第3講　小題研透-導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 2023高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課件

第3講小題研透

——導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用CONTENTS目錄01備考領(lǐng)航·重難排查02考點(diǎn)整合·研透悟通03專題檢測(cè)01一、考情分析高頻考點(diǎn)高考預(yù)測(cè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義在選擇、填空題中會(huì)繼續(xù)考查切線方程的求法及應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值及應(yīng)用，注意構(gòu)造法的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)極值求函數(shù)最值(與不等式結(jié)合轉(zhuǎn)化求解)B

2．(2021·全國(guó)乙卷)(函數(shù)的極值)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點(diǎn)，則 (

)A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)b＜a2 D．a(chǎn)b＞a2解析：當(dāng)a＞0時(shí)，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖①所示，觀察可知b＞a.當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖②所示，觀察可知a＞b.綜上，可知必有ab＞a2成立．故選D.D

3．(2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷)(函數(shù)的最值)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．解析：函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)．綜上，f(x)min＝1.14．(2022·新高考Ⅰ卷)(導(dǎo)數(shù)的幾何意義)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_________________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)1．四個(gè)易誤導(dǎo)數(shù)公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(2)若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解．3．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值(1)若f′(x0)＝0且在x0附近左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值；(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得．4．常用結(jié)論(1)在某區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件；(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．易錯(cuò)提醒

(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)分不清函數(shù)的層次致誤；(2)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的充分必要條件理解不清致誤；(3)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系運(yùn)用不當(dāng)致誤．02【例1】

(1)曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y＝2x－1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 (

)A．(1，3)

B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)．經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1，3)，(－1，3)均不在直線y＝2x－1上．故選C．導(dǎo)數(shù)的幾何意義C(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________，________．|方法總結(jié)|求曲線y＝f(x)的切線方程的3種類型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點(diǎn)斜式寫出方程；(2)已知切線的斜率k，求切線方程：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫出方程；(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求切線方程：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程．

1．曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為 (

)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：由題意可知y′＝2cosx－sinx，則y′|x＝π＝－2.所以曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y＋1－2π＝0，故選C．2．已知函數(shù)f(x)＝x3－5x＋a，直線2x＋y＋b＝0與函數(shù)f(x)的圖象相切，a，b為正實(shí)數(shù)，則a＋b的值為________．解析：f′(x)＝3x2－5，令f′(x)＝－2，解得x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，切點(diǎn)為(1，a－4)，則－4＋a＝－2－b，解得a＋b＝2；當(dāng)x＝－1時(shí)，同理可得a＋b＝－2.又a，b均為正實(shí)數(shù)，所以a＋b>0，即a＋b＝2.C

2【例2】

(1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是(

)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解析由圖可知函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，且f′(－1)＝0.對(duì)于函數(shù)y＝xf′(x)，當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，xf′(x)＞0，當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，xf′(x)＜0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，xf′(x)＞0，且當(dāng)x＝－1時(shí)，xf′(x)＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，xf′(x)＝0，顯然選項(xiàng)C符合，故選C．C(2)(多選)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′(x)，g′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，則使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范圍是 (

)A．(－∞，－3) B．(－3，0)C．(0，3) D．(3，＋∞)解析∵f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝－h(huán)(x)，故h(x)＝f(x)·g(x)為R上的奇函數(shù)，∵當(dāng)x＜0時(shí)，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0，∴h(x)＝f(x)·g(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴奇函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，作出h(x)的草圖，如圖所示，由g(－3)＝0，∴h(－3)＝－h(huán)(3)＝0，∴當(dāng)x∈(－3，0)∪(3，＋∞)時(shí)，h(x)＝f(x)·g(x)＜0，故選B、D.BD|方法總結(jié)|利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的常見題型及求解策略(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解集，但是要注意定義域；(2)解決含參數(shù)問題及不等式問題要注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題，可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理．

1．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是

(

)解析：對(duì)于導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)，當(dāng)x<0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值f′(x)先負(fù)后正，則原函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性為先減后增，當(dāng)x>0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值f′(x)先正后負(fù)再正，則原函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性為先增后減再增，只有D選項(xiàng)符合題意，故選D.D

2．已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx＋1在(1，3)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

)A．(2，18) B．[2，18]C．(－∞，2)∪[18，＋∞) D．[2，18)A

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)【例3】

(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－5x－2在區(qū)間(m，m＋5)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (

)A．(－4，1) B．(－4，0)C．[－3，1) D．(－3，1)C(2)(2022·全國(guó)乙卷)已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1＜x2，則a的取值范圍是________．|方法總結(jié)|利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值的注意事項(xiàng)(1)不能忽略函數(shù)f(x)的定義域；(2)f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件；(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值?。?4)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上有唯一極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)也是最大(小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．

D

專題檢測(cè)03A組——小題提速練D

2．“m＜4”是“函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件A

3．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是 (

)解析：法一：因?yàn)樵趨^(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(0，1)上f′(x)＞0，在區(qū)間(－1，0)和區(qū)間(1，3)上f′(x)＜0，所以函數(shù)y＝f(x)在(－3，－1)，(0，1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)，(1，3)上單調(diào)遞減，觀察各選項(xiàng)知，只有D符合題意，故選D.法二：由題圖知，y＝f′(x)在x＝－1的左側(cè)大于0，右側(cè)小于0，所以函數(shù)y＝f(x)在x＝－1處取得極大值，觀察各選項(xiàng)知，只有D符合題意，故選D.D

B

C

C7．若函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f′(x)＞f(x)成立，則 (

)A．3f(ln5)＞5f(ln3) B．3f(ln5)＝5f(ln3)C．3f(ln5)＜5f(ln3) D．3f(ln5)與5f(ln3)的大小不確定A

A

9．(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是 (

)A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanxAC

BC

11．(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則 (

)A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0，1)是曲線y＝f(x)的對(duì)稱中心D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線AC

AC

13．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x，則f(x)的最大值為________．－114．已知函數(shù)f(x)＝x－cosx(x∈R)，α，β是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，則f(cosα)________f(sinβ)(填寫“＞”“＜”或“＝”)．＞15．函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，若xf′(x)＋f(x)＝(1－x)ex，且f(2)＝0，則f(x)＞0的解集為________．(0，2)16．對(duì)于某種類型的口服藥，口服x小時(shí)后，由消化系統(tǒng)進(jìn)入血