第1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)虛數(shù)單位

是兩個(gè)實(shí)數(shù)

稱(chēng)為復(fù)數(shù)

為的實(shí)部

為的虛部

的共軛復(fù)數(shù)

時(shí)

為實(shí)數(shù)

時(shí)

為純虛數(shù)

1.復(fù)數(shù)的定義

1例如2.復(fù)數(shù)的幾何表示任何一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)點(diǎn)軸上的點(diǎn)軸稱(chēng)為實(shí)軸軸上的點(diǎn)軸稱(chēng)為虛軸整個(gè)平面或z平面O任何一個(gè)復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)一個(gè)向量可以用向量來(lái)表示向量的長(zhǎng)度

稱(chēng)為z的?；蚪^對(duì)值記為時(shí),以正實(shí)軸為始邊

向量為終邊

的角的弧度數(shù)稱(chēng)為z的輻角記為任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)輻角把滿(mǎn)足的稱(chēng)為輻角的主值記為為整數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)一個(gè)純虛數(shù),稱(chēng)為復(fù)平面23.輻角主值的算法零沒(méi)有輻角,O時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)3歐拉公式為實(shí)數(shù)為整數(shù)44.復(fù)數(shù)的三角指數(shù)表示設(shè)復(fù)數(shù)O模輻角主值稱(chēng)為復(fù)數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)例1設(shè)求解的三角式和指數(shù)式的三角表示式的指數(shù)表示式三角式為指數(shù)式為5例1.復(fù)數(shù)的三角式求下列指數(shù)式65.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面球面S與復(fù)平面切于原點(diǎn)O,ON為球面的直徑,南極北極復(fù)平面對(duì)于復(fù)平面內(nèi)任何一點(diǎn)z,直線段Nz必相交于球面一點(diǎn)P對(duì)于球面上異于N的一點(diǎn)P，直線NP必相交于復(fù)平面一點(diǎn)z任何一個(gè)復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)表示因此復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z一一對(duì)應(yīng)球面上也可以用球面上若則我們規(guī)定模為的復(fù)數(shù)∞對(duì)應(yīng)著復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞對(duì)應(yīng)著球面上的點(diǎn)N用球面上的點(diǎn)N表示復(fù)數(shù)∞含有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞的平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面不含有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞的平面稱(chēng)為有限復(fù)平面,簡(jiǎn)稱(chēng)為復(fù)平面不同于N的點(diǎn)P不同于N的點(diǎn)P表示76.復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)(1)相等若兩個(gè)復(fù)數(shù)分別相等則稱(chēng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等且(2)加法(3)減法的實(shí)部和虛部注意：兩個(gè)復(fù)數(shù)沒(méi)有大小之分或且8(4)乘法設(shè)容易證明例如9乘法的幾何意義設(shè)任何兩個(gè)復(fù)數(shù)等于它們模任何兩個(gè)復(fù)數(shù)等于它們輻角的和特別設(shè)則則復(fù)數(shù)z得到復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)特別乘積的模的乘積乘積的輻角10課本第4頁(yè)例1.3已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為求其第三個(gè)頂點(diǎn)解或第三個(gè)頂點(diǎn)為或11(5)除法設(shè)例1設(shè)則12除法的幾何意義設(shè)任何兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商任何兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角等于它們輻角的差13課本第6頁(yè)例1.6

設(shè)求的三角式指數(shù)式解三角式指數(shù)式146.乘方設(shè)為正整數(shù)則特別即DeMoivre公式15例1

求解例2

求解167.開(kāi)方設(shè)的n次方根則其中時(shí)的n次方根共有n個(gè)不同的值5頁(yè)例1.417補(bǔ)充例

若試求n的值解同樣由條件得到其中k為整數(shù)18例1.5設(shè)n為自然數(shù)，課本第6頁(yè)證明證根據(jù)所以DeMoi