場能量為電磁場總能量守恒二、受迫振蕩電共振

LRC

電路在外加周期性電動勢持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。對受迫振蕩：電動勢：穩(wěn)態(tài)解：其中

當(dāng)電路滿足

時，電流振幅最大，稱為電共振。電流振幅最大值為即三、力電類比機械振動電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度v質(zhì)量m勁度系數(shù)k阻力系數(shù)驅(qū)動力F彈性勢能kx2/2動能mv2/2電荷q電流

i電感L電容的倒數(shù)1/C電阻R電動勢電場能量q2/2C磁場能量Li2/2§10-5一維諧振動的合成一、同一直線上兩個同頻率諧振動的合成

某一質(zhì)點同時參與兩個獨立的、同方向、同頻率的簡諧振動，其振動位移分別為合振動：

合振動仍為同方向同頻率的簡諧振動。（由振動的疊加原理）合振動：（1）若則（2）若則求合振動。例10-3解：討論二、同一直線上兩個不同頻率諧振動的合成拍

設(shè)同方向、角頻率分別為和的兩簡諧振動（>），它們所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量分別為和

相對于的轉(zhuǎn)動角速度：振幅：隨時間緩慢變化拍：合振動的振幅時強時弱的現(xiàn)象(|2-1|<<2,1時)拍的周期：拍的頻率：諧振因子：§10-6二維諧振動的合成

兩相互垂直同頻率簡諧振動的合成,其振動軌跡為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。

同頻率垂直簡諧振動的合成消去t

，得yx討論幾種特殊情形：1.質(zhì)點做線振動syx質(zhì)點做線振動合振動的振幅：yx質(zhì)點振動軌跡為右旋正橢圓。特別當(dāng)A1=A2時，合成為右旋圓軌跡。2.y方向振動超前于x方向質(zhì)點振動軌跡為左旋正橢圓。兩同頻率垂直簡諧振動在不同相位差時的合成

不同頻率垂直簡諧振動的合成2.當(dāng)兩振動頻率恰成整數(shù)比時，得封閉穩(wěn)定軌道，稱為李薩如(Lissajous)圖。

看成，但相位差緩慢變化。合運動軌跡將按不同相位差的合成圖形依次緩慢變化。ωx:ωy李薩如圖§10-7振動的分解頻譜若周期性振動的頻率為0則各分振動的頻率為0,20,30,

周期性振動可分解為一系列頻率分立的簡諧振動——離散頻譜。傅里葉分析：對周期性函數(shù)f(t)(基頻,二次諧頻,三次諧頻,)tx0t0tx1t0x3t0x50x1+x3+x5+x00tx0方波的分解§10-8非線性振動與混沌單擺運動方程：

擺角很小時線性微分方程解為線性（簡諧）振動：

擺角較大時非線性微分方程解為非線性振動。

振動物體在非線性回復(fù)力作用下所做的振動為非線性振動。

非線性方程一般沒有解析解，而采用數(shù)值求解。非線性方程的解取決于方程的參數(shù)，可以是周期性的，也可以是混沌的。

混沌(chaos)是一個非線性方程所描述的確定性系統(tǒng)出現(xiàn)的貌似不規(guī)則的運動，其特征表現(xiàn)為對初態(tài)的敏感性和未來的不可預(yù)見性。

混沌是回復(fù)性非周期運動。蝴蝶效應(yīng)68第十一章機械波和電磁波§11-1機械波的產(chǎn)生和傳播§11-2平面簡諧波的波函數(shù)§11-3波動方程波速§11-4波的能量波的強度§11-8波的疊加原理波的干涉駐波§11-5聲波超聲波次聲波§11-6電磁波§11-7惠更斯原理波的衍射反射和折射§11-9多普勒效應(yīng)69§11-1機械波的產(chǎn)生和傳播一、機械波產(chǎn)生的條件有作機械振動的物體波源能夠傳播這種振動彈性介質(zhì)如果介質(zhì)中有一質(zhì)點A，受外界擾動而離開平衡位置，A點周圍的質(zhì)點就將對A作用一個彈性力以對抗這一擾動，使A回到平衡位置，并在平衡位置附近作振動。與此同時，當(dāng)偏離其平衡位置時，A點周圍的質(zhì)點？70注意：波動只是振動狀態(tài)的傳播

區(qū)別波速與質(zhì)點的振動速度二、橫波和縱波橫波：質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向相互垂直縱波：質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向相互平行一些波既不是純粹的橫波，也不是純粹的縱波例如：水面波71727374簡諧波：當(dāng)波源作諧振動時，介質(zhì)中各質(zhì)點也作諧振動。一般地，介質(zhì)中各質(zhì)點的振動很復(fù)雜，由此產(chǎn)生的波動也很復(fù)雜。三、波陣面和波射線波陣面：某一時刻振動相位相同的點連成的面（波面）同相面波陣面是平面的波動稱平面波波陣面是球面的波動稱球面波75波的傳播方向稱為波線或波射線76四、波長、頻率和波速間的關(guān)系簡諧波動傳播時間周期性周期頻率角頻率空間周期性波長波長：同一波線上的兩個相鄰的振動狀態(tài)相同的質(zhì)點，即振動相位相差的兩質(zhì)點之間的距離橫波波長？縱波波長？77之間的關(guān)系：由于振動狀態(tài)由相位確定，所以波速就是波的相位的傳播速度，又稱相速。7879§11-2平面簡諧波的波函數(shù)一、波函數(shù)為了定量地描述波在空間的傳播，需要用數(shù)學(xué)函數(shù)式來表示介質(zhì)中各質(zhì)點的振動狀態(tài)隨時間變化的關(guān)系，這樣的關(guān)系式稱為波動表達(dá)或波函數(shù)。80二、平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波：簡諧波的波面為平面81討論：平面余弦波在理想的無吸收的均用無限大介質(zhì)中傳播時的波函數(shù)設(shè)有一平面余弦行波，在無吸收的均用無限大介質(zhì)中延OX軸的正方向傳播，取任意一條波線為OX軸，并去O作為OX軸的原點，原點處質(zhì)點的振動表達(dá)式為：82P質(zhì)點在時刻t的位移：83若介質(zhì)中的波速為u,則代入表示波線上任一點（距原點為x）處的質(zhì)點任一瞬時的位移

延OX軸前進(jìn)的平面簡諧波的波函數(shù)84如果延OX軸負(fù)方向：為了弄清楚波函數(shù)的物理意義，下面作進(jìn)一步分析：851、如果X點定，那么位移y就只是t的函數(shù)862、如果t給定，那么位移y就只是x的函數(shù)873、如果x,t都在變化，那么這個波函數(shù)將表示波線上各個不同質(zhì)點在不同時刻的位移88利用關(guān)系式可以將平面簡諧波的波函數(shù)改寫成多種形式：89平面簡諧波的波函數(shù)用復(fù)數(shù)表示為：90平面波動方程§11-3波動方程波速一、波動方程平面簡諧波的波函數(shù)分別對t,x求二階導(dǎo)數(shù)：比較兩式：92三、波速機械波在不同介質(zhì)中的波速公式：繩索或弦線中的(橫波)波速F為張力，l為線密度。

固體中橫波：G為切變彈性模量，為固體密度?？v波：E為楊氏彈性模量。93

縱波在流體內(nèi)傳播的波速為體變彈性模量，為流體密度。理想氣體中的聲速流體內(nèi)只能傳播縱波，不能傳播橫波。（機械波）由此可知，機械波的波速僅決定于介質(zhì)的彈性和慣性。9495§11-4波的能量波的強度一、波的能量當(dāng)機械波傳播到介質(zhì)的某處時，該處原來不動的質(zhì)點開始振動，因而具有動能，同時該處的介質(zhì)也將產(chǎn)生形變，因而也具有勢能。在介質(zhì)中任取體積為△V、質(zhì)量為△m、介質(zhì)的體密度為的質(zhì)元。當(dāng)波動傳播到這個質(zhì)點時，這個質(zhì)元將具有動能和勢能。96如果介質(zhì)中平面簡諧波的波函數(shù)為：可以證明質(zhì)元總機械能為：97討論：機械振動過程中動能和勢能隨時間的變化關(guān)系？機械波傳播過程中動能和勢能隨時間的變化關(guān)系？不同點：在行波傳播過程中，質(zhì)元的動能和勢能的時間關(guān)系式是相同的，兩者同相、大小相等。行波中動能達(dá)到最值時，勢能也達(dá)到相同的最值。98波動系統(tǒng)任一質(zhì)元的總能量是時間的函數(shù)，表明波動傳播能量，振動系統(tǒng)并不傳播能量。波的能量密度：介質(zhì)中單位體積的波動能量。波的平均能量密度：在一個周期內(nèi)波的能量平均值。99三、波的強度能流：單位時間內(nèi)通過介質(zhì)某面積的能量。Su平均能流平均能流密度平均能流密度或波的強度：通過與波動傳播方向垂直的單位面積的平均能流。即100其中特性阻抗101§11-6電磁波麥克斯韋方程組把電磁學(xué)中最基本的實驗定律概括、總結(jié)和提高到一組在一般情況下互相協(xié)調(diào)的方程組------麥克斯韋方程組1021867年，麥克斯韋先從理論上預(yù)言了電磁波的存在；1887年，赫茲用實驗證實了這個預(yù)言；103一、電磁波的輻射和傳播振蕩電路中電流周期性變化振蕩電路能夠輻射電磁波104由于L和C的減少，提高電路的震蕩頻率，因而它能夠輻射電磁波，并向四周空間傳播，這樣的直線型電路，電流，電流在其中往復(fù)振蕩，兩端出現(xiàn)正負(fù)交替的等量異號電荷，稱為振蕩偶極子或輻射偶極子。例如：天線中振蕩的電流、原子和分子中電荷的振動1051887年，赫茲用類似的振蕩偶極子，實現(xiàn)了發(fā)送和接受電磁波。106設(shè)振蕩偶極子是有一對等量異號電荷組成，其距離隨時間按余弦函數(shù)規(guī)律變化，則其電矩Pe也按余弦函數(shù)變化正負(fù)電荷相對它們的公共中心作諧振動，為簡單計，振蕩偶極子附近的一條電場線的變化如圖：107設(shè)t=0時，正、負(fù)電荷重合，然后分別作諧振動，兩電荷間的電場線，如圖(a)(b)(c)當(dāng)振動半個周期時，正、負(fù)電荷又重合，其電場線便成閉合狀，如圖(d）此后正、負(fù)電荷位置互相對調(diào)，形成方向相反新的電場線如圖(e）108產(chǎn)生的磁感線是環(huán)繞偶極子軸線的同心圓，較遠(yuǎn)區(qū)域電場線閉合，稱為輻射區(qū)，電場為渦旋場，渦旋電場在其周圍產(chǎn)生感生磁場109振蕩偶極子所發(fā)射的電磁波，在離偶極子足夠遠(yuǎn)的空間內(nèi)某一點P處、在時刻