高中數(shù)學北師大版1本冊總復(fù)習總復(fù)習 優(yōu)質(zhì)課獎

§1命題1．了解命題的概念及構(gòu)成，會判斷命題的真假．(難點)2．了解命題的四種關(guān)系，會判斷命題的真假．(重、難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1命題的定義及組成閱讀教材P3“問題提出”以上部分，完成下列問題．1．定義(1)定義：可以判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作______．(2)分類：判斷為正確的語句叫作______，判斷為錯誤的語句叫作______．2．命題的組成一般地，一個命題由______和______兩部分組成，數(shù)學中，通常把命題表示為“若p，則q”的形式，其中p是______，q是______．【答案】1.(1)命題(2)真命題假命題2．條件結(jié)論條件結(jié)論下列語句中是命題的是()\f(π,2)是無限不循環(huán)小數(shù)B．x>0C．什么是“溫室效應(yīng)”D．作直線AB【解析】由命題的定義加以判斷．【答案】A教材整理2四種命題閱讀教材P3“問題提出”至P5“練習”以上部分，完成下列問題．1．四種命題互逆命題一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的______和______互否命題一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的__________和__________互為逆否命題一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的________和________2.四種命題之間的關(guān)系【答案】1.結(jié)論條件條件的否定結(jié)論的否定結(jié)論的否定條件的否定2.否逆逆否(從左至右，從上至下)判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“對頂角相等”的否命題為“對頂角不相等”．()(2)命題“實數(shù)的平方是非負數(shù)”是真命題．()(3)若原命題為真命題，則其逆命題一定也是真命題．()(4)若a＝b，則|a|＝|b|的逆否命題是假命題．()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]命題的概念及真假判斷判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由.【導學號：63470000】(1)函數(shù)y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，則2x＋1＜0；(3)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列；(4)求證：x∈R時，方程x2－x＋2＝0無實根．【精彩點撥】eq\x(語句)eq\o(→,\s\up8(命題),\s\do8(定義))eq\x(\a\al(判定是否,是命題))eq\o(→,\s\up8(證明舉反例),\s\do8())eq\x(真假命題)【自主解答】(1)(2)(3)是命題，(4)不是命題．命題(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，顯然其最小正周期為π，為真命題．命題(2)中，當x＝4,2x＋1＞0，是假命題．命題(3)中，當?shù)缺葦?shù)列的首項a1＜0，公比q＞1時，該數(shù)列為遞減數(shù)列，是假命題．(4)是一個祈使句，沒有作出判斷，不是命題．1．判斷語句是否為命題的關(guān)鍵是看該語句是否能判斷真假．2．在說明一個命題是真命題時，應(yīng)進行嚴格的推理證明，而要說明命題是假命題，只需舉一個反例即可．[再練一題]1．判斷下列語句是否為命題，若是，請判斷真假并改寫成“若p，則q”的形式．(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？(2)一個正整數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；(3)三角形中，大角所對的邊大于小角所對的邊；(4)當x＋y是有理數(shù)時，x，y都是有理數(shù)；(5)1＋2＋3＋…＋2014；(6)這盆花長得太好了！【解】(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命題．(2)是命題．因為1既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，故它是假命題．此命題可寫成“若一個數(shù)為正整數(shù)，則它不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)”．(3)是真命題．此命題可寫成“在三角形中，若一條邊所對的角大于另一邊所對的角，則這條邊大于另一邊”．(4)是假命題．此命題可寫成“若x＋y是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)”．四種命題及其關(guān)系分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.【導學號：63470001】(1)面積相等的兩個三角形是全等三角形；(2)若q≤1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；(3)若xy＝0，則x＝0且y＝0.【精彩點撥】找出命題的條件p與結(jié)論q，根據(jù)四種命題的條件與結(jié)論的關(guān)系寫出其余三種命題，再判斷其真假性．【自主解答】(1)逆命題：全等三角形的面積相等，真命題．否命題：面積不相等的兩個三角形不是全等三角形，真命題．逆否命題：兩個不全等的三角形的面積不相等，假命題．(2)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q≤1，真命題．否命題：若q>1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根，真命題．逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q>1，真命題．(3)逆命題：若x＝0且y＝0，則xy＝0，真命題．否命題：若xy≠0，則x≠0或y≠0，真命題．逆否命題：若x≠0或y≠0，則xy≠0，假命題．1．寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題的關(guān)鍵是正確找出原命題的條件和結(jié)論，并寫出條件和結(jié)論的否定，然后按照定義寫出各命題．若原命題不是“若p，則q”的形式，應(yīng)先將命題寫成這種形式．注意：當原命題有大前提時，在寫三種命題時，大前提不變．2．在判斷四種命題的真假時，首先要正確地寫出逆命題、否命題和逆否命題，在弄清楚它們的真假關(guān)系時，注意相關(guān)知識的運用．[再練一題]2．寫出下列命題的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷真假．(1)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；(2)如果x>8，那么x>0；(3)當x＝－1時，x2－x－2＝0.【解】(1)原命題：若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；真命題．逆命題：若一個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則這個四邊形的對角互補；真命題．否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形；真命題．逆否命題：若一個四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則這個四邊形的對角不互補；真命題．(2)原命題：若x>8，則x>0；真命題．逆命題：若x>0，則x>8；假命題．否命題：若x≤8，則x≤0；假命題．逆否命題：若x≤0，則x≤8；真命題．(3)原命題：若x＝－1，則x2－x－2＝0；真命題．逆命題：若x2－x－2＝0，則x＝－1；假命題．否命題：若x≠－1，則x2－x－2≠0；假命題．逆否命題：若x2－x－2≠0，則x≠－1；真命題．[探究共研型]逆否命題的應(yīng)用探究1下列四個命題：(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；(4)若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)．我們已經(jīng)知道命題(1)與命題(2)(3)(4)之間的關(guān)系，那么任意兩個命題之間有什么關(guān)系？【提示】(2)(3)互為逆否命題．(2)(4)互為否命題．(3)(4)互為逆命題．探究2通過以上探究，你認為如果原命題為真，那么它的逆命題、否命題、逆否命題的真假性是怎樣的？【提示】原命題為真，它的逆命題，否命題不一定為真．兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．原命題為真，它的逆否命題一定為真，兩個命題互為逆否命題，它們的真假性相同．判斷命題“已知a為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假.【導學號：63470002】【精彩點撥】本題可直接寫出其逆否命題判斷其真假，也可直接判斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假．【自主解答】法一：其逆否命題為：已知a，x為實數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集．判斷如下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因為a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.所以拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無交點，所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集，故逆否命題為真命題．法二：先判斷原命題的真假．因為a，x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4).∵eq\f(7,4)>1，∴a≥1.∴原命題為真．又因為原命題與其逆否命題真假相同，所以逆否命題為真．由于互為逆否命題的兩個命題有相同的真假性，當一個命題的真假不易判斷時，可以通過判斷其逆否命題真假的方法來判斷該命題的真假.[再練一題]3．命題：已知a，b為實數(shù)，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2－4b≥0.寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這些命題的真假．【解】逆命題：已知a，b為實數(shù)，若a2－4b≥0，則x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命題：已知a，b為實數(shù)，若x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2－4b<0.逆否命題：已知a，b為實數(shù)，若a2－4b<0，則x2＋ax＋b≤0沒有非空解集．原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題．[構(gòu)建·體系]1．下列語句不是命題的有()①若a＞b，b＞c，則a＞c；②x＞2；③3＜7；④函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函數(shù)．A．0個B．1個C．2個D．3個【解析】①③④是可以判斷真假的陳述句，是命題；②不能判斷真假，不是命題．【答案】B2．已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否命題是()A．若a2＋b2＜eq\f(1,2)，則a＋b≠1B．若a＋b＝1，則a2＋b2＜eq\f(1,2)C．若a＋b≠1，則a2＋b2＜eq\f(1,2)D．若a2＋b2≥eq\f(1,2)，則a＋b＝1【解析】“a＋b＝1”，“a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否定分別是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜eq\f(1,2)”，故否命題為：“若a＋b≠1，則a2＋b2＜eq\f(1,2)”．【答案】C3．命題“正數(shù)的絕對值等于它本身”的逆命題是________．【解析】“若p，則q”的逆命題是“若q，則p”．【答案】如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù)4．命題“常用對數(shù)不是1的數(shù)不是10”的逆否命題為________，是________命題(填真、假)．【解析】命題“常用對數(shù)不是1的數(shù)不是10”的逆否命題為“10的常用對數(shù)是1”，是真命題．【答案】10的常用對數(shù)是1真5．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假．(1)若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根；(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0.【解】(1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則mn＜0.假命題；否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根．假命題；逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則mn≥0.真命題．(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題；否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題；逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0.真命題．我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(一)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下列語句是命題的是()A．2023是一個大數(shù)B．若兩直線平行，則這兩條直線沒有公共點C．對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？D．a(chǎn)≤15【解析】B選項可以判斷真假，是命題．【答案】B2．以下說法錯誤的是()A．原命題為真，則它的逆命題可以為真，也可以為假B．如果一個命題的否命題為假命題，那么它本身一定是真命題C．原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)一定為偶數(shù)D．一個命題的逆命題、否命題、逆否命題可以同為假命題【解析】A顯然正確；B錯誤，原命題與否命題的真假可能相同，也可能相反；C、D為真命題．【答案】B3．下列命題中，為真命題的是()A．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題B．命題“若x>1，則x2>1”的否命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題【解析】B選項中，否命題為“若x≤1，則x2≤1”，為假命題；C選項中，否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，為假命題；D選項中，逆否命題為“若x≤1，則x2≤0”，為假命題．【答案】A4．命題“對于正數(shù)a，若a>1，則lga>0.”及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中真命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．4【解析】原命題是正確的，所以其逆否命題也是正確的；逆命題“對于正數(shù)a，若lga>0，則a>1”是真命題，所以其否命題也正確．【答案】D5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中的假命題是()A．若m⊥n，m⊥α，neq\o(?,\s\up0(/))α，則n∥αB．若m⊥β，α⊥β，則m∥α或mαC．若m∥α，α⊥β，則m⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β【解析】C是假命題，m∥α，α⊥β時，m與β的關(guān)系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m與β斜交．【答案】C二、填空題6．命題“無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)”中，條件是________，結(jié)論是________.【導學號：63470003】【解析】該命題可改寫為“如果一個數(shù)是無理數(shù)，那么它是無限不循環(huán)小數(shù)”．條件是：一個數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論是：它是無限不循環(huán)小數(shù)．【答案】一個數(shù)是無理數(shù)它是無限不循環(huán)小數(shù)7．已知原命題“兩個無理數(shù)的積仍是無理數(shù)”，則有①逆命題是“乘積為無理數(shù)的兩數(shù)都是無理數(shù)”；②否命題是“兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù)”；③逆否命題是“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)都不是無理數(shù)”．其中所有正確敘述的序號是________．【解析】①②正確，③逆否命題應(yīng)為：“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)不都是無理數(shù)”，故③錯誤．【答案】①②8．有下列四個命題：①命題“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②命題“面積相等的三角形全等”的否命題；③命題“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實根”的逆否命題；④命題“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題．其中是真命題的是________(填上正確命題的序號)．【解析】④中由A∩B＝B，應(yīng)該得出B?A，原命題為假命題，所以逆否命題為假命題．【答案】①②③三、解答題9．判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，同時判斷這些命題的真假．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該二次函數(shù)圖像與x軸有公共點．【解】(1)該命題為假．因為當c＝0時，ac2＝bc2.逆命題：若ac2>bc2，則a>b，為真．否命題：若a≤b，則ac2≤bc2，為真．逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b，為假．(2)該命題為假．∵當b2－4ac<0時，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸無公共點．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有公共點，則b2－4ac<0，為假．否命題：若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)圖像與x軸沒有公共點，為假．逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒有公共點，則b2－4ac≥0，為假．10．證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.【證明】原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．若a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．[能力提升]1．命題“若－1<x<1，則x2<1”的逆否命題是()A．若x≥1或x≤－1，則x2≥1B．若x2<1，則－1<x<1C．若x2>1，則x>1或x<－1D．若x2≥1，則x≥1或x≤－1【解析】“－1<x<1”的否定為“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否定為“x2≥1”，由逆否命題定義知，D正確．【答案】D2．下列四個命題：(1)“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題；(2)“若a＞b，則a2＞b2”的逆否命題；(3)“若x≤－3，則x2－x－6＞0”的否命題；(4)“對頂角相等”的逆命題．其中真命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)否命題：若x＋y≠0，則x，y不互為相反數(shù)，真命題．(2)逆否命題：若a2≤b2，則a≤b，假命題．(3)否命題：若x＞－3，則x2－x－6≤0，假命題．(4)逆命題：相等的兩個角是對頂角，假命題，故選B.【答案】B3．已知命題“若m－1＜x＜m＋1，則1＜x＜2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是________．【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，則m－1＜x＜m＋1也成立．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))，∴1≤m≤2.【答案】[1,2]4．已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0；命題q：1－x＋eq\f(x2,4)<1，若命題p是真命題，命題q是假命題，求實數(shù)x的取值范圍.【導學號：63470004】【解】由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.由1－x＋eq\f(x2,4)<1，得x2－4x<0，解得0<x<4.因為命題p為真命題，命題q為假命題，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1或x≥3,x≤0或x≥4))，解得x≤－1或x≥4.所以，滿足條件的實數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1]∪[4，＋∞)．§2充分條件與必要條件充分條件與必要條件充分條件與判定定理必要條件與性質(zhì)定理充要條件1．結(jié)合具體實例，理解充分條件、必要條件的意義．(重點)2．會求(判定)某些簡單命題的條件關(guān)系．(易混點)3．通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)分析、判斷和歸納的邏輯思維能力．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1充分條件與必要條件閱讀教材P6“思考交流”以上部分，完成下列問題．命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系p____qp____q條件關(guān)系p是q的______條件q是p的______條件p不是q的______條件q不是p的______條件【答案】?eq\o(?,\s\up0(/))充分必要充分必要已知A?B，則“x∈A”是“x∈B”的________條件，“x∈B”是“x∈A”的________條件．【解析】∵A?B，故x∈A?x∈B，反之不成立．∴“x∈A”是“x∈B”的充分條件，“x∈B”是“x∈A”的必要條件．【答案】充分必要教材整理2充要條件閱讀教材P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列問題．一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作________．此時，我們說，p是q的____________，簡稱________．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q____________.【答案】p?q充分必要條件充要條件互為充要條件判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若peq\o(?,\s\up0(/))q與qeq\o(?,\s\up0(/))p有一個成立，則p一定不是q的充要條件．()(2)若p是q的充要條件，則q也是p的充要條件．()(3)若p?q，且qeq\o(?,\s\up0(/))p，則p是q的必要不充分條件．()【答案】(1)√(2)√(3)×[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]充分條件、必要條件和充要條件的判斷下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b＝eq\r(ac)；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC為等腰三角形．【精彩點撥】可先看p成立時，q是否成立，再反過來若q成立時，p是否成立，從而判定p，q間的關(guān)系．【自主解答】(1)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac，b＝±eq\r(ac)，則peq\o(?,\s\up0(/))q；若b＝eq\r(ac)，當a＝0，b＝0時，a，b，c不成等比數(shù)列，即qeq\o(?,\s\up0(/))p，故p是q的既不充分也不必要條件．(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即peq\o(?,\s\up0(/))q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分條件．(3)當a>b時，有2a>2b，即p?q，當2a>2b時，可得a>b，即q?p，故p是q的充要條件．(4)法一若△ABC是直角三角形不能得出△ABC為等腰三角形，即peq\o(?,\s\up0(/))q；若△ABC為等腰三角形也不能得出△ABC為直角三角形，即qeq\o(?,\s\up0(/))p，故p是q的既不充分也不必要條件．法二如圖所示：p，q對應(yīng)集合間無包含關(guān)系，故p是q的既不充分也不必要條件．1．判斷p是q的什么條件，其實質(zhì)是判斷p?q及q?p兩命題的正確性，若p?q為真且q?p為假，則p是q的充分不必要條件；若p?q為假而q?p為真，則p是q的必要不充分條件；若p?q與q?p均為真，則p是q的充要條件；若p?q及q?p均不正確，則p是q的既不充分也不必要條件．2．當不易判斷p?q的真假時，可從集合的角度入手考慮．首先建立與p、q相應(yīng)的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若Aeq\o(?,\s\up0(/))B且Beq\o(?,\s\up0(/))A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件[再練一題]1．指出下列各組命題中，p是q的什么條件？(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件)【導學號：63470005】(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(2)p：數(shù)a能被6整除，q：數(shù)a能被3整除；(3)p：x>1，q：x2>1.【解】(1)因為命題“若(x－2)(x－3)＝0，則x＝2”是假命題，而命題“若x＝2，則(x－2)(x－3)＝0”是真命題，所以p是q的必要條件，但不是充分條件，即p是q的必要不充分條件．(2)∵p?q，而qeq\o(?,\s\up0(/))p，∴p是q的充分不必要條件．(3)p對應(yīng)的集合為P＝{x|x>1}，q對應(yīng)的集合為Q＝{x|x<－1或x>1}，∵PQ，∴p是q的充分不必要條件.充分條件、必要條件的應(yīng)用是否存在實數(shù)m，使“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”的充分條件？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．【精彩點撥】分別寫出不等式“4x＋m<0”與“x2－x－2>0”的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系，求出m的取值范圍．【自主解答】由x2－x－2>0，得x>2或x<－1；由4x＋m<0，得x<－eq\f(m,4)，由題意，得－eq\f(m,4)≤－1，m≥4.即m≥4時，“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”的充分條件．已知充分條件、必要條件或充要條件，求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為集合與集合間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式組進行求解.[再練一題]2．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解】p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)?1－m≤x≤1＋m(m>0)．因為q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m>0，所以實數(shù)m的范圍為{m|0<m≤3}．[探究共研型]充要條件的證明和求解探究1下列能作為a，b中至少有一個不為零的充要條件是哪個？①ab＝0；②ab>0；③a2＋b2＝0；④a2＋b2>0.【提示】a2＋b2>0，則a，b不同時為零；a，b中至少有一個不為零，則a2＋b2>0，故④正確．探究2“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是什么？【提示】函數(shù)沒有零點，即方程x2－2x－a＝0無實根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，則Δ<0，方程x2－2x－a＝0無實根，即函數(shù)沒有零點．故“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是a<－1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)．求證：{an}為等比數(shù)列的充要條件是q＝－1.【精彩點撥】eq\x(分清條件p與結(jié)論q)→eq\x(證充分性p?q)→eq\x(證必要性q?p)→eq\x(結(jié)論p?q)【自主解答】充分性：當q＝－1時，Sn＝pn－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，當n＝1時，也成立，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝pn－1(p－1)．又∵p≠0且p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列．必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p.又∵{an}為等比數(shù)列，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(an＋1,an)＝p，∴eq\f(pp－1,p＋q)＝p，∴q＝－1.綜上可知，{an}是等比數(shù)列的充要條件是q＝－1.1．條件已知證明結(jié)論成立是充分性．結(jié)論已知推出條件成立是必要性．2．證明p是q的充要條件，要證明兩個方面：(1)充分性(p?q)；(2)必要性(q?p)．3．證明時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形，這就要分清哪是條件，哪是結(jié)論．[再練一題]3．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件.【導學號：63470006】【解】①當a＝0時，解得x＝－1，滿足條件；②當a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號實根，則a<0；若方程有兩個負的實根，則必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0))?0<a≤eq\f(1,4).綜上，若方程至少有一個負的實根，則a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，則方程至少有一個負的實根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是a≤eq\f(1,4).[構(gòu)建·體系]1．已知命題“若p，則q”，假設(shè)其逆命題為真，則p是q的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】原命題的逆命題：“若q，則p”，它是真命題，即q?p，所以p是q的必要條件．【答案】B2．(2023·北京高考)設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】結(jié)合平面與平面平行的判定與性質(zhì)進行判斷．當m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βeq\o(?,\s\up0(/))α∥β；當α∥β時，α內(nèi)任一直線與β平行，因為m?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．【答案】B3．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的________條件．【解析】由正弦定理及三角形的不等關(guān)系可知，A>B?a>b?sinA>sinB，故為充要條件．【答案】充要4．函數(shù)y＝x2＋bx＋c在x∈[2，＋∞)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是________．【解析】y＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上單調(diào)?－eq\f(b,2)≤2?b≥－4.【答案】[－4，＋∞)5．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值是多少？【導學號：63470007】【解】∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1.又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件．∴x＜a?x2＞1但x2＞1eq\o(?,\s\up0(/))x＜a.eq\x(如圖示：)∴a≤－1，∴a的最大值為－1.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(二)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下面四個條件中，使“a>b”成立的充分條件是()A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)＋1>b【解析】“p的充分條件是q”即“q是p的充分條件”，亦即“q?p”．因為a>b＋1?a>b，故選A.【答案】A2．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件的()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】由f(x)＝x2＋mx＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(m2,4)，∴f(x)的圖像的對稱軸為x＝－eq\f(m,2)，由題意：－eq\f(m,2)＝1，∴m＝－2.【答案】A3．已知p：關(guān)于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<－eq\f(1,2)，則p是q的()A．充分條件 B．必要條件C．非充分也非必要條件 D．不能確定【解析】p所對應(yīng)的集合為A＝{a|－1<a<0}，q所對應(yīng)的集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a<－\f(1,2)))))，∴B?A，∴q?p，∴p是q的必要條件．【答案】B4．(2023·天津高考)設(shè)x∈R，則“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】|x－2|<1?1<x<3，x2＋x－2>0?x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要條件．【答案】A5．有下述說法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要條件；②a＞b＞0是eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的充要條件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要條件．其中正確的說法有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個【解析】a＞b＞0?a2＞b2，a2＞b2?|a|＞|b|eq\o(?,\s\up0(/))a＞b＞0，故①錯．a(chǎn)＞b＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，但eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)eq\o(?,\s\up0(/))a＞b＞0，故②錯．a(chǎn)＞b＞0?a3＞b3，但a3＞b3eq\o(?,\s\up0(/))a＞b＞0，故③錯．【答案】A二、填空題6．“cosα＝－eq\f(\r(3),2)”是“α＝eq\f(5,6)π”的________條件．【解析】α＝eq\f(5,6)π時，cosα＝－eq\f(\r(3),2)，反之不一定成立，故應(yīng)是必要不充分條件．【答案】必要不充分7．下列說法正確的是________．①“兩角相等”是“兩角是對頂角”的充分條件；②“一個平面過另一個平面的垂線”是“這兩個平面垂直”的充分條件；③“a，b，c成等比數(shù)列”是“b2＝ac”的必要條件．【解析】因為“兩角相等”eq\o(?,\s\up0(/))“兩角是對頂角”，①錯；“a，b，c成等比數(shù)列”?“b2＝ac”，③錯．②正確．【答案】②8．直線l1：2x＋my＋1＝0與直線l2：y＝3x－1垂直的充要條件是________.【導學號：63470008】【解析】l1⊥l2，則2×3＋m×(－1)＝0，即m＝6.【答案】m＝6三、解答題9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要條件，求a的取值范圍．【解】由(x－a)2<1，得a－1<x<a＋1，由x2－5x－24<0，得－3<x<8，∵N是M的必要條件，∴M?N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))∴－2≤a≤7.即a的取值范圍是[－2,7]．10．已知p：ab≠0，a＋b＝1；q：ab≠0，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.求證：p是q的充要條件．【證明】①先證充分性成立．∵ab≠0，a＋b＝1，∴b＝1－a.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.②再證必要性成立．∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.∵a2－ab＋b2≠0，∴a＋b＝1.由①②知，p是q的充要條件．[能力提升]1．設(shè)集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件．【答案】C2．若A：log2a<1，B：關(guān)于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一個根大于零，另一個根小于零，則A是B的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由log2a<1，解得0<a<2；而方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一個根大于零，另一個根小于零的充要條件是a－2<0，解得a<2.因為命題：“若0<a<2，則a<2”是真命題，而“若a<2，則0<a<2”是假命題，所以“0<a<2”是“a<2”的充分不必要條件，所以A是B的充分不必要條件，選A.【答案】A3．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則“eq\f(fx－f－x,x)<0”是“2x>4”成立的________條件．【解析】f(x)<0即x>2；當x<0時，f(x)>0，即x<－2，∴x>2或x<－2；而2x>4?x>2，所以前者是后者的必要不充分條件．【答案】必要不充分4．已知條件p：|x－1|>a和條件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要條件的最小正整數(shù)a.【解】依題意得a>0.由條件p：|x－1|>a得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.由條件q：2x2－3x＋1>0，得x<eq\f(1,2)，或x>1.要使p是q的充分不必要條件，即“若p，則q”為真命題，逆命題為假命題，應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq\f(1,2).令a＝1，則p：x<0，或x>2，此時必有x<eq\f(1,2)，或x>1.即p?q，反之不成立．∴最小正整數(shù)a＝1.§3全稱量詞與存在量詞全稱量詞與全稱命題存在量詞與特稱命題全稱命題與特稱命題的否定1．了解全稱量詞與存在量詞的定義．2．理解全稱命題與特稱命題的含義．(重點)3．掌握全稱命題與特稱命題的否定方法．(重點)4．掌握各種命題的真假判斷及應(yīng)用．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1全稱量詞與全稱命題閱讀教材P11“存在量詞與特稱命題”以上部分，完成下列問題．“所有”“________”“______”“________”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞，含有________的命題，叫作全稱命題．【答案】每一個任何任意一條全稱量詞下列命題中，是全稱命題的有________個．(1)任何一個實數(shù)乘以0都等于0；(2)自然數(shù)都是正整數(shù)；(3)每一個向量都有大??；(4)一定存在沒有最大值的二次函數(shù)．【解析】(1)(2)(3)中都含有全稱量詞，是全稱命題．【答案】3教材整理2存在量詞與特稱命題閱讀教材P11“存在量詞與特稱命題”部分，完成下列問題．“有些”“__________”“________”“存在”都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞，含有__________的命題，叫作特稱命題．【答案】至少有一個有一個存在量詞下列語句是特稱命題的是()A．整數(shù)n是2和7的倍數(shù)B．存在整數(shù)n0，使n0能被11整除C．x>7D．任意x∈M，p(x)成立【解析】A、C不是命題，D是全稱命題，B是特稱命題．【答案】B教材整理3全稱命題與特稱命題的否定閱讀教材P12“練習”以下至P13“例2”以上部分，完成下列問題．1．全稱命題的否定要說明一個全稱命題是錯誤的，只需__________就可以了．實際上是要說明這個全稱命題的否定是正確的．全稱命題的否定是__________．2．特稱命題的否定要說明一個特稱命題“存在一些對象滿足某一性質(zhì)”是錯誤的，就要說明所有的對象都________這一性質(zhì)，實際上是要說明這個特稱命題的否定是正確的．特稱命題的否定是________．【答案】1.找出一個反例特稱命題2.不滿足全稱命題命題：“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0”的否定是________．【解析】∵命題“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0”是特稱命題，∴否定命題為：“任意x∈R，使x2＋x＋1＞0”，故答案為：“任意x∈R，使x2＋x＋1＞0”．【答案】任意x∈R，使x2＋x＋1＞0[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]全稱命題與特稱命題的判斷及真假判斷(1)下列命題是特稱命題的是()①所有的合數(shù)都是偶數(shù)；②有一個實數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0；③存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≥1；④正方形都是矩形．A．①④B．②③C．①③D．②④(2)下列命題中的真命題的個數(shù)為()①任意x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)；②存在α0，β0，使cos(α0－β0)＝cosα0－cosβ0；③任意x，y∈N，都有x－y∈N.A．0B．1C．2D．3【精彩點撥】(1)先確定命題中有哪種量詞，進而確定是哪一種命題．(2)先確定是哪種命題，再通過正面推理證明或舉反例的方法說明命題真假．【自主解答】(1)①④是全稱命題，②③是特稱命題．(2)①真命題，因為x2－x＋1－eq\f(1,2)＝x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)>0，所以x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立；②真命題，如α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)，符合題意；③假命題，如x＝1，y＝5，x－y＝－4?N.【答案】(1)B(2)C1．判斷命題是全稱命題還是特稱命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞與存在量詞，要注意，有的全稱命題不含全稱量詞，這時要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．2．全稱命題與特稱命題的真假判斷的技巧(1)全稱命題的真假判斷要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．(2)特稱命題的真假判斷要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題．[再練一題]1．指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷其真假．(1)在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點；(2)存在一個實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)；(3)對任意實數(shù)x1，x2，若x1<x2，都有tanx1<tanx2；(4)存在一個函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)．【解】(1)(3)是全稱命題，(2)(4)是特稱命題．(1)在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)與平面直角坐標系中的點是一一對應(yīng)的，所以該命題是真命題．(2)存在一個實數(shù)零，它的絕對值不是正數(shù)，所以該命題是真命題．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以該命題是假命題．(4)存在一個函數(shù)f(x)＝0，它既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)，所以該命題是真命題.全稱命題、特稱命題的否定寫出下列命題的否定：(1)三個給定產(chǎn)品都是次品；(2)數(shù)列{1,2,3,4,5}中的每一項都是偶數(shù)；(3)方程x2－8x＋15＝0有一個根是偶數(shù)；(4)有的四邊形是正方形.【導學號：63470009】【精彩點撥】先判斷是全稱命題還是特稱命題，再對命題否定．【自主解答】(1)是全稱命題，否定是：三個給定產(chǎn)品中至少有一個不是次品．(2)是全稱命題，否定為：數(shù)列{1,2,3,4,5}中至少有一項不是偶數(shù)．(3)是特稱命題，否定為：方程x2－8x＋15＝0的每一個根都不是偶數(shù)．(4)是特稱命題，否定為：所有四邊形都不是正方形．1．全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．2．常見關(guān)鍵詞的否定：關(guān)鍵詞是><都是所有有的至少有n個詞語的否定不是≤≥不都是有一個任意至多有n－1個[再練一題]2．寫出下列命題的否定并判斷其真假：(1)不論m取何實數(shù)，方程x2＋mx－1＝0必有實數(shù)根；(2)有些三角形的三條邊相等；(3)菱形的對角線互相垂直；(4)存在一個實數(shù)，使得3x<0.【解】(1)存在一個實數(shù)m，使方程x2＋mx－1＝0沒有實數(shù)根；因為該方程的判別式Δ＝m2＋4>0恒成立，故為假命題．(2)所有三角形的三條邊不全相等；顯然為假命題．(3)有的菱形的對角線不垂直；顯然為假命題．(4)對于所有實數(shù)x，都滿足3x≥0；顯然為真命題．[探究共研型]全稱命題與特殊命題的應(yīng)用探究1對于任意實數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【提示】令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥－eq\r(2)，又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．探究2存在實數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m有解，求實數(shù)m的取值范圍．【提示】令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵存在x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<eq\r(2)即可，∴所求m的取值范圍是(－∞，eq\r(2))．已知對任意的x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)4x>0恒成立，求a的取值范圍．【精彩點撥】這是一個全稱命題，可以分離參數(shù)，通過求函數(shù)的最值解不等式求得參數(shù)范圍．【自主解答】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．∴原不等式可化為：a2－a<eq\f(t＋1,t2).只使上式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)＝eq\f(t＋1,t2)在t∈(0,2]上的最小值即可．∵f(t)＝eq\f(t＋1,t2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4).∵eq\f(1,t)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，∴f(t)min＝f(2)＝eq\f(3,4).∴a2－a<eq\f(3,4).∴－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).eq\o(1.)利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧(1)含參數(shù)的全稱命題為真時，常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理，最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．(2)含參數(shù)的特稱命題為真時，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理，最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識獲得解決．eq\o(2.)能成立與恒成立問題的解法：(1)若含有參數(shù)的不等式f(x)≤m在區(qū)間D上能成立，則f(x)min≤m；若不等式f(x)>m在區(qū)間D上能成立，則f(x)max≥m.(2)若含有參數(shù)的不等式f(x)≤m在區(qū)間D上恒成立，則f(x)max≤m；若含有參數(shù)的不等式f(x)≥m在區(qū)間D上恒成立，則f(x)min≥m.(3)特稱命題是真命題，可以轉(zhuǎn)化為能成立問題，全稱命題是真命題，可以轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決．[再練一題]3．已知函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個實數(shù)c，使得f(c)>0.求實數(shù)p的取值范圍.【導學號：63470010】【解】在區(qū)間[－1,1]中至少存在一個實數(shù)c，使得f(c)>0的否定是在區(qū)間[－1,1]上的所有實數(shù)x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函數(shù)的圖像特征可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，,4－2p－2－2p2－p＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≥1或p≤－\f(1,2)，,p≥\f(3,2)或p≤－3.))∴p≥eq\f(3,2)或p≤－3.[構(gòu)建·體系]1．下列命題中全稱命題的個數(shù)是()①任意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；②所有的素數(shù)都是奇數(shù)；③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0B．1C．2D．3【解析】命題①②含有全稱量詞，命題③含有存在量詞，為特稱命題，而命題④可以敘述為“每一個三角形的內(nèi)角和都是180°”，故有三個全稱命題．【答案】D2．命題“存在x0∈R,2eq\s\up10(x0)≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2eq\s\up10(x0)＞0B．存在x0∈R,2eq\s\up10(x0)≥0C．對任意的x∈R,2x≤0D．對任意的x∈R,2x＞0【解析】命題的否定是：對任意x∈R,2x＞0.【答案】D3．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是________．①存在一個α，使tan(90°－α)＝tanα；②存在實數(shù)x0，使sinx0＝eq\f(π,2)；③對一切α，sin(180°－α)＝sinα；④sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.【解析】只有①②中的命題是特稱命題，而由于|sinx|≤1，所以sinx0＝eq\f(π,2)不成立，故②中命題為假命題．又因為當α＝45°時，tan(90°－α)＝tanα，故①中命題為真命題．【答案】①4．命題：“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________．【解析】∵命題“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”是特稱命題，∴否定命題為：“任意x∈R，使x2＋x＋1>0”，故答案為：“任意x∈R，使x2＋x＋1>0”．【答案】任意x∈R，使x2＋x＋1>05．判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，并判斷其真假．(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對所有的實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在實數(shù)x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.【解】(1)是特稱命題，是真命題．(2)是全稱命題，是假命題．(3)是特稱命題，是假命題．我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(三)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下列命題為特稱命題的是()A．偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在大于等于3的實數(shù)【解析】選項A、B、C是全稱命題，選項D含有存在量詞，故選D.【答案】D2．將命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱命題為()A．對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．對任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立【解析】本題中的命題僅保留了結(jié)論，省略了條件“任意實數(shù)x，y”，改成全稱命題為：對任意實數(shù)x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．【答案】A3．命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)【解析】否定原命題結(jié)論的同時要把量詞做相應(yīng)改變．故選D.【答案】D4．存在實數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－4bx0＋3b<0成立，則b的取值范圍是()A．b<0 B．b>eq\f(3,4)C．b<eq\f(3,4) D．b<0或b>eq\f(3,4)【解析】由題意，知Δ＝16b2－12b>0.∴b<0或b>eq\f(3,4).【答案】D5．下列命題為真命題的是()A．對任意x∈R，都有cosx<2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)<0成立C．對任意x>0，都有3x>3成立D．存在x∈Q，使方程eq\r(2)x－2＝0有解【解析】A中，由于函數(shù)y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命題；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，所以B是假命題；C中，當x＝1時，31＝3，所以C是假命題；D中，eq\r(2)x－2＝0?x＝eq\r(2)?Q，所以D是假命題，故選A.【答案】A二、填空題6．下列命題中全稱命題是________；特稱命題是________．①正方形的四條邊相等；②存在兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．【解析】①③是全稱命題，②④是特稱命題．【答案】①③②④7．(2023·寧波高二檢測)命題“任意x∈R，若y>0，則x2＋y>0”的否定是________．【解析】將“任意”換為“存在”，再否定結(jié)論．【答案】存在x0∈R，若y>0，則xeq\o\al(2,0)＋y≤08．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，則實數(shù)a的取值范圍是________.【導學號：63470011】【解析】命題為真命題時，a≤0時顯然存在x，使ax2＋2x＋a<0.當a>0時，Δ＝4－4a2>0即0<a<1.綜上可知a<1.【答案】(－∞，1)三、解答題9．判斷下列全稱命題或特稱命題的真假．(1)所有的單位向量都相等；(2)公差大于零的等差數(shù)列是遞增數(shù)列；(3)有些向量的坐標等于其起點的坐標；(4)存在x∈R，使sinx－cosx＝2.【解】(1)假命題．如果兩個單位向量e1，e2的方向不相同，盡管有|e1|＝|e2|＝1，但是e1≠e2.(2)真命題．設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差d>0，則an＋1－an＝a1＋nd－[a1＋(n－1)d]＝d>0，∴an＋1>an.所以公差大于零的等差數(shù)列是遞增數(shù)列．(3)真命題．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x1＝x1，,y2－y1＝y(tǒng)1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1，,y2＝2y1.))如A(1,3)，B(2,6)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，滿足題意．(4)假命題．由于sinx－cosx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx·\f(\r(2),2)－cosx·\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的最大值為eq\r(2)，所以不存在實數(shù)x，使sinx－cosx＝2.10．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立？并說明理由；(2)若存在實數(shù)x，使不等式m－f(x)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解】(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實數(shù)m使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化為m>f(x)．若存在實數(shù)x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．[能力提升]1．下列結(jié)論正確的個數(shù)為()①命題p“存在x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，使得cosx0≤x0”的否定為“任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosx>x”；②命題“任意x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)>0”的否定為“存在x0∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x0)<0”；③函數(shù)y＝x2－2x和函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)的單調(diào)遞增區(qū)間都是[1，＋∞)．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①顯然正確；②不正確，應(yīng)為“存在x0∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x0)≤0”；函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)，函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)，③不正確．【答案】B2．有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：p1：存在x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyp3：任意x∈[0，π]，eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinxp4：sinx＝cosy?x＋y＝eq\f(π,2)，其中的假命題是()A．p1，p4 B．p2，p4C．p1，p3 D．p2，p4【解析】由于對任意x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，故p1是假命題；當x，y，x－y有一個為2kπ(k∈Z)時，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p2是真命題．對于p3：任意x∈[0，π]，eq\r(\f(1－cos2x,2))＝eq\r(\f(2sin2x,2))＝|sinx|＝sinx為真命題．對于p4：sinx＝cosy?x＋y＝eq\f(π,2)為假命題，例如x＝π，y＝eq\f(π,2)，滿足sinx＝cosy＝0，而x＋y＝eq\f(3π,2).【答案】A3．(2023·宿州高二檢測)若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是________．【解析】由題意有：0<a2－1<1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,a2－1<1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1，,－\r(2)<a<\r(2)，))∴－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).【答案】(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))4．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))，若對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，試確定a的取值范圍．【解】根據(jù)f(x)>0得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))>lg1，即x＋eq\f(a,x)－2>1在x∈[2，＋∞)上恒成立，分離參數(shù)，得a>－x2＋3x在x∈[2，＋∞)上恒成立，設(shè)g(x)＝－x2＋3x，則g(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4)，當x∈[2，＋∞)時，g(x)max＝g(2)＝2，∴a>2，故a的取值范圍是(2，＋∞)．§4邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”1．通過數(shù)學實例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義．(重點)2．會判斷“p且q”“p或q”“非p”命題的真假．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”閱讀教材P15“例1”以上部分，完成下列問題．1．定義一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題________．2．命題p且q的真假判定pqp且q真真________真假________假真________假假________3.邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與集合中的“交集”的含義相同，可以用“且”來定義集合A與B的交集：A∩B＝________.【答案】且q2.真假假假3.{x|x∈A且x∈B}設(shè)命題p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p且q為真命題，則x＝________，y＝________.【解析】由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3，,x－y＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3.))【答案】3－3教材整理2邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”閱讀教材P16“例2”以上部分，完成下列問題．1．定義一般地，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題________．2．命題p或q的真假判定pqp或q真真________真假________假真________假假________3.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與集合中的“并集”含義相同，可以用“或”來定義集合A與B的并集：A∪B＝____________.【答案】或q2.真真真假3.{x|x∈A或x∈B}已知p：2＋3＝5，q：5＜4，下列判斷正確的是()A．p為假命題 B．q為真命題C．“p且q”為真命題 D．“p或q”為真命題【解析】p為真命題，q為假命題，故“p或q”為真，“p且q”為假．【答案】D教材整理3邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”閱讀教材P17“練習”以上部分，完成下列問題．1．定義一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作________，讀作________．2．命題﹁p的真假