2019-2020學(xué)年新人教A版必修二 隨機事件的概率 學(xué)案

2019-2020學(xué)年新人教A版必修二隨機事件的概率學(xué)案隨機事件和確定事件在條件s下，一定會發(fā)生的事件，叫作相對于條件s的必然事件.在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的不可能事件.必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件.在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)牛的事件，叫作相對于條件S的隨機事件.⑸確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C…表示.頻率與概率在相同的條件下，大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率，記作P(A).事件的關(guān)系與運算互斥事件：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件.事件A+B：事件A+B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)牛.對立事件：不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件是相互對立事件.概率的幾個基本性質(zhì)概率的取值范圍：0WP⑷W1.必然事件的概率P(E)=1.不可能事件的概率P(F)=0.互斥事件概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B).若事件A與事件A互為對立事件，則P(A)=1-P(A).【知識拓展】互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.■基礎(chǔ)自測題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“廠或“X”)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(X)隨機事件和隨機試驗是一回事.(X)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.(V)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．(X)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(V)兩互斥事件的概率和為1.(X)題組二教材改編2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A?至多有一次中靶B?兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．3．有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：［11.5,15.5)，2；［15.5,19.5)，4；［19.5,23.5)，9；［23.5,27.5)，18；［27.5,31.5)，11；［31.5,35.5)，12；［35.5,39.5)，7；［39.5,43.5］，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在［27.5,43.5］內(nèi)的概率約是．答案2解析由條件可知，落在27.5,43.5內(nèi)的數(shù)據(jù)有11+12+7+3=33(個)，故所求概率約是36=1.題組三易錯自糾4．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件B.隨機事件C.不可能事件D.無法確定答案B解析拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為0~10,都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機事件．5.從｛123,4,5｝中隨機選取一個數(shù)a,從｛1,2,3｝中隨機選取一個數(shù)b則b>a的概率是()4a?4答案D31解析基本事件的個數(shù)為5X3=15,其中滿足b>a的有3種，所以b>a的概率為言二6.(2018?濟南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A=｛抽到一等品｝，事件B=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝，且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為.答案0.35解析???事件A=｛抽到一等品｝，且PGA）二0.65,???事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P二1-P（A）二1-0.65二0.35.題型分類深度剖析真陋典題浸食割軒壬點磁點寥維掾究題型一事件關(guān)系的判斷從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：至少有1個白球與至少有1個黃球；至少有1個黃球與都是黃球；恰有1個白球與恰有1個黃球；恰有1個白球與都是黃球.其中互斥而不對立的事件共有（）A.0組B.1組C.2組D.3組答案B解析①中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發(fā)生，如恰好1個白球和1個黃球，故兩個事件不是互斥事件；②中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，故兩個事件不互斥；③中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”都是指有1個白球和1個黃球，故兩個事件是同一事件；④中兩事件不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件，故選B.在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”37的概率是10,那么概率是10的事件是（）A?至多有一張移動卡B?恰有一張移動卡C.都不是移動卡D.至少有一張移動卡答案A解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出兩個球，事件A=“取出的兩個球同色”，B=“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C=“取出的兩個球中至少有一個白球”，D=“取出的兩個球不同色”，E=“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為．①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；@P(C+E)=1；⑤P(B)=P(C).答案①解析當(dāng)取出的兩個球中一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，③不正確；顯然A與D是對立事件，①正確；C+E不一定為必然事件，P(C+E)W1,④不正確；P(B)=4,P(C)二彳，⑤不正確.思維升華(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生.對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．(2)判斷互斥、對立事件的方法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．題型二隨機事件的頻率與概率-'—_'典例(2017?全國III)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：。C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為2*為+36二0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25,則Y=6X450-4X450=900；若最高氣溫位于區(qū)間［20,25)，則Y二6X300+2(450-300)-4X450=300；若最高氣溫低于20，則Y=6X200+2(450-200)-4X450=-100,所以，Y的所有可能值為900,300，-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為36+36+25+7+490=0.8.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.思維升華(1)概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.(2)隨機事件概率的求法

利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.跟蹤訓(xùn)練(2016?全國II)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)0123425保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)0123425頻數(shù)605030302010記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；求續(xù)保人本年度的平均保費的估計值.解(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2?由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為602^050=0.55，故P(A)的估計值為0.55.事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4?由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于30+301且小于4的頻率為莎廠二0.3，故P(B)的估計值為0.3.由所給數(shù)據(jù)，得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85aX0.30+aX0.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75aX0.10+2aX0.05二1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.題型三互斥事件、對立事件的概率命題點1互斥事件的概率典例經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．解記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.⑴記“至多2人排隊等候”為事件G,則G二A+B+C,所以P(G)二P(A+B+C)二P(A)+P(B)+P(C)二0.1+0.16+0.3二0.56.⑵記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.命題點2對立事件的概率典例一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球．從中隨機取出1球,求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)記事件A］二｛任取1球為紅球｝,a2二｛任取1球為黑球｝,A3二｛任取1球為白球｝,A4二｛任取1球為綠球｝,則P(A1)€，P(A2)€#，P(a3)€=6，根據(jù)題意知，事件a1,a2,a3,a4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是紅球或黑球的概率為

P(A1+A2)二P(A1)+P(A2)二12+二￥(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1+A2+A3)二P(A1)+P(A2)+P(A3)=工+2+2二1112121212-方法二(利用對立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1+A2的對立事件為a3+A4,所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1+A2)=1-P(A3+A4)二1-P(A3)213-P(A)二1——4)求有4人或5人外出家訪的概率；求有4人或5人外出家訪的概率；求至少有3人外出家訪的概率．解(1)設(shè)派出2人及以下為事件A,3人為事件B,4人為事件C,5人為事件D,6人及以上為事件E,則有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D,C,D為互斥事件，根據(jù)互斥事件概率的加法公式可知，1112⑵因為a1+a2+a3的對立事件為A4,所以p(a1+a2+a3)=1-p(a4)二11112思維升華求復(fù)雜事件的概率的兩種方法求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．跟蹤訓(xùn)練某學(xué)校在教師外出家訪了解學(xué)生家長對孩子的學(xué)習(xí)關(guān)心情況活動中，一個月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示：派出人數(shù)W234526概率0.10.460.30.10.04P(C+D)二P(C)+P(D)二0.3+0.1二0.4.（2）至少有3人外出家訪的對立事件為2人及以下，所以由對立事件的概率可知,P=1-P（A）=1-0.1二0.9.■思想方法■用正難則反思想求對立事件的概率典例（12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.（1）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（2）求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.（將頻率視為概率）思想方法指導(dǎo)若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.規(guī)范解答解⑴由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.[2分]該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X101B0=1.9（分鐘）.[6分]⑵記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A】，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為3分鐘”，將頻率視

為概率，得恥1）二而=5，恥2）二而=厲［9分］117P（A）二1-P（A1）-P（A2）二1-5-百二幣［11分］故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為￡.［12分］課時作業(yè)"基礎(chǔ)保分練1.有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”的關(guān)系為是（）兩事件是互斥但非對立事件兩事件是對立事件C?兩事件的和事件是不可能事件D.兩事件的積事件是必然事件答案A解析由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件.2?某袋中有編號為123,4,5,6的6個球（小球除編號外完全相同），甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的是是率1-5概AC.6"5C.6D-36答案C解析設(shè)a,b分別為甲、乙摸出球的編號?由題意，摸球試驗共有36種不同的結(jié)果，滿足a二b的基本事件共有6種?所以摸出編號不同的概率P=1-36=5.3.（2016?天津）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是甲獲勝的概率是3則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ?2A-6B.5

1d?3答案A解析事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件所以甲不輸?shù)母怕蕿?+話5.4.(2017.湖南衡陽八中、長郡中學(xué)等十三校二模同學(xué)聚會上，某同學(xué)從《愛你一萬年》《十年》、《父親》、《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進行表演，則《愛你一萬年》未被選取的概率為(1B-21B-2D，5A-3C-I答案解析分別記《愛你一萬年》《十年》、《父親》、《單身情歌》為A1,A2,A3,A4,從這四首歌中選出兩首歌進行表演的所有可能的結(jié)果為A1A2，A]A3，A]A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6個，其中A]未被選取的結(jié)果有3個，所以所求概率p二6二2?故選b.解析5?袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球.TOC\o"1-5"\h\z在上述事件中，是對立事件的為()A.①B.②③D.④答案B解析至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生????②中兩事件是對立事件．6.擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點”，若B表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A+B發(fā)生的概率為()1C.|B-2C.|D-1答案C

解析擲一個骰子的試驗有6種可能的結(jié)果．依題意知PGA)二2二1，P(B)二4二2，636321:.P(B)二1?P(B)二1「3二3，*?*B表示“出現(xiàn)5點或6點”，因此事件A與B互斥，從而P(A+~B)=P(A)+P(萬)二3+3二2?7.(2017.武漢模擬)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：TOC\o"1-5"\h\z907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為.答案0.25解析20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為爲(wèi)二0.25，以此估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.8.若隨機事件A,B互斥，A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5，則實數(shù)a的取值范圍是.答案(答案(4,4_0<20<2-a<1,

即j0<4a-5<1,

^3a-3W1,0vP(A)v1,<解析由題意可知0<P(B)<1,(P(A)+P(B)W1,1<a<2，j5354解得4<a<2，所以4<a<3-(2017(2017?池州模擬)小明忘記了微信登錄密碼的后兩位，只記得最后一位是字母A,a,B,b中的一個,另一位是數(shù)字4,5,6中的一個,則小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是.答案右解析小明輸入密碼后兩位的所有情況為(4,A),(4,a),(4,B),(4,b),(5,A),(5,a),(5,B),(5,b),(6,A),(6,a),(6,B),(6,b),共12種，而能成功登陸的密碼只有一種，故小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是吉.10．經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：排隊人數(shù)01234三5概率0.10.160.30.30.10.04則該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是．答案0.74解析由表格可得至少有2人排隊的概率P二0.3+0.3+0.1+0.04二0.74.11.(2017?武漢調(diào)研)某鮮花店將一個月(30天)某品種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計如下表,將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率.日銷售量(枝)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)銷售天數(shù)3天5天13天6天3天求這30天中日銷售量低于100枝的概率；若此花店在日銷售量低于100枝的時候選擇2天做促銷活動，求這2天恰好是在銷售量低于50枝時的概率.解(1)設(shè)日銷售量為x枝，則P(0Wxv50)二詁令，P(50Wxv100)二30二6，所以P(0Wxv100)二令+6二急(2)日銷售量低于100枝的共有8天，從中任選2天做促銷活動，共有28種情況；日銷售量低于50枝的共有3天，從中任選2天做促銷活動，共有3種情況．所以所求概率P二雖某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單

位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個?設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求：P(A),P(B)，P(C)；1張獎券的中獎概率；1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.(1)P(A)(1)P(A)二10oo,P(B)二10二丄1000100P(C)二50二丄1000-20-故事件A，B，c的概率分別為血，盅金(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M,則M二A+B+C.VA,B,C兩兩互斥，???P(M)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)1+10+5061一1000一1000.故1張獎券的中獎概率為帀.⑶設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，??砂二1_p(A+B)二1一需+冊器故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為器.V枝能提升練某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是，他屬于不超過2個小組的概TOC\o"1-5"\h\z率是?313答案—答案515解析“至少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況故他屬于至少2個小組的概率為P二11+10+7的概率為P二6+7+8+8+10+10+11“不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”，其對立事件是“3個小組”.故他屬于不超過2個小組的概率是P故他屬于不超過2個小組的概率是P二16+7+8+8+10+10+1115袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，取到紅球的概率是取到黑球或黃球的概率是誇，取到黃球或綠球的概率也是試求取到黑球、黃球和綠球的概率各是多少?解方法一從袋中選取一個球，己事件“摸到紅球”、“摸到黑球”、“摸到黃球”、“摸到綠球”分別是A,B,C,D,則有P⑷二3,P（B+C）二P（B）+P（C）二詁P(C+D)二P(C)+P(D)二12fp(B+c+d)=p(B)+P(C)+P(D)二1-P(A)=1-|=|，解得P(B)［玖c）=6，p（D）*因此取到黑球、黃球、綠球的概率分別1因此取到黑球、黃球、綠球的概率分別14.方法二設(shè)紅球有n個，則*2=3，所以n=4，即紅球有4個又取到黑球或黃球的概率是|,所以黑球和黃球共5個.又總球數(shù)是12，所以綠球有12-4-5=3（個）.又取到黃球或綠球的概率也是|,所以黃球和綠球共5個，而綠球有3個，所以黃球有5-3=2（個）?所以黑球有12-4-3-2=3（個）.因此取到黑球、黃球、綠球的概率分別是3=12=13=1124'126'124-拓展沖刺練某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨