混沌與隨機(jī)數(shù)課件

混沌與隨機(jī)數(shù)《信息隱藏實(shí)驗(yàn)教程》教學(xué)幻燈片四一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）蟲口模型又稱為Logistic映射：在某一范圍內(nèi)單一種類的昆蟲繁殖時(shí)，其第n年的數(shù)量與第n+1年的數(shù)量可以表示為：xn+1=xn(a-bxn)其中a表示增長率，-bxn表示考慮到爭奪食物等因素引起的蟲口飽和。一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）為了數(shù)學(xué)上處理的方便，我們再設(shè)a=b=μ,因此考慮下列關(guān)系式：xn+1=μxn(1-xn)我們下面進(jìn)一步分析Logistic方程所描述的蟲口問題的一些特征

一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）可以看出，當(dāng)n的值大于29時(shí)，x的值不再改變，即使改變x0的值，只要μ=2.5,迭代方程最終會收斂到0.6，不同的只是達(dá)到收斂值的迭代路徑。即不論初值為什么，迭代方程最終都會被吸引到一個(gè)固定值，這個(gè)固定值被稱為吸引子。一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）我們再取μ=3.3，x0=0.5，可得：……………..x32=0.479427020x33=0.823603283x34=0.479427020x35=0.823603283…………….一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）可見，當(dāng)μ取3.3時(shí)，有兩個(gè)吸引子，這種收斂軌跡被稱為周期2軌跡。

一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）③μ大于等于3小于等于4時(shí)系統(tǒng)的動力學(xué)形態(tài)十分復(fù)雜，系統(tǒng)由倍周期通向混沌。前面的μ=3.3就是這樣。④μ大于4時(shí)系統(tǒng)的動力學(xué)形態(tài)更復(fù)雜。一個(gè)最基本的混沌模型（蟲口模型）下圖給出了不同的μ值下蟲口模型的時(shí)間序列

特征量Lyapunov指數(shù)Lyapunov維數(shù)kolmogorov熵Lyapunov指數(shù)指數(shù)分離我們用下圖表示

●x0--------ε---------●x0+εn次迭代●F?(x0)--------εenλ---------●F?(x0+ε)故λ>0可作為系統(tǒng)混沌行為的一個(gè)判據(jù)。對Logistic映射，考慮參數(shù)3.4≤μ≤4，若μ<μ∞=3.5699…,λ<0,對應(yīng)周期運(yùn)動；若μ>μ∞=3.5699…,λ>0,對應(yīng)混沌運(yùn)動。Lyapunov維數(shù)我們設(shè)Lyapunov指數(shù)按從大到小的順序排列為：λ1≥λ2≥λ3≥…….，則混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)定義為：其中,，k是保證Sk>0的最大k值。kolmogorov熵考慮一個(gè)n維動力系統(tǒng)，將它的相空間分割成一個(gè)個(gè)邊長為ε的n維立方體盒子，對于狀態(tài)空間的一個(gè)吸引子和一條落在吸引域中的軌道x（t），取時(shí)間間隔為一個(gè)很小的量τ，令P(i0,i1,….id)表示起始時(shí)刻系統(tǒng)軌道在第i0個(gè)格子中，t=τ在第i1個(gè)格子中，…，t=dτ在第id個(gè)格子中的聯(lián)合概率，則Kolmogonov熵定義為：常見運(yùn)動形態(tài)的特征量表我們再給出幾種常見的運(yùn)動形態(tài)的特征量，如下表：

吸引子

維數(shù)

Lyapunov指數(shù)

K熵

穩(wěn)定定態(tài)

點(diǎn)0<0

0周期運(yùn)動

閉曲線

10

0混

沌

奇怪非整數(shù)只有λ1＞0

0<K<∞

混沌的直觀描述設(shè)V是一個(gè)緊度量空間，連續(xù)映射f：V→V如果滿足下列三個(gè)條件：①對初值敏感依賴。存在б>0,對于任意的ε>0和x屬于V，在x的ε鄰域內(nèi)存在y和自然數(shù)n，使得d(f?(x),f?(y))>б。②拓?fù)鋫鬟f性。對于V上的任意一對開集X,Y,存在k>0,使f?(X)∩Y≠Φ。③f的周期點(diǎn)集在V中稠密。則稱f是在Devaney意義下V上的混沌映射或混沌運(yùn)動。

Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器

選擇Logistic方程作為模型只要給定合適的μ（大于3.5699）值，就能使產(chǎn)生的序列滿足混沌特性。我們選擇很接近的兩個(gè)初值0.3256和0.3257，而μ取3.9，生成50×50的矩陣，如下圖：

Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器混合光學(xué)雙穩(wěn)模型產(chǎn)生的混沌序列

我們還可以選取混合光學(xué)雙穩(wěn)模型作為混沌序列的生成模型：兩個(gè)參數(shù)A、xB，分別取4和2.5，賦給它不同的初值x0將得到不同的混沌序列

混沌時(shí)間序列的判別方法

功率譜方法

Lyapunov指數(shù)法

功率譜方法Lyapunov指數(shù)法在Lyapunov指數(shù)λ＜0的方向，相體積收縮，運(yùn)動穩(wěn)定，且對初始條件不