初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第2章軸對(duì)稱圖形“黃岡杯”一等獎(jiǎng)

《第2章軸對(duì)稱圖形》一、選擇題1．下列圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是（）A．三邊高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條垂直平分線的交點(diǎn) D．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)3．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠A=78°，∠C′=48°，則∠B的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．74° D．78°4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）5．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠D=°．6．如圖，△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過O作DE∥BC，若BD+EC=5cm，則DE等于cm．7．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是．8．點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=10，則PB=．9．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD=10，AC=8．則點(diǎn)D到AB邊的距離為．10．如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長為cm．三、解答題11．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．證明：BD垂直平分AE．12．已知：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．求證：EF⊥BD．13．（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系？14．有一條道路和兩個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)．（1）把這條道路看成一條直線，兩個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)分別看成點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B與直線有多少種不同的位置關(guān)系？畫出可能位置的圖形．（2）現(xiàn)要在道路旁建一座冷藏庫，冷藏庫應(yīng)建在何處，可使兩個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)到該冷藏庫的距離和最短？

《第2章軸對(duì)稱圖形》參考答案與試題解析一、選擇題1．下列圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念知B、C、D都不是軸對(duì)稱圖形，只有A是軸對(duì)稱圖形．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的判斷方法：把某個(gè)圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個(gè)是軸對(duì)稱圖形．2．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是（）A．三邊高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條垂直平分線的交點(diǎn) D．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意得出到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，畫出圖形后根據(jù)線段垂直平分線定理得出PA=PC，PC=PB，推出PA=PC=PB即可．【解答】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，理由是：∵P在AB的垂直平分線EF上，∴PA=PB，∵P在AC的垂直平分線MN上，∴PA=PC，∴PA=PC=PB，即P是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線定理，注意：線段垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，而三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．3．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠A=78°，∠C′=48°，則∠B的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．74° D．78°【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由對(duì)稱得到∠C=∠C′=48°，由三角形內(nèi)角和定理得∠B=54°，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知∠B=∠B′=54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴∠B=∠B′=54°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；把已知條件轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中利用內(nèi)角和求解是正確解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折疊前后圖形的形狀和大小不變，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，從而求出∠A′DB的度數(shù)．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的折疊變化及三角形的外角性質(zhì)．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．解答此題的關(guān)鍵是要明白圖形折疊后與折疊前所對(duì)應(yīng)的角相等．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）5．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠D=35°．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的定義．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求得∠D的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥BC，∠A=110°，∴∠ABC=180﹣∠A=70°；又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°；∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC=35°．故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．6．如圖，△ABC中，∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過O作DE∥BC，若BD+EC=5cm，則DE等于5c【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，可得出∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，再由DE∥BC，得出∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，從而得出∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，則OD=BD，OE=CE，從而得出DE=BD+EC．【解答】解：∵∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴OD=BD，OE=CE，∴DE=OD+OE=BD+EC，∵BD+EC=5cm，∴DE=5cm．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．7．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是10．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形性質(zhì)的得出B、D關(guān)于AC對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時(shí)PB+PE的值最?。咚倪呅蜛BCD是正方形，∴B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，解此題通常是利用兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)得出．8．點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，PA=10，則PB=10．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出PA=PB，即可求出答案．【解答】解：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB，∵PA=10，∴PB=10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．9．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD=10，AC=8．則點(diǎn)D到AB邊的距離為6．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=CD，即可得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AD=10，AC=8，由勾股定理得：CD==6，過D作DE⊥AB于E，∵，DE⊥AB，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．10．如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長為6c【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得DC=DB，繼而可確定△ABD的周長．【解答】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周長=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，注意掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．三、解答題11．（2023秋?海陵區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．證明：BD垂直平分AE．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】根據(jù)已知和角平分線性質(zhì)求出AD=DE，∠ABD=∠EBD，∠BAD=∠BED=90°，證△BAD≌△BED，推出AB=BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴AD=DE，∠ABD=∠EBD，∠BAD=∠BED=90°，在△BAD和△BED中∴△BAD≌△BED（AAS），∴AB=BE，∵BD平分∠ABE，∴BD垂直平分AE，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AB=BE．12．（2023秋?無錫校級(jí)期末）已知：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．求證：EF⊥BD．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】連接BE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=DE=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明．【解答】證明：如圖，連接BE、DE，∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中點(diǎn)，∴BE=DE=AC，∵F是BD的中點(diǎn)，∴EF⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋?南通期末）（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=BA，點(diǎn)E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數(shù)；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系？【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因?yàn)锽D=BA，可求∠BAD=∠BDA=°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=°﹣°=45度；（2）先設(shè)∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°﹣2x，又因?yàn)锽D=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（90°+x）﹣（x+45°）=45度；（3）可設(shè)∠CAE=x，∠BAD=y，則∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，即∠DAE=∠BAC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠E=∠ACB=°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=°﹣°=45度；（2）不改變．設(shè)∠CAE=x，∵CA=CE，∴∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B=90°﹣∠ACB=90°﹣2x，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=x+45°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E，=180°﹣（90°﹣2x）﹣x=90°+x，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD，=（90°+x）﹣（x+45°）=45°；（3）∠DAE=∠BAC．理由：設(shè)∠CAE=x，∠BAD=y