計算機(jī)圖形學(xué)-11 曲線和曲面

曲線和曲面曲線和曲面表示術(shù)語表面建模:surfacemodeling參數(shù)表面：parametricsurface連續(xù)性continuity控制點(diǎn)

controlpoints基函數(shù)

basisfunctionsBezier曲線

Beziercurve

B樣條曲線

B-splinecurve所有的形體可以用點(diǎn)集來表示，但這種方法并不實際。通過構(gòu)成形體的某些相關(guān)特征點(diǎn)來定義形體。為何要進(jìn)行表面建模本質(zhì)的和外部的特征本質(zhì)的特征

B有四條邊B的所有邊

有相同的長度

B的四個角都是90o

外部的特征

B有二條水平邊兩條垂直邊B的頂點(diǎn)在

xyB本質(zhì)的和外部的特征用外部的特征定義的形狀依賴于所用坐標(biāo)系.

e.g.一條直線:y=3,

2≤x≤7

坐標(biāo)依賴Axisdependency273本質(zhì)的和外部的特征

用本質(zhì)的特征定義的形狀是不依賴坐標(biāo)系的axis-independent.非參數(shù)non-parametric

顯式Explicit

隱式implicit參數(shù)Parametric曲線和曲面模型表示方式顯示表示

x=x

y=f(x)明確、直接表達(dá)曲線在不同坐標(biāo)軸之間的一一對應(yīng)關(guān)系，每一個x值只對應(yīng)一個y值所以用顯式方程不能表示封閉或多值曲線；定義不是旋轉(zhuǎn)不變的描述某些曲線困難（e.g.斜率無窮大的情況）。隱式表示

E.g.,一個圓:代數(shù)二次表面

f的多項式次數(shù)<=2隱式表示

系數(shù)決定幾何特征可表示封閉和多值的曲線，但給定方程的解比想象的多。曲線段在做連結(jié)時很難確定它們的切線方向在連結(jié)點(diǎn)上是否相等隱式表示

參數(shù)表示參數(shù)曲線曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)均要表示成一個參數(shù)式p(t)=[x(t),y(t),z(t)]T參數(shù)表示參數(shù)表示特征很難確定一點(diǎn)是否在曲線上 (要從(x,y)計算出

t;)可表示封閉和多值的曲線對曲線、曲面進(jìn)行變換，可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換；便于處理斜率無限大問題

參數(shù)表示特征參數(shù)曲線術(shù)語位置矢量切矢量曲率插值逼近光順連續(xù)性

曲線位置矢量和切矢量X(t),y(t)derivativevector(x’(t),y’(t))曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)的位置矢量表示是：如用`表示對參數(shù)的求導(dǎo)，則參數(shù)曲線的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)是：設(shè)以弧長c為參數(shù)，弧RQ的彎曲程度一方面與Δφ的大小有關(guān)，一方面又與弧長ΔC有關(guān)；我們用Δφ與ΔC比的絕對值來度量弧RQ的彎曲程度，稱為弧RQ的平均曲率；當(dāng)Q點(diǎn)趨近于R點(diǎn)時，曲線在R點(diǎn)的曲率為：曲率半徑RQT(c)ΔcΔφT(c)T(c+Δc)曲率插值、逼近插值interpolation曲線通過每個數(shù)據(jù)點(diǎn)線性插值

逼近approximation數(shù)據(jù)點(diǎn)不需要通過曲線Beziercurve,B-splinecurve,NURBS光順光順的幾何含義是曲線的拐點(diǎn)不能太多，曲線拐來拐去，就會不順眼；對于平面曲線，相對光順的條件是：曲線具有二階幾何連續(xù)性；不存在多余拐點(diǎn)；曲線的曲率變化較?。环侄味囗検角€將曲線分割為幾段segments，將每段表示為多項式曲線.可用低階多項式曲線

(e.g.3次).如何保證拼接點(diǎn)處的連續(xù)性?(continuityproblem)p(u)q(u)p(0)q(1)

拼接點(diǎn)

p(1)=q(0)樣條曲線SplineCurves一般把分段多項式曲線

piecewisepolynomialcurves叫做樣條。為保證分段參數(shù)曲線從一段到另一段平滑過渡，我們可以在連接點(diǎn)處要求各種連續(xù)性條件。曲線段的連續(xù)性Continuity定義曲線間連接的光滑度的度量有兩種：函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為或n階參數(shù)連續(xù)性。幾何連續(xù)性：組合曲線在連接處滿足不同的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為;曲線光滑度的兩種方法并不矛盾，參數(shù)連續(xù)性包含在幾何連續(xù)性當(dāng)中；0階參數(shù)連續(xù)性，是指曲線相連。即第一個曲線段在相交點(diǎn)處的x，y，z值與第二個曲線段在相交點(diǎn)處的x，y，z值相等。一階參數(shù)連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)(切線)。二階參數(shù)連續(xù)性，是指兩個曲線段在交點(diǎn)處有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。高階參數(shù)連續(xù)性可類似定義。

參數(shù)連續(xù)性Parametriccontinuity對于參數(shù)曲線段，若：1），則在P處具有連續(xù)；2）滿足1）的前提下，且在P處的切矢量方向相同，大小不等，則在P處具有連續(xù)；3）滿足1）的前提下，且在P處的切矢量方向相同，大小相等，則在P處具有連續(xù)；4）滿足1），3）條件，且的大小和方向均相同，則在P處具有連續(xù)；5）滿足1），2）條件，且的方向相同，大小不相等，則在P處具有連續(xù)；

曲線段間的連續(xù)性定義多項式曲線的階數(shù)和次數(shù)

用系數(shù)直接定義曲線并不方便←曲線形狀和系數(shù)之間的關(guān)系不清楚也不直觀。

將多項式形式轉(zhuǎn)化為控制點(diǎn)controlpoints

和基函數(shù)

basisfunctions

形式(幾何形式GEOMETRICFORM)定義曲線控制點(diǎn)ControlPoints:影響曲線形狀的點(diǎn)的集合節(jié)點(diǎn)Knots:

曲線段之間的拼接點(diǎn)調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)）定義曲線給定空間n+1個點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則下列參數(shù)曲線稱為n次Bezier曲線：

Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)（調(diào)和函數(shù)），定義為：

其中，n+1個點(diǎn)P0,P1…..Pn稱為P(t)的控制頂點(diǎn)；這些點(diǎn)構(gòu)成該Bezier曲線P(t)的特征多邊形，

Bezier曲線的定義Bezier曲線示例端點(diǎn)的位置：由Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時，P(0)=P0；當(dāng)t=1時，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。Bezier曲線的性質(zhì)

端點(diǎn)的切向量

當(dāng)t=0時，P’(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，

這說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。Bezier曲線的性質(zhì)

端點(diǎn)的曲率當(dāng)t=0時，當(dāng)t=1時，上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個頂點(diǎn)有關(guān)，事實上，r階導(dǎo)矢只與（r+1）個相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。根據(jù)曲率公式：得Bezier曲線的性質(zhì)

凸包性由于所以當(dāng)t在[0，1]區(qū)間變化時，對某一個t值，P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在中各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中，Bezier曲線的性質(zhì)

p0p3convexhullBeziercurve幾何不變性這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0,1…n)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇，即有： （變量u是t的置換）事實上，上式的力學(xué)意義是P(t)可作為各點(diǎn)Pi處的重量為的力學(xué)系統(tǒng)的中心。中心的位置是不依賴于任何坐標(biāo)系的。Bezier曲線的性質(zhì)

變差縮減性若Bezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與P(t)的交點(diǎn)個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。Bezier曲線的性質(zhì)

Bezier曲線的性質(zhì)

特征多邊形的邊數(shù)與曲線的次數(shù)有關(guān)

Bezier曲線是一個整體的逼近方案（牽一發(fā)動全身）。

根據(jù)n次Bézier曲線定義公式，當(dāng)n=1時，有：

這是一條連接起點(diǎn)P0和終點(diǎn)P1的直線段。

一次Bezier曲線

當(dāng)n=2時

二次Bézier曲線是一段拋物線，它的矩陣形式是：

二次Bezier曲線

P0P1P2Bezier曲線段之間1階幾何連續(xù)：Q2，Q3，Q4位于同一條直線才能保證兩Bezier曲線段光滑連接。Bezier曲線的拼接

Q0Q1Q3Q2Q5Q4Q6在平面上給定一組特征頂點(diǎn)P0，P1，…，Pn，試采用二次Bézier曲線拼接方法，構(gòu)造一條光滑逼近曲線。

取定Qi=(1-a)Pi+aPi+1,其中i=1,2，…，n-2，0＜a＜1，分別以(i=0，1，…，n-2)為二次Bézier曲線的特征多邊形，這樣就可構(gòu)造一條二次Bézier曲線拼接成的光滑逼近線。

二次Bezier曲線的拼接P0P1P2P3P4P5Q1Q2Q3當(dāng)n=3時，有三次Bézier曲線是三次參數(shù)曲線段的一種特殊形式，其矩陣形式是：

三次Bezier曲線P0P1P2P3+P0P1P2P3Q1Q2

Q3Q0即某個指定參數(shù)值（egt=0.4）曲線上對應(yīng)點(diǎn)c(t)有兩種方法：1.將t值帶入每個基函數(shù)，計算每個基函數(shù)與對應(yīng)控制點(diǎn)乘積，最后求和。（缺點(diǎn)：數(shù)值上不穩(wěn)定）2.用deCasteljau's算法原理如何計算Bezier曲線上每一點(diǎn)坐標(biāo)deCasteljau's算法P0P1P2P3E.G.t=0.4Pr,i(t)=(1-t)Pr-1,i(t)+tP

r-1,i+1(t)第r次迭代的第i點(diǎn)由第r-1次迭代的第i點(diǎn)和第i+1點(diǎn)算出deCasteljau's算法P0P1P2P3P10P11P12E.G.t=0.4P1,i(t)=(1-t)P0,i(t)+tP

0,i+1(t)第r次迭代的第i點(diǎn)由第r-1次迭代的第i點(diǎn)和第i+1點(diǎn)算出deCasteljau's算法P0P1P2P3P10P11P12P20P21E.G.t=0.4P2,i(t)=(1-t)P1,i(t)+tP

1,i+1(t)第r次迭代的第i點(diǎn)由第r-1次迭代的第i點(diǎn)和第i+1點(diǎn)算出deCasteljau's算法P0P1P2P3P10P11P12P20P21P30可用類似方法找出Bezier曲線上參數(shù)值為t的任意一點(diǎn)。

t=0.4P3,i(t)=(1-t)P2,i(t)+tP

2,i+1(t)第r次迭代的第i點(diǎn)由第r-1次迭代的第i點(diǎn)和第i+1點(diǎn)算出其中是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為

已知n+1個控制點(diǎn)（i=0，1，….，n），也稱為特征多邊形的頂點(diǎn)，K-1次B樣條曲線的表達(dá)式是：

B樣條曲線B-SplinesCurves

調(diào)和函數(shù)定義在u取值范圍的k子區(qū)間，以節(jié)點(diǎn)向量值為起點(diǎn)B樣條曲線節(jié)點(diǎn)向量Knotvector可以定義為一個段終點(diǎn)的集合，此集合為非遞減序列

所生成的曲線僅定義在從節(jié)點(diǎn)值到的區(qū)間上第s段三次曲線段(i.e.,k=4)可以定義為:根據(jù)以上的基函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步可獲得B樣條曲線的性質(zhì)：1.局部性根據(jù)定義式可知，第s段k-1次B樣條曲線只與k個頂點(diǎn)有關(guān)，因此，當(dāng)改動其中一個控制頂點(diǎn)時，只會對相鄰的k段產(chǎn)生影響，不會對整條曲線產(chǎn)生影響。B樣條曲線的性質(zhì)P310每個控制點(diǎn)與一個調(diào)和函數(shù)對應(yīng)(局部控制)每個控制點(diǎn)可以影響最多k個曲線段的形狀，因為在此區(qū)間對應(yīng)的調(diào)和函數(shù)不為0。B樣條曲線的性質(zhì)P3102.幾何不變性由于定義式所表示的B樣條曲線是參數(shù)形式，因此，B樣條曲線的形狀與坐標(biāo)系選擇無關(guān)。3.連續(xù)性

當(dāng)給定的n+1個控制頂點(diǎn)Pi(i=0，1，…，n)互不相重，則所控制的整條B樣條曲線具有k-2階幾何連續(xù)(Gk-2)。當(dāng)給定的控制頂點(diǎn)相鄰最大重頂點(diǎn)數(shù)為h，則整條B樣條曲線具有k-h-2階幾何連續(xù)(Gn-h-2)。4.對稱性B樣條曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的幾何性質(zhì)完全相同.5.變差縮減性6.造型的靈活性p311

B樣條曲線的性質(zhì)P310均勻B樣條UniformB-splines

節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸的分布等距.e.g.,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

周期調(diào)和函數(shù)PeriodicblendingFunctionsB樣條曲線分類B樣條曲線按節(jié)點(diǎn)向量有三種分類：均勻的(uniform)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸是均勻等距分布的ti+1-ti=常數(shù)，則表示均勻B樣條曲線。e.g.{0,1,2,3,4,5,6}開放均勻的(openuniform)

除在兩端的節(jié)點(diǎn)值重復(fù)d次外其節(jié)點(diǎn)間距是均勻的e.g.{0,0,0,1,2,2,2}非均勻的(nonuniform)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸的分布是不等距的ti+1-ti≠常數(shù)，則表示非均勻B樣條函數(shù)

e.g.{0,2,2,3,3,6}常用B樣條曲線一次B樣條曲線二次B樣條曲線P312三次B樣條曲線第s段三次曲線段(i.e.,k=4)可以定義為:均勻三次B樣條一條三次B樣條是n-2個曲線段組成的序列

，逼近n+1個控制點(diǎn)Pi的權(quán)值——調(diào)和函數(shù)定義在u取值范圍的4個子區(qū)間，以節(jié)點(diǎn)向量值為起點(diǎn)均勻三次B樣條第s段三次曲線段(i.e.,k=4)可以定義為:均勻三次B樣條的基函數(shù)我們通過替換得到基函數(shù)在區(qū)間均勻三次B樣條我們可以得到第s段三次B樣條曲線的矩陣公式：1.端點(diǎn)位置矢量

曲線起點(diǎn)位于Pj-1PjPj+1中線Pj

M的1/3處，終點(diǎn)位于PjPj+1

Pj+2中線Pj+1

M’

的1/3處.2.端點(diǎn)切矢量曲線在起點(diǎn)處切矢量C’(0)=(Pj+1–Pj-1)/2,平行于Pj-1PjPj+1的邊Pj-1Pj+1

，其模長為該邊長的1/2。在終點(diǎn)處切矢量C’(1)=(Pj+2–Pj)/2,平行于PjPj+1Pj+2的邊PjPj+2

，其模長為該邊長的1/2。所以兩段曲線在節(jié)點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)。3.端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)C’’(0)=Pj-1–2Pj+Pj+1,C’’(1)=Pj–2Pj+1+Pj+2等于形成的平行四邊形的對角線。由于兩段曲線拼接點(diǎn)處平行四邊形相同所以節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)三次B樣條性質(zhì)非均勻有理B樣條NURBSNonuniformRationalB-SplineNURBS曲線的定義曲線的轉(zhuǎn)換和計算試將三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線形式，求MB,Be已知一條由幾何矩陣G1和基矩陣M1表示的曲線，要求出對應(yīng)于另一個基矩陣M2的等價幾何矩陣G2使兩條曲線相同。

三次Bezier樣條矩陣：三次均勻B樣條矩陣：曲線的轉(zhuǎn)換和計算

例：參數(shù)曲面ParametricSurface擴(kuò)展到2D參數(shù)表示

將參數(shù)個數(shù)從1增加到2:(u,w),可以在2D空間中定位每一個點(diǎn).增加一個參數(shù)z坐標(biāo)以表示2D曲面的3D結(jié)構(gòu)vu

Bezier曲面

Bezier曲面是Bezier曲線的擴(kuò)展，Bezier