第四章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

1靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第四章第三節(jié)靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移

第一節(jié)結(jié)構(gòu)位移和虛功原理第二節(jié)變形體系虛功原理和單位荷載法第五節(jié)互等定理第四節(jié)圖乘法2第一節(jié)結(jié)構(gòu)位移和虛功原理一、靜定結(jié)構(gòu)的位移

靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動(dòng)以及制造誤差等因素作用下，結(jié)構(gòu)的某個(gè)截面通常會(huì)產(chǎn)生水平線(xiàn)位移、豎向線(xiàn)位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷載作用剛架受荷載作用ABCABC3qABABb)c)A、B截面相對(duì)豎向位移A、B截面相對(duì)水平位移2.相對(duì)位移4e)d)AlB

為AB桿轉(zhuǎn)角A

為A左、右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角5次梁跨中撓度主梁跨中撓度樓蓋跨中撓度吊車(chē)梁跨中撓度二、位移計(jì)算的目的1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度62）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計(jì)算準(zhǔn)備條件

求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解，還要補(bǔ)充位移條件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB

如右圖示超靜定單跨梁，若只滿(mǎn)足平衡條件，內(nèi)力可以由無(wú)窮多組解答，例如可以取任意值。7三、實(shí)功和虛功：1.實(shí)功

力在由該力引起的位移上所作的功稱(chēng)為實(shí)功。即

右圖中，外力是從零開(kāi)始線(xiàn)性增大至，位移也從零線(xiàn)性增大至。也稱(chēng)為靜力實(shí)功。

FP1Δ182.虛功

力FP在由非該力引起的位移Δ上所作的功叫作虛功。右圖簡(jiǎn)支梁，先加上，則兩截面1、2之位移分別為、。然后加，則1、2截面產(chǎn)生新的位移。FP1FP2129實(shí)功：虛功：虛功強(qiáng)調(diào)作功的力與位移無(wú)關(guān)。FP1FP21210第二節(jié)變形體系的虛功原理和單位荷載法一、變形體系的虛功原理

定義：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應(yīng)力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi

，即W=Wi

。11下面討論W及Wi的具體表達(dá)式。條件：1）存在兩種狀態(tài)：第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第二狀態(tài)為給定位移及變形。以上兩種狀態(tài)彼此無(wú)關(guān)。

2）力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。

3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性

結(jié)構(gòu)。12第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）13外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：整根桿件的內(nèi)虛功為：14根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對(duì)全部桿件求總和得：15小結(jié)：只要求兩個(gè)條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。上述虛功原理適用于各類(lèi)結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。

考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)16

變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設(shè)平衡力系求位移;虛位移原理：虛設(shè)位移求未知力。用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問(wèn)題。所以

在變形體虛功方程中，若外力只是一個(gè)單位荷載，則虛功方程為：二、單位荷載法17

下面以圖示剛架為例對(duì)位移計(jì)算的一般公式加以具體說(shuō)明。給定位移、變形虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BC1.

欲求，則在C截面加上豎向單位載荷，則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。ABC182.位移計(jì)算一般公式外力虛功內(nèi)虛功所求位移——給定的位移和變形。力和位移無(wú)關(guān)。3.小結(jié)1）

——單位載荷在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力，、、、19，則與同向；若求得的，3）外力虛功這一項(xiàng)前取正號(hào)。若求得的則與反向。2）正負(fù)號(hào)規(guī)則：若及使桿件同側(cè)纖維伸長(zhǎng)，則乘積為正，反之為負(fù)；乘積及的正負(fù)號(hào)分別由力與應(yīng)變的正負(fù)號(hào)確定。使隔離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)，以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎粗疄樨?fù)；以拉力為正，壓力為負(fù)，

以拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)；若與同向，則乘積為正，反之為負(fù)。204）根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設(shè)相應(yīng)的單位載荷。圖示單位荷載分別求位移。ABC5）求位移步驟如下：①沿?cái)M求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷；②求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；③利用位移計(jì)算一般公式求位移。21第三節(jié)靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移一、基本公式虛設(shè)平衡力系CABDFP=1給定位移、變形

求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。FPCABqDκ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP

)D22

若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計(jì)算一般公式為：

上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線(xiàn)性彈性體。

在荷載作用下，應(yīng)變與內(nèi)力

的關(guān)系式如下：（式中k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)）23正負(fù)號(hào)規(guī)則：1）不規(guī)定和的正負(fù)號(hào)，只規(guī)定乘積的正負(fù)號(hào)。若和使桿件同一側(cè)纖維受拉伸長(zhǎng)，則乘積為正，反之為負(fù)；正MP正MP負(fù)MP24

若結(jié)構(gòu)除荷載外，還有支座移動(dòng)和溫度變化，則位移計(jì)算公式為：2）和以拉力為正，壓力為負(fù)；3）和的正負(fù)號(hào)見(jiàn)下圖。25二、各類(lèi)結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1.梁和剛架

在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計(jì)算公式為：

在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對(duì)位移的影響不容忽略。

對(duì)于深梁，即h/l較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。262.桁架

桁架各桿只有軸力，所以位移計(jì)算公式為：4.拱拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3.組合結(jié)構(gòu)用于彎曲桿用于二力桿27例6-3-1

求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)豎向位移，并討論剪切變形對(duì)位移的影響。qxAMPFQPql/2xA0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/228解：29

若桿截面為矩形，則k=1.2；又μ=1/3，則E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，則

h/l=1/2，則可見(jiàn)，剪切變形的影響不能忽略。例6-3-2圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移△BV，水平位移△BU,和位移△B

。

解:(1)作出荷載作用下的彎矩圖，寫(xiě)出各桿的彎矩方程。橫梁BC

豎柱CA(2)求B點(diǎn)的豎向位移△BV

寫(xiě)出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫(huà)出彎矩圖橫梁BC豎柱CA(3)求B點(diǎn)的水平位移△BU

在B點(diǎn)加單位水平力。畫(huà)出彎矩圖并寫(xiě)出各桿的彎矩方程橫梁BC

豎柱CA注意：負(fù)號(hào)表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。（4）求B點(diǎn)的線(xiàn)位移ΔB33第四節(jié)圖乘法

圖乘法是一種求積分的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，它把求積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標(biāo)的乘積的運(yùn)算。一、圖乘法基本公式為方便討論起見(jiàn)，把積分改寫(xiě)成。34Mi圖yxMk圖dω=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=ax+bxx0ABy035說(shuō)明：1）條件：AB桿為常截面直桿，即EI等于常數(shù)；Mi與Mk圖形中有一個(gè)是直線(xiàn)圖形。2）y0與ω的取值：y0一定取自直線(xiàn)圖形，ω則取自另一個(gè)圖形，且取ω的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0與ω在桿軸或基線(xiàn)的同一側(cè)，則乘積y0ω取正號(hào)；若y0與ω不在桿軸或基線(xiàn)的同一側(cè)，則乘積y0ω取負(fù)號(hào)。4）取ω的圖形在AB上不變號(hào)。36二、常見(jiàn)圖形的幾何性質(zhì)l/2l/2二次拋物線(xiàn)hωl二次拋物線(xiàn)hω二次拋物線(xiàn)3l/4l/4hω5l/83l/8二次拋物線(xiàn)hω37三、圖乘法舉例

運(yùn)用圖乘法進(jìn)行計(jì)算時(shí),關(guān)鍵是對(duì)彎矩圖進(jìn)行分段和分塊,尤其是正確的進(jìn)行分塊。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/338

分段——

圖均應(yīng)分為對(duì)應(yīng)的若干段，然后進(jìn)行計(jì)算。ABCDABCDMP39分塊——只對(duì)或中的一個(gè)圖形進(jìn)行分塊，另一個(gè)圖形不分塊。ABABMP1MP240例6-4-1

求。解：作圖圖，如上圖所示。分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的CB段分為兩塊。MPACBEI1EI2ω1ω2ω31FPCBy1y2y3EI1EI2A41

此題還可以這樣處理：先認(rèn)為整個(gè)AB桿的剛度是，再加上剛度為的AC段，再減去剛度為的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1142數(shù)學(xué)解釋43例6-4-2

求,EI等于常數(shù)。解：作圖圖，如右圖所示。分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的AC段分為兩塊。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y144

如果將AC段的圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。16A4C84圖例5-5-3

求,EI等于常數(shù)。作圖圖，如下頁(yè)圖所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC451/21y1ω2y381244MP圖ω1ω3y2圖1ACBBAC（kN.m)46例6-4-3

求,EI等于常數(shù)。解：

作圖及圖，如右所示。分段：，分為AB、BC兩段。分塊：圖的BC段分為兩塊。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1圖圖14126ω1ω3（kN.m)471/61/62/31/31ω2y3y1圖圖14126ω1ω3（kN.m)48例6-4-4

求ΔCH，EI等于常數(shù)。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP圖和圖見(jiàn)下頁(yè)圖。分塊：MP圖的AB段分為兩塊。494ω2y3=412ω1MP圖(kN.m)2m2y22y1圖1ω3ABC450第五節(jié)

互等定理一、功的互等定理狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I定理在任一線(xiàn)性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。即51令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I52

同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即53二、位移互等定理定理在任一線(xiàn)性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ12。即δ12=δ21狀態(tài)II12狀態(tài)I1254由功的互等定理可得：

在線(xiàn)性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個(gè)常數(shù)，記作δij，即：或于是所以狀態(tài)II12狀態(tài)I12551212說(shuō)明：1）

δij也稱(chēng)為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。

i產(chǎn)生位移的方位；j

產(chǎn)生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應(yīng)的δ12和δ21就是線(xiàn)位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個(gè)廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。56例6-5-1

驗(yàn)證位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/257所以例6-5-2

驗(yàn)證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ1258解：所以15311159三、反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11狀態(tài)I12C2FR22FR12狀態(tài)II根據(jù)功的互等定理有：60

在線(xiàn)性變形體系中，反力F