初等模型課件

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2雙層玻璃窗的功效2.3量綱分析與無量綱化2.1公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對不公平A

p1/n1–p2/n2=51）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q值方法計(jì)算，三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大2.3量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度l的量綱記L=[l]質(zhì)量m的量綱記M=[m]時(shí)間t的量綱記T=[t]動力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a的量綱[a]=LT-2力f的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)k的量綱[k]對無量綱量，[]=1(=L0M0T0)2.9.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：單擺運(yùn)動lmgm求擺動周期t的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g之間有關(guān)系式1,2,3為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式對比單擺運(yùn)動中t,m,l,g的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,2,…,m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià),F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,qm的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r個基本解，記作為m-r個相互獨(dú)立的無量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3

F(1,2,3)=0與(g,l,,v,s,f)=0等價(jià)為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0

未定F(

1,2,…,m-r)=0與f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)量綱分析法的評注物理量的選取基本量綱的選取基本解的構(gòu)造結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識2.9.2量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知)注意：二者的相同2.9.3無量綱化例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速v,星球半徑r,表面重力加速度g研究火箭高度x隨時(shí)間t的變化規(guī)律t=0時(shí)x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個獨(dú)立參數(shù)用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡化令1）2）3）的共同點(diǎn)只含1個參數(shù)——無量綱量解重要差別考察無量綱