初中數學冀教版八年級上冊第十六章軸對稱和中心對稱單元復習（全國一等獎）

角的平分線學習目標：1.理解并掌握角平分線的性質定理及其逆定理.（難點）2.能利用角平分線的性質定理及其逆定理證明相關結論并應用.(重點）3.能利用尺規(guī)作出一個已知角的角平分線.學習重點：角平分線的性質定理及其逆定理.學習難點：角平分線的性質定理及其逆定理的應用.自主學習自主學習知識鏈接角是軸對稱圖形嗎？你能確定角的對稱軸嗎？試著在下圖中畫出∠ABC的對稱軸.二、新知預習2.在一張半透明的紙上畫出一個角（∠AOB），將紙對折，使得這個角的兩邊重合，從中你能得什么結論？答：________________________________________________________________________.按照下圖所示的過程，將你畫出的∠AOB，依照上述方法對折后；設折痕為直線OC；再折紙，設折痕為直線n，直線n與邊OA，OB分別交于點D，E，與折線OC交于點P；將紙展開平鋪后，猜想線段PD與線段PE，線段OD與線段OE分別具有怎樣的數量關系，并說明理由.猜想：_____________________________________________.得出結論：__________________________________________________.下面我們就來證明折紙過程中發(fā)現(xiàn)的結論：已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.證明：在△______和△______中，∵__________________________________________________,∴△______≌△______.∴____________________________.于是我們得到角平分線的性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離______.我們已經學習過線段垂直平分線的性質的逆命題是一個真命題（定理）.角平分線的性質定理的逆命題呢？（1）角平分線的性質定理的逆命題：________________________________________________________________.根據這個逆命題的內容，畫出圖形；解題圖形，提出你對這個逆命題是否正確的猜想；猜想：_____________________________________________.設法驗證你的猜想；已知：如圖，P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E且PD=PE.求證：OC是∠AOB的平分線證明：在△______和△______中，∵__________________________________________________,∴△______≌△______.∴____________________________.于是我們得到角平分線性質定理的逆命題是一個_____命題.即_____________________________________________________________________.自學自測1.如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面積是________．2.如圖，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點F．則∠FAC=_______．四、我的疑惑_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________合作探究合作探究要點探究探究點1：角平分線的性質定理問題1：如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.證明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.【歸納總結】角平分線的性質是判定線段相等的一個重要依據，在運用時一定要注意是兩條“垂線段”相等．【針對訓練】如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.問題2：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3【歸納總結】利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【針對訓練】如圖，OP是∠MON的角平分線，點A是ON上一點，作線段OA的垂直平分線交OM于點B，過點A作CA⊥ON交OP于點C，連結BC，AB=10cm，CA=4cm，則△OBC的面積為________cm2．探究點2：角平分線的性質定理的逆定理問題1：如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．【歸納總結】證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內部到角兩邊距離相等的點在角平分線上．【針對訓練】如圖，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．（提示：作輔助線如圖所示）問題2：如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，下面給出四個結論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結論有()A．1個B．2個C．3個D．4個【歸納總結】運用角平分線的性質或判定時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．【針對訓練】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結論：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D兩點一定在線段EC的垂直平分線上，其中正確的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個探究點3：用尺規(guī)作已知角的角平分線問題：如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E、F為圓心，大于eq\f(1,2)EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度數．【歸納總結】通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關鍵．【針對訓練】如圖，有一塊三角形的閑地，其三邊長分別為30m，40m，50m，現(xiàn)要把它分成面積比為3:4:5的三部分，分別種植不同的花.請你設計一種方案，保留作圖痕跡.二、課堂小結內容角平分線的性質定理角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.如果點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，那么PD＝________．角平分線性質定理的逆定理角的內部到角的兩邊距離________的點在角的平分線上．如果點P為∠AOB內一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，且PD＝PE，那么點P在∠AOB的平分線上.角平分線的作法(1)作法：①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；②分別以M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長為半徑畫弧，兩弧相交在∠AOB的內部于點C；③畫射線OC，射線OC即為所求．(2)上述作角平分線的理論依據是________．當堂檢測當堂檢測1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=_______度，BE=________.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是______.3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等4.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．5.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，\求證：點F在∠DAE的平分線上．當堂檢測參考答案：BFA解：AD平分∠BAC．理由如下：∵