第四章特征值與特征向量(研究生矩陣論)

第四章特征值與特征向量4.1特征值與特征向量4.2特征多項式與Hamilton-Caley定理4.3最小多項式4.44特征值的圓盤定理4.1特征值與特征向量哪些矩陣相似的矩陣.相似是矩陣的使得可以對角化，即存在可逆矩陣則由的第是對角矩陣？表示個列向量，等價關系.稱為與用按分塊矩陣的乘法可得是數域于是上的特征向量.如果存在非零向量是的個線性無關的使得陣，【定義4.1.1】設階矩則稱為矩陣的特征根或特征值(eigenvalue),非零向量稱為的屬于特征值相應的多項式可對角化的充稱為的特征多項式(characteristicpolynomial),一般記為有要條件是【定理4.1.1】階矩陣個線性無關的特征向量.【命題4.1.1】的屬于不同特征根的特征向量線性無關.的特征向量.而代數方程能.然而，任何方陣都可以三角化.★注意矩陣的對角化問題和所限定的數域陣可以對角化，但在實數域內則不可以對角化.有有密切聯系.這是因為，在較小的數域內，矩陣【推論4.1.1】如果

階矩陣個不同的特征值，則可能沒有足夠的特征值.例如，在復數域上，矩階矩陣都相似于上三角矩證明：當時，定理自然成立.現假設復階方陣.則都相似于一個上三角矩陣.是數域上任何【定理4.1.2】在復數域

階方陣上，任何陣.設以及相應的特征向量有特征值將擴充成的一組基，設為令則因若令這里由歸納法假設，存在一個使得是上三角矩陣.令方陣則是上三角矩陣.使得【例4.1.2】設間，記為則稱如果存在非零向量是滿足條件【定義4.1.2】設

上的線性空間，是數域是屬于的特征向量.的特征值，此時集合的一個子空構成則當時，是屬于特征值1的特征子空間.而當與個1.的各一組基因此這里有是屬于0的特征子空間.選取則是與的一組基，且有下的矩陣為對角矩陣集合時，在這組基4.2特征多項式與Hamilton-Caley定理階矩陣的所有互異的特征根.是的特征多項式稱為特征值的代數重數，而每個特征值的幾何重數.的解空間的維數線性方程組為特征值稱這里，所對應的線性無關的特征向量的個數等于齊次察3階矩陣的情形.為了進一步了解特征多項式的各項系數，先考其中解：【例4.2.1】求其中一般地，用例4.2.1的辦法可得出下面的普遍結果.階矩陣有【命題4.2.1】對表示A的全部k階主子式之和.重數不超過代數重數.★特別地，階矩陣的特征值的幾何【命題4.2.2】證：設是的幾何重數為的特征值，設是屬于特征值征向量.將向量組的線性無關的特擴充成的一的一組基并令因此，則可逆，且有其中故從而矩陣與有相同的特征多項式.由于因此，重特征值.的相似于對角矩陣階矩陣至少是其每個特征值的代數重數等于幾何重數【定理4.2.1】所有特征值的幾何重數之和等于【命題4.2.3】設的個特征值為是一多項式，則的個特征值為均滿足的任一特征值【例4.2.2】計算行列式則對【推論4.2.1】設是一多項式，若其中因此，解：設值為從而則個特征值為故因此多項式恰好有有個特征值為0,另有一個特征值為的特征另有一個特線性無關，所以【例4.2.3】設為三維列向量，為三階矩陣，由于試計算行列式解：由線性無關，可得到于是的三個特征值為0，-1，4.故所以據此立得：的三個特征值為5，7，-123.故【例4.2.4】設階矩陣列都是齊次線性方程組的每一證明：（1）解：由滿足可逆.（2）的解向量，另一方面,因此,故得（1）.或【定理4.2.2】(Hamilton-Caley)設矩陣則有而故的特征值只能是由證：在復數域上有得（2）得證.的特征值不能是零.從的特征多項式為又相似于上三角矩陣即有可逆矩陣使得從而為設因此因此的特征值因此向量，因此上面的乘積等于0，即有自左向右逐個相乘，每乘一個因子至少增加一列零【例4.2.5】求則有解：其中的特征多項式為【命題4.2.4】(Sylvester)設矩陣，分別是與與則證明：由于相似矩陣有相同的特征多項式，所以據此得★上述命題又稱為特征多項式的降階計算公式.【例4.2.6】設(Householder初等矩由此知，維單位列向量，求是階實鏡像矩陣陣）的特征值及它的跡和行列式.是解：重根，而中的向量保持不動.換言之，將子空間而將其正交補空間上的線性變換：是則中的向量映到它的負向量，是以超平面★注考慮實線性空間重根，因此，的所有階數大于階矩陣，試求其解：由于的特征多項式為為對稱面的反射，故其矩陣稱為實鏡像矩陣.特征多項式.的【例4.2.7】設是秩的子式都等于零，利用命題4.2.1，可得4.3最小多項式【定義4.3.1】設多項式.如果是由Hamilton-Caley定理，任何矩陣的特征多項稱其中唯一的首一多項式為則稱的零存在的.并且存在無窮多個次數最低的零化多項式，式是該矩陣的零化多項式，因此零化多項式總是是是非零階方陣，化多項式.的最小多項式.【命題4.3.1】設是的零化多項式，則是整除的最小多項式，階矩陣的最小多項式.【例4.3.1】求下列解：直接計算可知但的最小多項式為因此的特征多項式.恰好是【例4.3.2】試求下列分塊矩陣的最小多項式：★最小多項式為解：【例4.3.3】試求下列分塊矩陣的最小多項式：的最小多項式為與的最小公倍式的最小多項式為的最小多項式.就是★分塊對角矩陣的最小多項式等于各個子塊的最最小多項式的最小公倍式.是上任意方陣，的最小多是域的特征值則【命題4.3.2】設式是的零點.證明：充分性是顯然的，因為的特征是多項式的因式.必要性：設是的特征值，是相應的特征向量，由于故只有的最小多項式也是的特征多項式為【命題4.3.5】求下列矩陣的最小多項式：解：故的最小多項式是的最小多項式是整除的零化多項同理，證明：設矩陣【命題4.3.3】相似矩陣具有相同的最小多項式.式，于是與相似，即存在可逆矩陣使得設與是的最小多項與則也整除式分別為即故由于它們都是首一多項式，所以的所有的不同的特征值.證明：【定理4.3.1】故階矩陣與的最小多項式沒有重根.是與對角矩陣相似具有相同的最小多項式.而多項式其中設顯然零化沒有重根.的最小多項式沒有重根.這只要證明因為的幾何重數為只需證明則需要證明設事實上，令記就有都為與階方陣，則反復利用不等式：設即這就證得則【推論4.3.1】設階矩陣，根，所以可對角化.對合矩陣因式的多項式.若證：冪等矩陣可對角化.的零化多項式為也沒有重根，因此也可對角化.沒有重是沒有【例4.3.6】冪等矩陣與對合矩陣均可以對角化.的零化多項式4.4特征值的圓盤定理設在復平面上，稱集合是一般地，稱的所有圓盤的并形成的區(qū)域個圓盤.為矩陣為階復方陣，記的第的關于行的蓋爾圓盤.盤之內.的每個特征值都落在是證明：設【命題4.4.1】（Gerschgorin圓盤定理）的某個圓設是階復方陣，則它的特征值至少是它的特征向量.則即滿足下列不等式之一：換句話說，的特征值，令將第則兩邊取模得個方程改寫成所以即特征值落在第個圓盤.【例4.4.3】設階矩陣證明：使得的特征值，則存在那么證明：設滿足對角占優(yōu)矩陣是【例4.4.2】求表明【命題4.4.4】在圓盤組成的連通部分任取一個，如個特征值.且只含有個圓盤組成，則該連通部分必含有果它是由的所有特征值都不是零，故的圓盤，其中它們構成3個連通部分（如下圖所示）：解：由第2個圓盤組成，含且僅含一個特征值.第二部分：由第1第一部分：由第4個圓盤組成,含且僅含一個特征值；圓盤的并集組成，含且僅含兩個特征值；第三部分的圓盤有四個:（1）個圓盤與第3個（3）（2）（4）【例4.4.5】求解：由圓盤定理可知【推論4.4.1】若的每個特征值均為實數.其余圓盤相離，則的每個圓盤都與階實矩陣的所有特征值都落在下列的圓盤，其中圓盤中：;則第一個連通部分為第二個連通部分為其中這樣有兩個特征值不能分離.但若作相似變換，;的圓盤為：由于與的每個圓盤中都有一個特征值，它們都是實數.相似，從而有相同的特征值，故;;分別落在上述三個圓盤中，且它們都是特征值.的特征值全部位于以從幾何上看，矩陣【定義4.4.1】設體稱為矩陣稱是階矩陣，它的特征值全的譜半徑.記為的譜，記為為原點為圓心，譜半徑為半徑的圓盤內.【命題4.4.2】設是階復矩陣.令則習題4選解2.設是為簡單.的線性變換，設它的特征多項式試求的一組基，使得解：令在該基下的矩陣較下的矩陣具有簡單形式：

屬于的線性無關的特征向量為：則屬于特征值為在基的特征向量為試求的一組基，使得線性空間為在該基下的矩陣3.已知的線性變換較為簡單.解：是的一組基.令則所對應的線性無關的特征向量為的特征值為：所對應的線性無關的特征向量為在基下的矩陣具有簡單形式：解：問的特征值為的跡，行列式以及是否為對稱矩陣？求4.設對應的特征向量為并且有是對稱陣.化的矩陣：6.求下列矩陣的零化多項式并指出其中可以對角無重根，該矩陣可以對角化.該矩陣的特征多項式解：該矩陣的特征多項式無重根，故可對角化.該矩陣特征值的特征多項式為故小于其代數重數該矩陣不能對角化.的幾何重數是2，因此該矩陣可以對角化.該矩陣的特征多項式所以特征根的幾何重數為特征值