頻率分布直方圖、莖葉圖

用樣本的頻率分布估計總體分布統(tǒng)計的基本思想方法：用樣本估計總體，即通常不直接去研究總體，而是通過從總體中抽取一個樣本，根據(jù)樣本的情況去估計總體的相應(yīng)情況.統(tǒng)計的核心問題：如何根據(jù)樣本的情況對總體的情況作出一種推斷.這里包括兩類問題：一類是如何從總體中抽取樣本?另一類是如何根據(jù)對樣本的整理、計算、分析,對總體的情況作出推斷.用樣本的有關(guān)情況去估計總體的相應(yīng)情況,這種估計大體分為兩類，一類是用樣本頻率分布估計總體分布，一類是用樣本的某種數(shù)字特征（例如平均數(shù)、方差等）去估計總體的相應(yīng)數(shù)字特征。

整體介紹：將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫做該組的頻數(shù)。頻率：每組數(shù)據(jù)的個數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個數(shù)的商叫做該組的頻率。根據(jù)隨機抽取樣本的大小，分別計算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況），就叫做樣本的頻率分布。說明：樣本頻率分布與總體頻率分布有什么關(guān)系？通過樣本的頻數(shù)分布、頻率分布可以估計總體的頻率分布.如何用樣本的頻率分布

估計總體分布？2000年全國主要城市中缺水情況排在前10位的城市探究：我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出。例某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價收費，超過a的部分按議價收費。①如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那

么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？

②為了較合理地確定這個標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為需要做哪些工作？思考：由上表，大家可以得到什么信息？

通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量(單位：t)，如下表：

1.求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）

2.決定組距與組數(shù)組數(shù)=

4.3-0.2=4.14.10.5=8.2組距極差=3.將數(shù)據(jù)分組［0，0.5)，［0.5，1)，…，［4，4.5］

將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫做該組的頻數(shù)。頻率：每組數(shù)據(jù)的個數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個數(shù)的商叫做該組的頻率。4.列頻率分布表100位居民月平均用水量的頻率分布表頻率/組距月平均用水量/t0.500.400.300.200.100

0.511.522.533.544.5

5.畫頻率分布直方圖小長方形的面積組距頻率=組距×頻率=探究：

同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖的形狀也會不同。不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時會影響我們對總體的判斷。分別以1和0.1為組距重新作圖，然后談?wù)勀銓D的印象。

一、求極差，即數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差二、決定組距與組數(shù)：組距=極差/組數(shù)三、分組,通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間，取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間四、登記頻數(shù),計算頻率,列出頻率分布表畫一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,可以按以下的步驟進行:五、畫出頻率分布直方圖（縱軸表示頻率／組距）頻率/組距月平均用水量/t0.500.400.300.200.100

0.511.522.533.544.5

如果當(dāng)?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn),根據(jù)頻率分布表和頻率分布直方圖,你能對制定月用水量提出建議嗎?你認(rèn)為3噸這個標(biāo)準(zhǔn)一定能夠保證85%以上的居民用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)嗎?100位居民月平均用水量的頻率分布表練習(xí)1.有一個容量為50的樣本數(shù)據(jù)的分組的頻數(shù)如下：［12.5,15.5）3［15.5,18.5）8［18.5,21.5）9［21.5,24.5）11［24.5,27.5）10［27.5,30.5）5［30.5,33.5）4(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計,數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5）的百分比是多少?解:組距為3分組頻數(shù)頻率［12.5,15.5）3［15.5,18.5）8［18.5,21.5）9［21.5,24.5）11［24.5,27.5）10［27.5,30.5）5［30.5,33.5）40.060.160.180.220.200.100.080.0200.0530.0600.0730.0670.0330.027頻率/組距合計501頻率分布直方圖如下：頻率/組距0.0100.0200.0300.0400.05012.515.50.0600.070例2、對某電子元件進行壽命跟蹤調(diào)查，情況如下：1）、列出頻率分布表2）、估計電子元件壽命在100h~400h以內(nèi)的頻率3）、估計電子元件壽命在400h以上頻率課堂練習(xí)：1、為檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個容量為30的樣本，檢測結(jié)果為一級品5件，二級品8件，三級品13件，次品4件．(1)列出樣本的頻率分布表；(2)根據(jù)上述結(jié)果，估計此種產(chǎn)品為二級品或三級品的概率約是多少．

解：（1）樣本的頻率分布表為：

0.134次品0.4313三級品0.278二級品0.175一級品頻率頻數(shù)產(chǎn)品(2)此種產(chǎn)品為二級品或三級品的概率約為0.27＋0.43＝0.7．

2.有一個容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及其頻數(shù)如下所示,請將其制成頻率直方圖．頻率分布表如下：分組頻率[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）3891110[50，55）[55，60]54

合計500.060.160.180.220.200.100.081.00頻數(shù)3.已知樣本10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,12,9,11,12,9,10,11,11,那么頻率為0.2范圍的是()A.5.5~7.5B.7.5~9.5C.9.5~11.5D.11.5~13.5分組頻數(shù)頻率頻數(shù)累計5.5~7.520.127.5~9.560.389.5~11.580.41611.5~13.540.220合計201.0D4.一個容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組和各組的相關(guān)信息如下表,試完成表中每一行的兩個空格.分組頻數(shù)頻率頻率累計[12,15)6[15,18)0.08[18,21)0.30[21,24)21[24,27)0.69[27,30)16[30,33)0.10[33,36]1.00合計1001.00課堂小結(jié)編制頻率分布直方圖的步驟:①找最大值與最小值。②決定組距與組數(shù)③決定分點④登記頻數(shù)，計算頻率，列表，畫直方圖說明:(1)確定分點時,使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1小組的起點稍微再小一點.

例3為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校隨機抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖.圖中從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組的頻數(shù)為12.（1）第二小組的頻率是多少？（2）樣本容量是多少？（3）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標(biāo)，試估計該校全體高一學(xué)生的達標(biāo)率約是多少？90100110120130140150次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320.036頻率分布直方圖的優(yōu)缺點：優(yōu)點：能夠很容易表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀的表明分布形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的一些數(shù)據(jù)模式。缺點：雖可以大致估計出總體的分布情況，但不能保留原來的數(shù)據(jù)信息，在精確度要求較高的情況下不適用。頻率/組距月平均用水量/t0.500.400.300.200.100

0.511.522.533.544.5

頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,得到頻率分布折線圖利用樣本頻分布對總體分布進行相應(yīng)估計（3）當(dāng)樣本容量增大時，組數(shù)增加,組距減少，那么頻率分布直方圖就會變成怎么樣的圖形?（2）樣本容量越大，這種估計越精確。（1）上例的樣本容量為100，如果增至1000，其頻率分布直方圖的情況會有什么變化？假如增至10000呢？——總體密度曲線頻率組距月均用水量/tab（圖中陰影部分的面積，表示總體在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比）?？傮w密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比,精確地反映了總體的分布規(guī)律。是研究總體分布的工具.接近于一條光滑曲線注意：1.不是任意總體都有密度曲線，當(dāng)總體個數(shù)比較少或者數(shù)據(jù)的分布過于離散不連續(xù)時，總體密度曲線都是不存在的2.總體密度曲線與總體分布相互唯一確定，如果總體分布已知，就可以得到密度曲線。3.在總體情況未知的情況下，可通過樣本頻率折線近似估計得到密度曲線，樣本容量越大，估計越精確。但是不能通過樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地畫出總體密度曲線。莖葉圖某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄如下：甲運動員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39乙運動員得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39莖葉圖甲乙0123452554161679490846368389

1葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)，表示得分的個位數(shù)。莖是指中間的一列數(shù)，表示得分的十位數(shù)注意：在制作莖葉圖時，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”部分；同一數(shù)據(jù)出現(xiàn)幾次，就要在圖中體現(xiàn)幾次.畫莖葉圖的步驟:(1)將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分;(2)將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列,寫在一側(cè);(3)將各個數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o的另一側(cè).用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點：（1）所有的信息都可以從這個莖葉圖上得到；（2）莖葉圖便于記錄和表示.用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的缺點：（1）其分析是粗略的，對差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析；（2）當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便。1.有兩個班級，每班各自按學(xué)號隨機選出10名學(xué)生，測驗鉛球成績，以考察體育達標(biāo)程度，測驗成績?nèi)缦拢簡挝唬祝┘?.127.888.426.945.207.227.968.066.694.92乙8.808.457.347.066.718.389.808.686.835.86

兩個班相比較，哪個班整體實力強一些？

2．有一個容量為50的樣本，其數(shù)據(jù)的莖葉圖表示如下：

將其分成7組并要求：（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分