第九章-振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

第九章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的振幅周期頻率相位諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的合成阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振學(xué)時(shí)作業(yè)

:習(xí)題

9－9，9－11，9－17

。講課學(xué)時(shí)3學(xué)時(shí)

要求1.理解諧振動(dòng)的相位概念、諧振動(dòng)的能量以及諧振動(dòng)的合成；3.了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振。2.

掌握諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法;一簡諧振動(dòng)振動(dòng)：物體在某一位置附近的往返運(yùn)動(dòng)稱為

振動(dòng)。

什么樣的振動(dòng)是

簡諧振動(dòng)(simpleharmonicvibration)§9-1

諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程？物體受力

F=

－kx

物體受到的力與位移的一次方成正比且反向，具有這種特征的振動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)，簡稱諧振動(dòng)

二諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程令F=－kxF=maω2

=動(dòng)力學(xué)方程§9-1

諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程

方程的解為歐拉公式

cosθ+isinθ=

eiθ在經(jīng)典物理學(xué)中用實(shí)數(shù)表示物理量運(yùn)動(dòng)方程§9-1

諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程速度

加速度§9-1

諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程討論：1.

位移和加速度

反向，當(dāng)

x=0時(shí)，

a=0；x最大，

a最大2.

速度落后

位移

π／2，當(dāng)

x=

0

時(shí)，v

最大；x

為最大時(shí)，v=03.

v

為零時(shí)，a最大；v最大時(shí)，a為零位移、速度、加速度的時(shí)間曲線

中各量的物理意義：振幅

(amplitude)A

意義：因│cosα│≤1，故│x│≤A，振幅

A

就是振動(dòng)物體離開平衡位置最大位移的數(shù)值周期

(period)T振幅

A

的大小反映了振動(dòng)的強(qiáng)弱振動(dòng)物體完成一個(gè)完全振動(dòng)(來回一次)所需的時(shí)間，稱為振動(dòng)的周期?！?-2

諧振動(dòng)的振幅

周期頻率相位ωT=

2πT=

2π／ω

頻率

(frequency)f在單位時(shí)間內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù)，稱為振動(dòng)物體的頻率。周期單位：次／秒，用赫芝(Hz)表示f=

1／T=ω／2πω=2πf

(circularfrequency)彈簧振子

ω2=k／m圓頻率角頻率

(angularfrequency)固有周期固有頻率

(naturalperiod)

(naturalfrequency)相位

(phase)稱為相位

(振動(dòng)物體在時(shí)刻

t

的相位

)

決定物體在開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定某一時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相位是決定某一時(shí)刻振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量初相位初始條件(initialcondition):t=0，x=

x0，v

=

v0

x0=Acosv0=－Aωsin(initialphase)振幅和初相位確實(shí)由初始條件確定

例

1

一勁度系數(shù)為

k

的彈簧，下端固定在地面上，上端壓一個(gè)質(zhì)量為

m

的重物，重物使彈簧縮短

b=9.8cm。如果給物體一向下的瞬時(shí)沖擊力，使它以

1m·s-1

的向下速度啟動(dòng)，并上下振動(dòng)起來。試分析物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并求振動(dòng)的頻率和振幅。

解：

以彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為

y

軸正方向mg=kb

令

y′=y－

b

y

=y′

+b=－k(y－b)

可見，物體作諧振動(dòng)

振動(dòng)系統(tǒng)除受彈性力之外，還受有象重力這樣的恒力作用時(shí)，并不改變系統(tǒng)的振動(dòng)情況，只會(huì)改變振動(dòng)的平衡位置。=0.1m振幅矢量表示法振幅矢量的端點(diǎn)在

x軸上的投影點(diǎn)

P來回運(yùn)動(dòng)經(jīng)過

t后，A

與x

軸的夾角變?yōu)檎穹噶?/p>

A

在

x

軸上的投影··OPxxA

§9-

3

諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

A

轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，轉(zhuǎn)一圈所掃過的角度為

2π，所用時(shí)間為

2π／ω

夾角反映出振動(dòng)物體瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，它就是相位初相位

例

2

物體沿

x

軸作簡諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為

2s，在

x=－6cm處，且向

x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程和從這一位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間。解：A=

12×10-2mω=

2π／T=

2π／2=πs-1t=0時(shí)

，x0

=

－6cm，

v0＜0，或運(yùn)動(dòng)方程形式v0＜0，運(yùn)動(dòng)方程為回到平衡位置所需最短時(shí)間，令

x=0

就可求得用振幅矢量求更方便!回到平衡位置所需最短時(shí)間為

5／6

秒故應(yīng)取xO·系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)能量包括動(dòng)能和勢能動(dòng)能勢能振動(dòng)能量§9-4

諧振動(dòng)的能量在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能是守恒的，動(dòng)能和勢能互相轉(zhuǎn)化x=0，vmax

，Ekmax

，Ep=0

；│x│=A

，v

=0

，Ek=0

，Epmax；

其它位置兩者都有平均動(dòng)能平均勢能

平均動(dòng)能與平均勢能相等，均為總能量的一半一同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成x1=A1cos(ωt+x2=A2cos(ωt+用振幅矢量法來求合成

設(shè)x=x1+x2§9-

5

諧振動(dòng)的合成xOA1A2Ax2x1x2xA1

和

A2

間的夾角x=x1+x2討論：1.

相位差

2.

相位差=│A1－A2│合振動(dòng)振幅取值為A(A1+A2)≥≥│A1－A2│二同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成·拍x=x1+x2假定分振動(dòng)的振幅和初相位都相等，分別為

A上式為和§9-

5

諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)不再是簡諧振動(dòng)。振幅為是周期性變化的討論：ω1

和

ω2

都較大，但相差甚微

│ω2－ω1│＜＜ω2+ω1

，隨時(shí)間的變化比隨時(shí)間的變化來要慢得多?？砂押险駝?dòng)看作是振幅為圓頻率為的諧振。振幅緩慢周期性變化，發(fā)生振幅時(shí)大時(shí)小，即振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象，把這種現(xiàn)象叫作

“拍”。拍振幅的周期拍頻拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差拍的圖示三

垂直方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成振動(dòng)位移方程合振動(dòng)的軌跡方程1.

橢圓方程§9-5

諧振動(dòng)的合成

t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移xy·Osxy振幅結(jié)論:合振動(dòng)仍是簡諧振動(dòng)，頻率與分振動(dòng)的頻率相同2.

合振動(dòng)仍是同頻率的簡諧振動(dòng)3.xyO

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)正橢圓,振動(dòng)點(diǎn)是順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的4.

軌跡不變，其運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向若

A1=A2兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡諧振動(dòng)合成后合振動(dòng)在一直線、橢圓或圓上進(jìn)行

x2+y2=A12李薩茹圖形（Lissajous，figures）頻率的比與切點(diǎn)數(shù)的比成反比傅里葉分解(Fourieranalysis)

任何一個(gè)周期性的振動(dòng),都可以分解成頻率等于基頻整數(shù)倍的一些列諧振動(dòng)的和，這就是傅里葉分解矩形周期振動(dòng)的傅里葉分解一阻尼振動(dòng)振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)也就是能量不斷減少的振動(dòng)。阻力

F與速度

v

成正比，方向與速度的方向相反

F

=

－Cv運(yùn)動(dòng)方程為(dampedvibration)§9-6

阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振令由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定與系統(tǒng)本身的性質(zhì)以及介質(zhì)的性質(zhì)都有關(guān)系

固有頻率阻尼因數(shù)x=Ae-δtcos(ωt+周期當(dāng)阻尼系數(shù)較小，即δ2＜ω02

時(shí)受迫振動(dòng)：在外來周期性力的持續(xù)作用下,

振動(dòng)系統(tǒng)所發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫

振動(dòng)。周期性的力稱為強(qiáng)迫力。強(qiáng)迫力令二受迫振動(dòng)(forcedvibration)共振(resonance)F

cosωpt

§9-6

阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振根據(jù)微分方程理論，解為振動(dòng)系統(tǒng)在強(qiáng)迫力作用下，經(jīng)過一段時(shí)間后即達(dá)到穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)。阻尼振動(dòng)簡諧振動(dòng)當(dāng)強(qiáng)迫力的圓頻率

ωp

接近振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率ω0

時(shí)，振幅要急劇增大。當(dāng)ωp=時(shí)，振幅達(dá)到極大值這種在外來周期力作用下達(dá)到極大的現(xiàn)象稱為共振。共振時(shí)的圓頻率稱為共振圓頻率。阻尼因數(shù)δ越小，共振時(shí)的圓頻率越接近于固有圓頻率

，振幅也越大。