題直線和圓易錯起源

→ →1．(2017·北京卷 )已知點 P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標(biāo)為(－2，0)，O為原點，則AO·AP的最大值為________．→ →解析：法一 由題意知，AO＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，則AP＝(cos α＋2，sin α)，→ → → →AO·AP＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cosα＋4≤6，故AO·AP的最大值為 6.→法二 由題意知，AO＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，→ → → →則AO·AP＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO·AP的最大值為 6.答案：6(2017·天津卷)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為____________．3．【2017江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(12,0),B(0,6),點P在圓O：x2y250上,若PAPB≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是▲.【答案】52,1【解析】設(shè)Px,y，由PAPB20，易得2xy50，由{2xy50，可得A:{x5或x2y250y5B:{x1，由2xy50得P點在圓左邊弧AB上，結(jié)合限制條件52x52，可得點P橫坐y7標(biāo)的取值范圍為 5 2,1．4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】圓22axy101的圓心到直線的距離為，則a=（）（A）43（C）3（D）2（B）3 4【答案】A【解析】圓的方程可化為(x1)2(y4)24，所以圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點到直線的距離公式得：a414，故選A．d1，解得a3a215.【2016高考上海理數(shù)】已知平行直線l1:2xy10,l2:2xy10，則l1,l2的距離___________.【答案】255【解析】利用兩平行線間距離公式得d|c1c2||11|25.a2b2221256.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線l：mxy3m30與圓x2y212交于A,B兩點，過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點，若AB23，則|CD|__________________.【答案】47.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓2y22x150,1,0的圓心為）A直線l過點B（且與x軸不重合,l交圓A于,兩點,過B作的平行線交于點.CDACADE（I）證明EAEB為定值,并寫出點E的軌跡方程；（II）設(shè)點E的軌跡為曲線1,直線l交1于,兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于,兩點,求四邊CCMNPQ形面積的取值范圍.MPNQ【答案】（Ⅰ）x2y21（y0）（II）[12,83)4 3【解析】（Ⅰ）因為|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC，所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA||EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：x2y21（y0）.43（Ⅱ）當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x,y)，N(x,y).1122yk(x1)由x2y2得(423)x282x4k2120.1kk43則x1x28k2，x1x24k212.4k24k233所以|MN|1k2|x1x2|12(k21).4k23過點B(1,0)且與l垂直的直線m：y1(x1)，A到m的距離為2，所以kk21|PQ|242(2)244k23.故四邊形MPNQ的面積k21k21S1|MN||PQ|1211.24k23可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,83).當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,83).8.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M:x2y212x14y600及其上一點A(2,4)（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點，且BCOA,求直線l的方程；（3）設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得TATPTQ,,求實數(shù)t的取值范圍?！敬鸢浮浚?）(x 6)2 (y 1)2 1（2）l:y 2x 5或y 2x 15（3）2 221 t 2 221（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為402.20設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離2 6 7 m m 5d .5 5因為BCOA224225,而MC2d2（BC2）,22m55，解得m=5或m=-15.所以255故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）設(shè)Px1,y1,Qx2,y2.因為A2,4,Tt,0,TATPTQ，所以x2x12t??①y2y14因為點Q在圓M上，所以x22y272??.②625.x1t42y1225.將①代入②，得3于是點Px1,y1既在圓M上，又在圓xt42y3225上，2225與圓xt42y225沒有公共點，從而圓x6y73所以55t4623722221t2221.55,解得因此，實數(shù)t的取值范圍是2221,2221.易錯起源1、直線的方程及應(yīng)用例1、(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2)已知兩點(3,2)和(－1,4)到直線＋＋3＝0的距離相等，則的值為()ABmxym11A．0或－2B.2或－6111C．－或2D．0或22答案(1)C(2)B解析(1)兩直線平行，則AB－AB＝0且AC－AC≠0或BC－BC≠0，所以有－2(k－3)－2(k－3)(4－122112211221k)＝0，解得k＝3或5，且滿足條件，故正確答案為C.(2)依題意，得|3m＋5||－m＋7|2＝2.m＋1m＋1所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，2所以8m＋44m－24＝0.2所以2m＋11m－6＝0.1所以m＝2或m＝－6.【變式探究】已知直線 l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，則a的值為( )A．1 B．2C．6 D．1或2答案 D解析 由l1⊥l2，則a(3－a)－2＝0，即a＝1或a＝2，選D.【名師點睛】求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究．【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線 l1，l2的斜率k1，k2存在，則 l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．求直線方程要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與 x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．3．兩個距離公式兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝|C1－C2|.22A＋B|Ax＋By＋C|(2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝000.的距離公式d＝A2＋B2易錯起源2、圓的方程及應(yīng)用例2、(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為23，且與直線l2：2x－ 5y－4＝0相切，則圓 M的方程為( )A．(x－1)2＋y2＝4

B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4

D．x2＋(y＋1)2＝4答案

(1)D

(2)B解析

(1)因為圓

C經(jīng)過(1,0)

，(3,0)

兩點，所以圓心在直線

x＝2上，又圓與

y軸相切，所以半徑

r＝2，設(shè)圓心坐標(biāo)為

(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±

3，所以選

D.【變式探究】x2y2的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(1)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1164________________．(2)兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點為P，若圓C過點P和點M(－3,2)，且圓心在直線＝1上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．y2xC答案(1)x－32＋y2＝2524(2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34解析(1)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，－2)三點，(4,0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)，335令y＝0，解得x＝2，圓心為2，0，半徑為2.得該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝25.24由直線2x＋y＋2＝0和直線ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直線方程，聯(lián)立解得交點坐標(biāo)為P(－1,0)，易求得線段MP的垂直平分線的方程為x－y＋3＝0，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)為直線x－y＋3＝0與直線y＝1x的交點，由x－y＋3＝0，1解得圓心坐2y＝2x，標(biāo)為(－6，－3)，從而得到r2＝34，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.【名師點睛】解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法： (1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程； (2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為 r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點時，方程為 x2y2＝r2.2．圓的一般方程22＋＋＝0，其中22DED2＋E2－4Fx＋y＋D＋E－4>0，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓．DxEyFF222易錯起源3、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例3、(1)已知直線2x＋(－3)－4＝0(∈R)恒過定點，若點P平分圓2＋y2－2x－4－4＝0的弦，ymmPxyMN則弦所在直線的方程是()MNA．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形 PACB的最小面積是 2，則k的值為( )A．3 B.

212C．2 2 D．2答案 (1)A (2)D解析 (1)對于直線方程 2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，則必有x＝2，所以該直線恒過定點 P(2,3)．設(shè)圓心是C，則易知C(1,2)，3－2所以kCP＝2－1＝1，由垂徑定理知 CP⊥MN，所以kMN＝－1.又弦MN過點P(2,3)，故弦MN所在直線的方程為 y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.(2)如圖，把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得x2＋(－1)2＝1，所以圓心為(0,1)，半徑為r＝1，四邊形的面yPACB積S＝2S，所以若四邊形PACB的最小面積是2，則S的最小值為1.而S＝12△PBC△PBC△PBC值為2，此時|PC|最小，|PC|為圓心到直線kx＋y＋4＝0的距離d，此時d＝|5|＝12＋22＝5，k2＋1即k2＝4，因為k>0，所以k＝2.【變式探究】(1)若直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12(2)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A(22，0)，B(0,1)到直