2018屆數(shù)學大復習第七章立體幾何第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE26-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。2016，全國卷Ⅰ，6,5分（表面積）2016,全國卷Ⅱ，6，5分（表面積）2016，全國卷Ⅲ，10，5分（體積最大值）2016，北京卷，6,5分（三棱錐體積)2016，浙江卷,14，6分(體積最大值)本節(jié)主要考查空間幾何體表面積與體積的計算,同時考查空間幾何體的結構特征、三視圖等內(nèi)容，解題要求有較強的空間想象能力和計算能力，廣泛應用轉化與化歸思想。微知識小題練自|主｜排|查1．幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各個面的面積的和。（2）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)。(3）若圓柱、圓錐的底面半徑為r，母線長l，則其表面積為S柱＝2πr2＋2πrl，S錐＝πr2＋πrl。(4）若圓臺的上下底面半徑為r1，r2，母線長為l,則圓臺的表面積為S＝π(req\o\al(2,1）＋req\o\al(2，2)）＋π(r1＋r2）l。（5）球的表面積為4πR2（球半徑是R)。2．幾何體的體積（1)V柱體＝Sh。(2)V錐體＝eq\f(1,3）Sh。(3）V臺體＝eq\f（1,3）（S′＋eq\r(SS′）＋S）h，V圓臺＝eq\f(1,3）π(req\o\al(2,1）＋r1r2＋req\o\al（2，2)）h，V球＝eq\f（4，3)πR3(球半徑是R)。微點提醒1．求多面體的表面積，應找到其特征幾何圖形,它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素的橋梁.求旋轉體(除球外)的側面積時需要將曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面積之和.2．求幾何體的體積，要注意分割與補形。將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規(guī)則的幾何體求解。?。}｜快|練一、走進教材1．(必修2P28A組T3【解析】設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝eq\f（1，3）×eq\f(1，2）×eq\f(1，2）a×eq\f(1，2)b×eq\f（1,2)c＝eq\f（1,48）abc,剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1，48）abc＝eq\f（47,48）abc，所以V1∶V2＝1∶47?！敬鸢浮?∶472．（必修2P36A組T10改編)一直角三角形的三邊長分別為6cm,8cm，10cm【解析】旋轉一周所得幾何體為以eq\f(24，5)cm為半徑的兩個同底面的圓錐，其表面積為S＝π×eq\f（24，5)×6＋π×eq\f(24,5）×8＝eq\f（336,5）π（cm2).【答案】eq\f（336,5）πcm2二、雙基查驗1．(2016·全國卷Ⅱ）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（)A．20π B．24πC．28π D．32π【解析】該幾何體是圓錐與圓柱的組合體,由三視圖可知圓柱底面圓的半徑r＝2,底面圓的周長c＝2πr＝4π，圓錐的母線長l＝eq\r(22＋2\r(3)2）＝4，圓柱的高h＝4,所以該幾何體的表面積S表＝πr2＋ch＋eq\f（1，2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π。故選C?！敬鸢浮緾2．已知正四棱錐的側棱與底面的邊長都為3eq\r(2)，則這個四棱錐的外接球的表面積為(）A．12π B．36πC．72π D．108π【解析】依題意得，該正四棱錐的底面對角線長為3eq\r（2）×eq\r（2)＝6，高為eq\r（3\r（2)2－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）×6）)2)＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3,所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3,所以其外接球的表面積等于4π×32＝36π。故選B.【答案】B3．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為__________?！窘馕觥吭O圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr。解得r＝1，即直徑為2?！敬鸢浮?4．(2016·北京高考)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________。【解析】通過俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形，則四棱柱的底面積S＝eq\f（1＋2×1,2)＝eq\f（3,2)，通過側視圖可知四棱柱的高h＝1，所以該四棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(3,2)。【答案】eq\f（3，2）5．（2016·赤峰模擬)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱和底面垂直，且所有棱長都相等，若該三棱柱的各頂點都在球O的表面上，且球O【解析】如圖，設三棱柱ABC－A1B1C1的棱長為2a，在△OD2＋DC2＝OC2，即a2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3）a，3）)）2＝r2，所以r2＝eq\f(7a2，3），S球表＝4πr2＝eq\f(28，3)πa2＝7π，所以a2＝eq\f(3，4），即a＝eq\f（\r(3)，2)，V三棱柱＝eq\f（\r（3),4）(2a）2·2a＝2eq\r(3）a3＝2eq\r（3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3），2））)3＝eq\f（9，4）?！敬鸢浮縠q\f(9，4)微考點大課堂考點一空間幾何體的表面積【典例1】（1）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．8＋2eq\r（2) B．11＋2eq\r（2)C．14＋2eq\r(2） D．15（2）(2016·全國卷Ⅰ)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑。若該幾何體的體積是eq\f（28π,3)，則它的表面積是()A．17π B．18πC．20π D．28π【解析】(1）由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示。直角梯形斜腰長為eq\r（12＋12）＝eq\r（2)，所以底面周長為4＋eq\r（2)，側面積為2×(4＋eq\r(2)）＝8＋2eq\r（2),兩底面的面積和為2×eq\f(1，2)×1×(1＋2）＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2eq\r（2）＋3＝11＋2eq\r（2).故選B。(2)由三視圖可得此幾何體為一個球切割掉eq\f(1，8）后剩下的幾何體,設球的半徑為r，故eq\f（7，8)×eq\f(4，3）πr3＝eq\f（28，3)π，所以r＝2，表面積S＝eq\f(7,8)×4πr2＋eq\f(3,4)πr2＝17π。故選A?！敬鸢浮浚?）B(2)A反思歸納以三視圖為載體的幾何體表面積的求法1．恰當分析給出的三視圖。2．找準幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系。3．注意組合體的表面積問題中重合部分的處理?！咀兪接柧殹恳粋€空間幾何體的三視圖及其相關數(shù)據(jù)如圖所示,則這個空間幾何體的表面積是（）A.eq\f(11π,2） B。eq\f(11π，2)＋6C．11π D。eq\f(11π,2)＋3eq\r(3）【解析】這個空間幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半。根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知這個圓臺的上底面半徑是1,下底面半徑是2，高為eq\r(3),母線長是2，其表面積是兩個半圓、圓臺側面積的一半和一個軸截面的面積之和,故S＝eq\f(1，2）π×12＋eq\f(1,2）π×22＋eq\f（1，2)π（1＋2）×2＋eq\f（1,2)×(2＋4）×eq\r(3)＝eq\f（11π,2）＋3eq\r（3)。故選D?！敬鸢浮緿考點二空間幾何體的體積……多維探究角度一：以三視圖為背景的體積問題【典例2】（2016·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm），則該幾何體的表面積是________cm2,體積是________cm3.【解析】將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個長方體組合而成，其體積V＝2×2×2×4＝32cm3，表面積為6×2×4＋6×2×2＝72cm2.【答案】7232角度二：利用割補法、換底法求體積【典例3】如圖所示，多面體是經(jīng)過正四棱柱底面頂點B作截面A1BC1D1而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1與底面ABCD成45°的二面角，AB＝1，則這個多面體的體積為（）A。eq\f（\r(2)，2) B.eq\f（\r(3)，3）C。eq\f（\r（2）,4） D。eq\r（2)【解析】以正方形ABCD為底面，DD1為棱將題圖補成一個正四棱柱ABCD－A2B1C2D1∵截面A1BC1D1與底面ABCD成45°的二面角，∴原多面體的體積恰好為補成的正四棱柱體積的一半?！逜A1＝CC1,易知∠D1BD為截面A1BC1D1與底面ABCD所成的二面角的平面角?！唷螪1BD＝45°?！逜B＝1，∴BD＝eq\r（2），DD1＝eq\r(2)。∴正四棱柱ABCD－A2B1C2D1的體積V＝1×1×eq\r（2)＝eq\r（2）。∴所求多面體的體積為eq\f(\r（2），2)。故選A.【答案】A反思歸納1。分割法：通過對不規(guī)則幾何體進行分割，化為規(guī)則幾何體，分別求出體積后再相加即得所求幾何體體積。2.補體法：通過補體構造出一個規(guī)則幾何體，然后進行計算.3.換底法：三棱錐換底法通常在高或底面積不好求時使用。4.三棱錐的體積求解具有較多的靈活性，因為三棱錐的任意一個頂點都可以作為棱錐的頂點，任何一個面都可以作為棱錐的底面,常常需要對其頂點和底面進行轉換，以方便求解.考點三與球有關的“切”、“接”問題……母題發(fā)散【典例4】已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O－ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A．36π B．64πC．144π D．256π【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O－ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VO－ABC＝VC－AOB＝eq\f（1,3)×eq\f（1，2)R2×R＝eq\f(1，6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π，故選C。【答案】C【母題變式】1.若本典例條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上"，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12,求球O【解析】設球的半徑為R，因為直三棱柱中AB＝3,AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC,所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑.取BC中點D，則OD⊥底面ABC,則O在側面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑,所以2R＝eq\r（122＋52）＝13，即R＝eq\f(13,2）.【答案】eq\f（13，2）2．若本典例條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4,底面邊長為2，求該球的體積?！窘馕觥咳鐖D，設球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r）2＋(eq\r(2）)2＝r2,解得r＝eq\f（9,4),則球O的體積V球＝eq\f（4,3）πr3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9,4)））3＝eq\f(243π，16）.【答案】eq\f(243π,16)反思歸納空間幾何體與球接、切問題的求解方法1.求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解。2.若球面上四點P，A，B,C構成的三條線段PA,PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b,PC＝c,一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解?！就卣棺兪健?2016·全國卷Ⅲ）在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球。若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8,AA1＝3，則VA．4π B。eq\f(9π，2）C．6π D.eq\f（32π,3)【解析】由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切,若與三個側面都相切,可求得球的半徑為2，球的直徑為4,超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R＝eq\f(3，2），該球的體積最大，Vmax＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f（27，8）＝eq\f(9π，2)。故選B?！敬鸢浮緽微考場新提升1．一個球的表面積是16π,那么這個球的體積為(）A。eq\f(16,3）π B.eq\f（32,3)πC．16π D．24π解析設球的半徑為R，則表面積是16π，即4πR2＝16π,解得R＝2。所以體積為eq\f(4，3)πR3＝eq\f（32π，3).故選B。答案B2．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若將△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的側面積為()A．15π B．20πC．30π D．40π解析依題意知幾何體為底面半徑為3，母線長為5的圓錐,所得幾何體的側面積等于π×3×5＝15π。故選A。答案A3．如圖是一幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（)A．9 B．10C．12 D．18解析由三視圖還原出幾何體的直觀圖如圖,SD⊥平面ABCD，AB與DC平行，AB＝2，DC＝4，AD＝3，SD＝3，所求體積V＝eq\f(1,3)×eq\f（1，2）×（2＋4）×3×3＝9。故選A.答案A4．(2016·四川高考）已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________。解析由正視圖知，底面三角形是腰長為2，底邊為2eq\r(3）的等腰三角形，三棱錐的高為1,所以該三棱錐的體積V＝eq\f(1，3)×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）×2\r（3)×1））×1＝eq\f（\r(3）,3)。答案eq\f（\r（3），3）5.中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸）。若π取3，其體積為12.6（立方寸），則圖中的x為________。解析由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成,由題意得（5。4－x)×3×1＋π·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）2x＝12。6，解得x＝1。6。答案1。6微專題巧突破巧定各類外接球的球心簡單多面體的外接球問題是立體幾何中的難點也是重要的考點，此類問題最能有效考查考生的空間想象能力，自然受到命題者的青睞。有些同學對于此類問題的解答,往往不知從何處入手，其實簡單多面體的外接球問題實質上就是解決球的半徑和確定球心位置的問題，其中球心的確定是關鍵，抓住球心就抓住了球的位置。為此下面介紹了幾個解決球類問題的策略，可以快速秒殺各類球的球心。一、由球的定義確定球心若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。也就是說如果一個定點到一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體外接球的球心。深刻理解球的定義，可以得到簡單多面體的一些常見結論：1．長方體或正方體的外接球的球心是其體對角線的中點;2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點;3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點；4．正棱錐的外接球球心在其高線上,具體位置可通過構造直角三角形運用勾股定理計算得到；5．若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點就是其外接球的球心?！镜淅?】已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．16π B．20πC．24π D．32π【解析】已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，可求得底面邊長為2，故球的直徑為eq\r(22＋22＋42）＝2eq\r（6），半徑為eq\r(6）,球的表面積為24π，故選C.【答案】C【小結】本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質來迅速求解的。【變式訓練1】已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為（)A．16π B．4πC．8π D．2π【解析】由三視圖可知該三棱錐的高為1，底面為一個直角三角形，由于底面斜邊上的中線長為1，則底面外接圓的半徑為1，頂點在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上.由于頂點到底面的距離與底面外接圓的半徑相等，則三棱錐的外接球的半徑R為1，則三棱錐的外接球的表面積S＝4πR2＝4π,故選B?！敬鸢浮緽二、構造長方體或正方體確定球心1．正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐，可將三棱錐補形成長方體或正方體;2．同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐，可將三棱錐補形成長方體或正方體；3．若已知棱錐含有線面垂直關系,則可將棱錐補形成長方體或正方體；4．若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補形成長方體或正方體.【典例2】若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為eq\r（3)，則其外接球的體積是________?！窘馕觥咳忮F的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為eq\r(3），則可將三棱錐補形成正方體.從而外接球的直徑為3，半徑為eq\f(3,2），故所求外接球的體積V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,2））)3＝eq\f(9π，2）?！敬鸢浮縠q\f（9π,2）【小結】一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a，b，c，則可以將這個三棱錐補形成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐外接球的直徑。設其外接球的半徑為R，則2R＝eq\r（a2＋b2＋c2）。【變式訓練2】（2016·洛陽統(tǒng)一考試)如圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為（）A．200π B．150πC．100π D．50π【解析】由三視圖知，該幾何體可以由一個長方體截去3個角后得到，該長方體的長、寬、高分別為5、4、3，所以其外接球半徑R滿足2R＝eq\r(42＋32＋52)＝5eq\r（2),所以該幾何體的外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5\r（2）,2）)）2＝50π.故選D。【答案】D三、由性質確定球心利用球心O與截面圓圓心O′的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心?！镜淅?】正三棱錐A－BCD內(nèi)接于