第0章 矢量分析

第0章矢量分析（附錄一）本章主要內(nèi)容框架標量場方向?qū)?shù)梯度矢量場通量散度環(huán)量旋度等值面矢量線無源場無旋場亥姆霍茲定理

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1

正交坐標系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。1.直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx2.圓柱坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系（半平面）（圓柱面）（平面）3.球坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系（半平面）（圓錐面）（球面）4.坐標單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓

柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系qq1.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

矢量的幾何表示2

標量場和矢量場矢量用坐標分量表示zxy（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則（5）矢量的混合運算——分配律——

分配律——

標量三重積——

矢量三重積如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

分布著某種物理量的空間區(qū)域稱為物理量的場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：3.標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：本章主要內(nèi)容框架標量場方向?qū)?shù)梯度矢量場通量散度環(huán)量旋度等值面矢量線無源場無旋場亥姆霍茲定理1.標量場的等值面

等值面:

標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。例如：電位場中等位面，溫度場中的等溫面

等值面的特點：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。等高線等值線:

在平行平面標量場中，函數(shù)具有相同函數(shù)值的點所組成的曲線。等值線方程：課堂提問：常見的等值線有哪些？地面氣象圖的等溫線地形圖中的等高線右圖中的等高線密集處表示什么意思？有什么意義？2.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。

——方向?qū)?shù)沿方向增加；

——方向?qū)?shù)沿方向減??；

——方向?qū)?shù)沿方向無變化。

P0P方向?qū)?shù)的概念

特點：方向?qū)?shù)既與點P0有關(guān)，也與方向有關(guān)。概念：

——的方向余弦。

式中：

方向的單位矢量問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？當兩者方向一致，方向?qū)?shù)最大當兩者方向垂直，方向?qū)?shù)為零當兩者方向相反，方向?qū)?shù)最小梯度的表達式：圓柱坐標系

球坐標系直角坐標系

3.梯度意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念：定義矢量函數(shù)為標量場的梯度，記作

引入哈密頓算子，故標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）

作業(yè)1

設一標量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結(jié)論。本章主要內(nèi)容框架標量場方向?qū)?shù)梯度矢量場通量散度環(huán)量旋度等值面矢量線無源場無旋場亥姆霍茲定理如何推出？意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線O

1.矢量線直角坐標系中：線元例如：靜電場中電力線，流速場中的流線閉合曲面的面元開曲面的上的面元2.矢量場的通量

面元矢量：面積很小的有向曲面面積元矢量描述矢量場的分布情況

確定繞行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋—拇指方向閉合曲面的外法線方向面積元的法向單位矢量通量的概念

在矢量場中，取一曲面S，那么矢量場A在S上的面積分為以流速場為例,說明通量的意義：流出多于流入，S內(nèi)有生成流體的“源”流出小于流入，S內(nèi)有吸收流體的“洞”流出等于流入，S內(nèi)無源或者正源等于負源矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等3.矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任一點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。矢量場在任一點附近的通量特性圓柱坐標系球坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關(guān)公式：散度定理（又稱高斯定理，奧氏公式）體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應用。如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)量恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。環(huán)量的概念矢量場對于閉合曲線L

的環(huán)量定義為該矢量對閉合曲線L的線積分，即如果矢量場對于任意閉合曲線的環(huán)量均不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。4.矢量場的環(huán)量

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。

磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線環(huán)量面密度稱為矢量場在點M處沿方向

的環(huán)量面密度。特點：其值與點M處的面元方向

有關(guān)。過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限矢量場在任一點附近的環(huán)量狀態(tài)思考：矢量場的方向與面元矢量方向呈不同關(guān)系時，環(huán)量面密度的大小也不一樣。何時達到最大值呢？

矢量場的環(huán)量給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

5.矢量場的旋度

概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)量密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面元矢量的方向，即物理意義：旋渦源密度矢量性質(zhì)：

任一方向的環(huán)量面密度等于該點的的旋度在面元矢量方向的投影旋度的計算公式:直角坐標系圓柱坐標系球坐標系旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零斯托克斯定理此定理在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)量等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即矢量場就好像海平面散度就是海底的泉眼，形容矢量場向外發(fā)散程度，這種程度用一個數(shù)值就可以描述，故它是個標量旋度就是海底的漩渦，形容矢量場偏離程度的，這種程度得用大小和偏離角度（方向偏離程度）來描述，故它是個矢量4.散度和旋度的區(qū)別

提問：下面各圖中的矢量的散度和旋度分別滿足什么條件？作業(yè)證明：式中：無源場定義：設有矢量場，場域中每一點處恒有性質(zhì)1：在無源場中穿過場域V中任一個矢量管的所有截面的通量都相等。性質(zhì)2：無源場存在著矢勢例如，恒定磁場提問：如何證明性質(zhì)1？旋度場一定是無源場無旋場定義：設有矢量場，場域中每一點處恒有性質(zhì)1：在無旋場中，性質(zhì)2：無旋場可以表