彈性力學(xué)簡明教程第八章

彈性力學(xué)簡明教程第八章第一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。按位移求解2.將應(yīng)變用位移來表示，可以引用幾何方程。將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示：在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即§8－1按位移求解空間問題第二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日其中體積應(yīng)變按位移求解3.將式(a)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程：第三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日其中拉普拉斯算子V內(nèi)基本方程第四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日4.將式代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：邊界條件位移邊界條件仍為:第五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（2）上的應(yīng)力邊界條件(c),（3）上的位移邊界條件(d)。

歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移u,v,w

必須滿足：

按位移求解這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內(nèi)的平衡微分方程(b),第六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日優(yōu)點在空間問題中，按位移求解方法尤為要：3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。2.未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。1.能適用于各種邊界條件。第七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日按位移求解空間軸對稱問題在柱坐標(biāo)中，可以相似地導(dǎo)出：位移

應(yīng)滿足：

軸對稱問題（1）V內(nèi)的平衡微分方程，第八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日軸對稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變軸對稱問題（2）上的應(yīng)力邊界條件。

（3）上的位移邊界條件。第九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件（8-4）。2、試導(dǎo)出空間軸對稱問題中用位移表示的平衡微分方程（書中式（8-4）），并將上的應(yīng)力邊界條件用位移來表示。

思考題第十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界的均布壓力q。§8－2半空間體受重力

及均布壓力問題第十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日采用按位移求解：

考慮對稱性：本題的任何x面和y面均為對稱面，∴可設(shè)位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。第十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程，求解方程積分兩次,得第十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日相應(yīng)的應(yīng)力為求解方程第十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（2）在z=0的負z面，應(yīng)力邊界條件為邊界條件由式(d)求出A，得應(yīng)力解為第十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。若z=h為剛性層，則由可以確定B。若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；第十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即側(cè)壓力系數(shù)第十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日當(dāng)時，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大，說明物體的剛度極小，接近于流體。當(dāng)時，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。討論：第十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，或平面應(yīng)變問題，試考慮應(yīng)如何按位移求解？第十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日2.若將空間問題的伽遼金位移函數(shù)向平面應(yīng)變問題簡化，將得到什么形式的表達式？再轉(zhuǎn)向平面應(yīng)力問題，又將得到什么形式的表達式？并與平面問題的位移函數(shù)相比較（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”和第二章教學(xué)參考資料）。3.試用伽遼金位移函數(shù)的表達式(8-9),導(dǎo)出式(8-10)（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）。第二十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日設(shè)有半空間體，在o點受有法向集中力F。本題為空間軸對稱問題。應(yīng)用柱坐標(biāo)求解，而位移,而和應(yīng)滿足:

§8-3半空間體在邊界上受

法向集中力問題第二十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（1）平衡微分方程（書中（8-4））求解條件其中第二十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（2）在z=0的邊界上，除原點o以外的應(yīng)力邊界條件為（3）由于z=0邊界上o點有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：第二十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然滿足。第二十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日其中第二十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點

o。

邊界面上任一點的沉陷，（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。（1）當(dāng)當(dāng)?shù)诙?，共一百三十六頁?022年，8月28日若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對積分，便得到書上公式。分布力第二十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日試由位移函數(shù)的表達式(8-11)，導(dǎo)出式(8-12)。（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）2.

試由拉甫位移函數(shù)的表達式(8-14)，導(dǎo)出式(8-15)。（參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）思考題第二十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日§8－4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題的方法：按應(yīng)力求解形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示。位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。2.其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1.取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

第二十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。第三十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程

:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出六個相容方程：（2）相容方程（六個）:（1）平衡微分方程（三個）。V內(nèi)方程第三十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(書中（8-12））。4.假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，在上，應(yīng)滿足書中式（7-5）。應(yīng)力邊界條件第三十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（1）V內(nèi)的三個平衡微分方程；其中(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。按應(yīng)力求解歸納為,應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解歸納（4）對于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3）上的三個應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的六個相容方程；第三十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（1）物體滿足連續(xù)性條件導(dǎo)出形變和位移之間的幾何方程導(dǎo)出相容方程。對于相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。（2）形變滿足相容方程對應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程對應(yīng)的位移不存在物體不保持連續(xù)。第三十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（3）相容方程的導(dǎo)出及對(2)的證明，可參見有關(guān)書籍。例如：（4）相容方程必須為六個。相容方程和平衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù)目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要的。第三十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日式是由方程提高階數(shù)得出的，但式增加的解不是原式的解。幾何方程中，形變?yōu)?階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以2階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因為微分方程提高階數(shù)會增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來消去增加的解答。第三十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡化求解的方程。應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。第三十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日思考題1、試考慮：從空間問題的相容方程，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的相容方程，卻不能直接導(dǎo)出平面應(yīng)力問題的相容方程，為什么？

(見例題4)2、在表面均受到法向壓力q作用的任意形狀的空間體，其應(yīng)力分量是

試證明這些應(yīng)力分量是該問題之解（對于多連體還應(yīng)滿足位移單值條件）。第三十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個特例?！?-5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的特性來簡化空間問題，就建立了扭轉(zhuǎn)問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉(zhuǎn)問題第三十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日扭轉(zhuǎn)問題的提出:（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側(cè)面無面力作用，柱體上下端面的面力，合成一對力矩M。第四十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日引用按應(yīng)力求解空間問題的方法—應(yīng)力應(yīng)滿足3個平衡微分方程，6個相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。按應(yīng)力求解第四十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日因此只有，代入3個平衡微分方程得1.由扭轉(zhuǎn)問題特性,

∵上下端面（）上無面力∴設(shè)

∵側(cè)面無任何面力，∴第四十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由式(a)前兩式，得僅為（x,y）的函數(shù)；第三式成為又由偏導(dǎo)數(shù)的相容性，存在一個應(yīng)力函數(shù)第四十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日對比式(b)和(c)，兩個切應(yīng)力均可用一個扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)

表示為第四十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的方程：2.將式（d）代入6個相容方程，前三式和第六式自然滿足，其余兩式為代入（d），得C為待定常數(shù)。相容方程第四十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日而得3.考察側(cè)面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為邊界條件第四十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日∴在S上為常數(shù)。又由于中常數(shù)不影響應(yīng)力，∴得的側(cè)面邊界條件為考察上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應(yīng)用圣維南原理，有第四十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日在z=0負面上，只有。∴條件自然滿足，而其余三個條件為第四十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日將式代入，并應(yīng)用條件，經(jīng)過運算（見書P.168），式的前兩式自然滿足，而由后一式得出關(guān)于的端面邊界條件為第四十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：歸納（1）A內(nèi)方程（2）側(cè)面S上邊界條件（3）端面上邊界條件第五十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日注解：（3）扭轉(zhuǎn)問題中的變量為x,y，∴仍屬于二維問題。（2）空間問題按應(yīng)力求解的全部條件均已考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。第五十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日求位移分量：根據(jù)上面的應(yīng)力，代入物理方程，可以求出對應(yīng)的形變；再代入幾何方程，并進行積分，求出對應(yīng)的位移為其中，為單位桿件長度的扭角。求位移第五十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日并且還得出對比式（e），得出常數(shù)C的物理意義，第五十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日思考題試考慮：上面建立的分析方法是精確的理論還是近似的理論，其中提出的一些假設(shè)是否完全成立？

第五十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日§8－6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬對于物理現(xiàn)象不同，但數(shù)學(xué)描述相同的問題，可以應(yīng)用比擬方法來求解。薄膜問題—設(shè)有一薄膜，張在水平邊界上，并受到微小的氣體壓力q。第五十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日薄膜斜率在面分別為薄膜斜率在面分別為薄膜只能承受均勻拉力，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個微小單元abcd,各邊上的作用力均為，但薄膜的斜率不同。薄膜問題第五十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日平衡條件：第五十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率為薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍體積是薄膜的邊界條件為薄膜比擬第五十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題未知函數(shù)A內(nèi)方程從數(shù)學(xué)上看，薄膜問題和扭轉(zhuǎn)問題的數(shù)學(xué)方程相同，比較如下：

邊界條件第五十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日邊界條件切應(yīng)力/斜率扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對應(yīng)于2V，則第六十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬,提出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的假設(shè)。（2）通過薄膜比擬,直接求解薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題。（1）通過薄膜比擬試驗,求解扭轉(zhuǎn)問題。第六十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)求φ的條件第六十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日式中的C為常數(shù)，其特解十分簡單；而式的通解為調(diào)和函數(shù)。C可以由式求出。第六十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)求解。1.為了滿足式(b)，可取在橢圓邊界上橢圓截面桿第六十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日2.將式(d)代入(a)，解出3.再將式(d)及(e)代入式(c)，求出從而得出第六十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日求出單位長度桿件的扭角：第六十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日z向的位移為可見橫截面不保持為平面。只有當(dāng)a=b的圓截面時，w=0，才保持為平面。第六十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日對于的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,在邊界條件中，長邊上應(yīng)嚴格滿足§8－8矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)而短邊(x=±b)是次要的，可忽略。狹矩形截面桿1.狹矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

第六十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（2）在方程中，應(yīng)主要考慮y向的導(dǎo)數(shù)，而可忽略x向的導(dǎo)數(shù)，∴由式和，可得可簡化為第六十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（3）將代入求出

∴狹矩形桿的解答為第七十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日矩形截面桿2.一般矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

以狹矩形桿解答為基礎(chǔ)，再迭加一個修正解的方法,進行求解：第七十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日應(yīng)滿足條件是由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:第七十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日從式（h）可解出F，再由式（g）得，然后求出應(yīng)力等解答（用雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的級數(shù)表示）。書中列出了簡化的結(jié)果，見式（8-34）和（8-35）。第七十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日3.薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（2）從薄膜比擬可見，當(dāng)狹矩形的a,b相同時，直線形和曲線形截面的薄膜是相似的，∴它們的相同。（1）薄壁桿件截面都是狹矩形

∴可以直接引用式的解答。薄壁桿件第七十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（3）對于若干個狹矩形組成的構(gòu)件，b.總扭矩是各個截面的扭矩之和，由此解出a.各個截面的扭角相同，第七十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（4）閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)設(shè)閉口薄壁桿的厚度為，中心線長為s，中心線包圍的面積為A，應(yīng)用薄膜比擬，取外邊界上，則內(nèi)邊界上的不能再任意選擇，應(yīng)取，如圖，相當(dāng)于有一塊無重鋼板懸掛于邊界上。由薄膜比擬：第七十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日扭矩解出切應(yīng)力yxozxzoyq

hs(b)開口薄壁桿件(a)閉口薄壁桿件第七十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由此得出切應(yīng)力其中，代入得為了求扭角K,可考慮內(nèi)邊界上無重鋼板的平衡條件：第七十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由薄膜比擬，代入上式，求出當(dāng)薄壁桿厚度為常量時，第七十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日思考題試比較：矩形中心線的邊長為a×b，厚度為δ的矩形的閉口薄壁桿件,和矩形開口薄壁件的切應(yīng)力和扭角。第八十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日第八章例題例題1例題2例題3例題4例題第八十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日解：引用“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”§8-2中關(guān)于空間位移勢函數(shù)的解法，應(yīng)滿足泊松方程

例題1試證明位移勢函數(shù)能解任意彈性體受均布壓力q的問題。及邊界條件。第八十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日取滿足泊松方程。由式（8-8）從求出應(yīng)力分量,在邊界面上，設(shè)法線的方向余弦為l,m,n,則面力分量是將應(yīng)力代入三個邊界條件，并求出第八十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由此，得解答對于多連體，還應(yīng)從應(yīng)力求出位移，并校核多連體中的位移單值條件是否滿足。顯然，位移單值條件是滿足的。第八十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日設(shè)有無限大彈性體（空間體），在體內(nèi)一小洞中受有集中力F的作用，如圖(a)，試用拉甫位移函數(shù)求解應(yīng)力分量，其中例題2第八十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日及邊界條件。將ζ代入方程，顯然是滿足的。再將ζ代入應(yīng)力公式（8-16），求出應(yīng)力分量。

解：引用“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”§8-3中關(guān)于拉甫位移函數(shù)

ζ

的解法，ζ應(yīng)滿足重調(diào)和方程

第八十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日為了校核小洞中受集中力的邊界條件，在點o附近切出一薄板，圖(b)，應(yīng)用圣維南原理來考慮此薄板的平衡條件。由于應(yīng)力分量都是軸對稱的，且對于z=0的面又是反對稱的，只須考慮下列平衡條件：第八十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日而從而得出各應(yīng)力分量為代入后得第八十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日第八十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日其中而均為調(diào)和函數(shù)，滿足

例題3用代入法證明，下列的位移表達式是無體力時平衡微分方程的解答，第九十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由于都是調(diào)和函數(shù)，代入無體力的平衡方程均能滿足。H.Neuber等曾用這一形式的解答求出一批回轉(zhuǎn)體的解。

解：當(dāng)無體力時，平衡微分方程是其中體積應(yīng)變第九十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日例題4

平面應(yīng)力解答的近似性—試從空間問題按應(yīng)力求解的方法，來導(dǎo)出和考察平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題的基本理論。第九十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日解：（1）對于平面應(yīng)變問題，在常截面的很長柱體（可以假設(shè)為無限長），只有x,y方向的體力、面力和約束且沿z方向不變的條件下，由于任一橫截面（z面）均為對稱面，可以推論出，第九十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日從式可以得出，在式中，表示等式左邊的物理量僅為x,y的函數(shù)。第九十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日將式代入空間問題的平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力和位移邊界條件，可以得出平面應(yīng)變問題的全部方程和條件，而其余的方程和條件均為自然滿足。例如，將式代入空間問題的相容方程（書中式（8-10）、（8-11））得出而其余五式全部自然滿足。第九十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日因此，從空間問題的基本理論，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的理論。（2）對于平面應(yīng)力問題，在很薄的板，只受x,y方向的體力、面力和約束，且不沿板厚方向（z向）變化；又在板面上無任何面力的條件下，由板面的邊界條件第九十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日假設(shè)在彈性體內(nèi)因此，只有平面應(yīng)力和，并進一步假設(shè)這就是平面應(yīng)力問題。由上兩式，還可得出第九十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日將式代入空間問題的相容方程（書中式），除了得出式外，還得出第九十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日在一般的情況下，由式得出的顯然不能滿足相容方程。由此可見，平面應(yīng)力問題的假設(shè)不能保證所有的相容條件都得到滿足。因此，平面應(yīng)力問題的理論是近似性的。第九十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日但是Clebsch,A.證明，在條件下從空間問題理論得出滿足所有相容方程的精確解答，是一般平面應(yīng)力問題（假設(shè)的解答，再補充一個沿板厚拋物線變化的修正解（與成正比）。對于充分薄的板，第一百頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日因此，平面應(yīng)力問題的解答，顯然不能滿足所有的相容條件，但對薄板卻仍是一個很好的近似解。讀者可參閱§8-4的詳細證明。修正解遠小于第一部分平面應(yīng)力問題的解，且只影響邊界附近的局部區(qū)域。第一百零一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日8-2提示：同上題。應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè)若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。8-1提示：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè))。柱體的側(cè)面，在（x,y）平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（n=0,l,m為任意的），并應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件。第八章習(xí)題的提示和答案第一百零二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日由于空間體為任意形狀，因此，應(yīng)考慮一般的應(yīng)力邊界條件（7-5）：法線的方向余弦為l,m,n，邊界面為任意斜面，受到法向壓力q作用。為了考慮多連體中的位移單值條件，應(yīng)由應(yīng)力求出對應(yīng)的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。8-3見§8-2的討論。8-4從書中式（8-2）和（8-12）可以導(dǎo)出。由結(jié)論可以看出位移分量和應(yīng)力分量等的特性。

第一百零三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日8-5為了求o點以下h處的位移，取出書中式（8-6）的，并作如下代換Z→h，R→ρ2＋a2，F(xiàn)→dF＝q2πρdp,然后從o→a

對積分。8-6引用布西內(nèi)斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是（1）求矩形中心點的沉陷，采用圖8-9（a）的坐標(biāo)系，第一百零四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日代入并積分，再應(yīng)用部分積分得到，第一百零五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日

a/2

a/2

b/2

b/2odxdyxyyxbadydx(a)(b)第一百零六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（2）求矩形角點處的沉陷，采用圖8-9(b)的坐標(biāo)系，第一百零七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日8-8題中能滿足兩個圓弧處的邊界條件。然后，相似于上題進行求式解。的兩倍。8-7題中已滿足邊界條件再由便可求出切應(yīng)力及扭角等。第一百零八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日8-9分別從橢圓截面桿導(dǎo)出圓截面桿的解答，和從矩形截面桿導(dǎo)出正方形截面桿的解答；并由，得出代入后進行比較即可得出。8-10參見§8-8的討論。第一百零九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日

（一）本章的學(xué)習(xí)重點及要求1、本章介紹空間問題的位移法和應(yīng)力法，其思路和步驟與平面問題相似。讀者可對照平面問題來學(xué)習(xí)和理解。2、空間問題的位移法比應(yīng)力法尤為重要。一是因為位移法可以適用于各種邊界條件的問題；二是位移法的未知函數(shù)數(shù)目比應(yīng)力法少，而在空間問題中，又沒有如第八章教學(xué)參考資料

第一百一十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日平面問題那樣，有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。在近似解法中，位移法得到廣泛的應(yīng)用。3、為了便于空間問題的求解，力學(xué)家和數(shù)學(xué)家提出了一些應(yīng)力函數(shù)、位移勢函數(shù)和位移函數(shù)等來表示應(yīng)力或位移，使相應(yīng)的微分方程得到簡化，并從而得出了一些解答。但讀者應(yīng)注意，這些函數(shù)都是人為假定的和有局限性的，并不能作為空間問題的一般解，因為并不能保證這些函數(shù)在任何情況下都存在。

第一百一十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日4、扭轉(zhuǎn)問題

是空間問題中的一個專門問題。扭轉(zhuǎn)問題的理論，是從空間問題的基本方程出發(fā)，考慮扭轉(zhuǎn)問題的特性而建立起來的。扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)（x,y）是x,y坐標(biāo)變量的函數(shù)，所以仍然是二維問題。第一百一十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（二）本章的內(nèi)容提要1.在直角坐標(biāo)系（x,y,z）中，按位移求解一般的空間問題時，取u,v,w為基本未知函數(shù)，它們應(yīng)滿足（1）用位移表示的平衡微分方程，第一百一十三頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件，其中第一百一十四頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日2.在柱坐標(biāo)系中，按位移求解空間軸對稱問題時，取為基本未知函數(shù)，它們僅為的函數(shù)，應(yīng)滿足（1）用位移表示的平衡微分方程，（3）位移邊界條件第一百一十五頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日3.在直角坐標(biāo)系中，按應(yīng)力求解一般的空間問題時，取為基本未知函數(shù)，它們應(yīng)滿足（1）區(qū)域v內(nèi)的平衡微分方程，（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件。（3）位移邊界條件。第一百一十六頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件），其中（2）區(qū)域V內(nèi)的相容方程，第一百一十七頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（4）若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。4.對于常截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，可歸結(jié)為求解一個扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)它應(yīng)滿（1）截面區(qū)域A內(nèi)的泊松方程，式中K為單位長度柱體的扭角。切應(yīng)力公式是（2）邊界條件，第一百一十八頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日

以下（三）—（七）均參見“彈性力學(xué)簡明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”（三）空間問題的位移勢函數(shù)和位移函數(shù)

按位移求解空間問題，也可以引用位移勢函數(shù)和位移函數(shù)，以簡化求解的方法。讀者同樣應(yīng)注意，這些人為假定的位移勢函數(shù)或位移函數(shù)，不具有普遍性，只能用來解決某些問題。但作為解決問題的思路和方法，是值得我們參考和借鑒的。

1.用位移勢函數(shù)求解空間問題假設(shè)位移u,v,w

是有勢的函數(shù)，它們可以第一百一十九頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日式(a)可以歸并為將上式代入用位移表示的平衡微分方程（8－2），若不計體力，則得分別用位移勢函數(shù)ψ(x,y,z)的導(dǎo)數(shù)來表示，即第一百二十頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日求解的方法是：（1）由

求出勢函數(shù)；（2）由

求位移（式（8－6））及應(yīng)力（式（8－8））；將式（8－6）代入應(yīng)力公式（8－1），則應(yīng)力也可以用位移勢函數(shù)表示為

其中C為任意常數(shù)。若取C=0，則上式成為拉普拉斯方程，

為調(diào)和函數(shù)，即第一百二十一頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日（3）使位移和應(yīng)力滿足和上的邊界條件。位移勢函數(shù)的局限性是，是人為假定的，且體積應(yīng)變因此，它只適用于彈性體內(nèi)各點均無體積應(yīng)變的情形（如純剪切問題）。2、用伽遼金位移函數(shù)求解空間問題伽遼金假定位移可以表示為如下形式，第一百二十二頁，共一百三十六頁，2022年，8月28日其中ξ,η,ζ均為x,y,z函數(shù)。由于(x,y,z)具