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第3章空間任意力系1工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系,即空間力系,空間力系是最一般的力系。
(a)圖為空間匯交力系;(b)圖為空間任意力系;
(b)圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。迎面風(fēng)力側(cè)面風(fēng)力b§3-1.空間任意力系的實(shí)例2一、定義為了度量力使物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng),引用力對(duì)軸的矩。圖示門,求力對(duì)z(矩軸)的矩。z將力分解:§3-2
力對(duì)軸的矩AOd∥z軸⊥z
軸Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyd
=2OA’B’面積
于是:3即力
與軸共面時(shí),力對(duì)軸之矩為零。結(jié)論:力對(duì)軸的矩等于該力在垂直于此軸的平面上的分力對(duì)此軸與這個(gè)平面交點(diǎn)的矩。(1)力對(duì)軸的矩是代數(shù)量。正負(fù)號(hào)規(guī)定:右手螺旋法則。(2)若力與軸空間垂直,則無須分解。(3)若//z
軸與z軸相交(4)力沿作用線移動(dòng),力對(duì)軸的矩不變。說明:4zabFxydMo(F)PoBAF|Mo(F)|=2OAB面積Mz(F)=
Fxyd
=2oab面積
二、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系oab面積=OAB面積cos2oab面積=2OAB面積Mz(F)=|Mo(F)|cos
Mz(F)=Moz(F)cos力對(duì)任一點(diǎn)的力矩矢在對(duì)過此點(diǎn)的任一軸上的投影,等于此力對(duì)該軸的矩.5沿坐標(biāo)軸的正向引入單位矢量i,j,kMo(F)=iMox(F)+jMoy(F)+kMoz(F)=iMx(F)+jMy(F)+k
Mz(F)則:yMo(F)PoBAFxz6Mx(F)=Mx(Fi)My(F)=My(Fi)Mz(F)=Mz(Fi)合力矩定理:力對(duì)任一軸的矩等于各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。7力對(duì)軸的矩的計(jì)算方法:(1)定義法;(2)合力矩定理。[例3-1]已知P=20N,求P
對(duì)z軸的矩。解:方法一:定義法8例題3-2.設(shè)曲桿OABD位于同一平面內(nèi),且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如圖所示.在曲桿D點(diǎn)上作用一力P,其大小為p=2kN.力P位于垂直于BD的平面內(nèi),且于豎直線成夾角=30o.求力P分別對(duì)圖示直角坐標(biāo)軸的矩.xzyoABD3cm4cm5cmP9PxzyoABD3cm4cm5cm解:根據(jù)力對(duì)軸的矩的定義計(jì)算M1oPyzd1作和x軸垂直的平面M1.找出交點(diǎn)O.確定力P在平面M1內(nèi)的分力Pyz=1.732kN.在平面M1內(nèi)確定力Pyz到矩心O的距離即力臂d1=8cm計(jì)算力Pyz對(duì)點(diǎn)A的矩亦即力P對(duì)x軸的矩Mx(P)=Mo(Pyz)=-Pyz
d1=-13.86kN·cm
10作和y軸垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm確定力P在平面M2內(nèi)的分力Pxz=P=2kN.在平面M2內(nèi)確定力Pxz到矩心O的距離即力臂d2=3.464cm計(jì)算力Pxz對(duì)點(diǎn)O的矩亦即力P對(duì)y軸的矩My(P)=Mo(Pxz)=-Pxz
d2=-6.928kN·cm
M2Pd2亦可用合力矩定理計(jì)算:My(P)=Mo(Pz)=-Pz
d=-6.928kN·cm
找出交點(diǎn)O.o11PxzyoABD3cm4cm5cm作和z軸垂直的平面M3.o找出交點(diǎn)O.確定力P在平面M3內(nèi)的分力Pxy=1kN.在平面M3內(nèi)確定力P到矩心O的距離即力臂d3=8cm計(jì)算力Pxy對(duì)點(diǎn)O的矩亦即力P對(duì)z軸的矩Mz(P)=Mo(Pxy)=-Pxy
d2=-8kN·cm
PxyM3d212例題3-3.力F作用在邊長為a的立方體上如圖所示.求力F對(duì)各軸之矩.oABCB'C'A'O'F13解:oABCB'C'A'O'F力F的作用線與AO,A'O′,BC平行.與B'C'重合.MAO(F)=MA'O'(F)=MBC(F)=MB'C'(F)=014力F的作用線與A'B',oABCB'C'A'O'FC'O',BB'和CC'相交.MA'B'(F)=MC'O'(F)=MBB'(F)=MCC'(F)=015求力F對(duì)AA'
、OO'
、A′A
和O′O軸之矩.MAA'(F)=MOO'(F)=aFMA'A(F)=MO'O(F)=-aFoABCB'C'A'O'F16求力F對(duì)AB、OC、BA和CO軸之矩.MAB(F)=-aFMBA(F)=aFoACC'A'O'B'FBMOC(F)=-aFMCO(F)=aF17§3-4.空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化(1)主矢與主矩力線平移定理:作用于剛體上的一力F,可以平行移動(dòng)到剛體上的任一點(diǎn)O.但必須同時(shí)在此力線與O所決定的平面內(nèi)附加一力偶,此附加力偶矢的大小和方向等于力F對(duì)O點(diǎn)的矩矢的大小和方向.設(shè)一剛體受空間任意力系F1,F2…Fn作用,各力作用點(diǎn)分別為A1,A2…An
.18在剛體內(nèi)任取一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心,應(yīng)用力線平移定理,依次將各力平移到點(diǎn)O即得到一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心O的空間匯交力系
F'1
,
F'2
…F'n和一個(gè)由力偶矩矢分別為M1,M2…Mn的附加力偶所組成的空間力偶系.A1A2AnF1F2FnOxyzM1M2MnF'1F'2F'nOxyz19其中:F'1=F1,F'2=F2,…,F'n=FnM1
=
Mo(F1),M2
=
Mo(F2),…,
Mn
=
Mo(Fn)
空間匯交力系F1,F2…Fn可合成為作用在O點(diǎn)的一個(gè)力矢量FR',稱為原力系的主矢.FR'=F'i=Fi由力偶矩矢分別為M1,M2…Mn
的附加力偶所組成的空間力偶系可合成為一個(gè)力偶,其力偶矩矢Mo稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩.Mo=Mi=mo(Fi)20
結(jié)論:空間任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化,一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶.這個(gè)力作用在簡(jiǎn)化中心,它的矢量稱為原力系的主矢,并等于這力系中各力的矢量和;這個(gè)力偶的力偶矩矢等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的矢量和,并稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩.主矢FR'只取決于原力系中各力的大小和方向,與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān);而主矩Mo
的大小和方向都與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān).21(2)主矢與主矩的解析表達(dá)式FR'=iFR'x+jFR'y+kFR'zFR'x=FixFR'y=FiyFR'z=FizMo
=i
Mox+j
Moy+k
Moz=iMox(Fi)+j
Moy(Fi)+k
Moz(Fi)§3-5.空間任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的幾種情形(1)FR'=0,Mo=0原力系平衡.(2)FR'
0,Mo=0原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為作用于簡(jiǎn)化中心的一個(gè)力FR',即原力系的合力FR.=iMx(Fi)+j
My(Fi)+k
Mz(Fi)22(3)FR=0,Mo
0原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)力偶,其力偶矩矢為Mo.此時(shí)主矩Mo與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān).(4)FR'
0,Mo
0這是簡(jiǎn)化結(jié)果的最一般情形.(a)FR'
Mo=0原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為作用于O'點(diǎn)的一個(gè)合力FR
=
FR'.且OO'=Mo/FR'(c)FR'Mo
0原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為由一個(gè)力和一個(gè)力偶所組成的力系即力螺旋.FR'
Mo
0為右螺旋.FR'
Mo
0為左螺旋.(b)FR'平行
Mo
時(shí),簡(jiǎn)化結(jié)果是力螺旋。23空間力系的合力矩定理:空間力系如能合成一個(gè)合力,則其合力對(duì)任一點(diǎn)之矩,等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和.Mo(FR)=Mo(Fi)Mx(FR)=Mx(Fi)My(FR)=My(Fi)Mz(FR)=Mz(Fi)FR'MoO(
FR'Mo
0
)FR'MoO(
FR'Mo
0
)合力對(duì)任一軸的矩等于各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。24例題3-3.邊長1m的正方體的AB邊上作用一力F=10kN,在面A'B'C'O'上作用一力偶矩m=5kN.m的力偶.如圖所示.求最后的簡(jiǎn)化結(jié)果.解:取O為簡(jiǎn)化中心并建立坐標(biāo).oABCB'C'A'O'Fmxyz25計(jì)算主矢和主矩Mo
=Mo(F)+m=-5kFR'
Mo
=(-10j)(-5k)=0FoABCB'C'A'O'xyzO'FR=
F=-10jFR'=F=-10j確定最后簡(jiǎn)化結(jié)果26例題3-4.邊長為2m的正方體兩側(cè)面AOO‘A’和BCC‘B’
上分別作用大小均等于10kN的力F和F‘.如圖所示.求最后的簡(jiǎn)化結(jié)果.oABCB'C'A'O'FF'xy
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