2018屆數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)第七章立體幾何第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。2016，全國(guó)卷Ⅰ，11，5分(面面平行性質(zhì)、線線角）2016，全國(guó)卷Ⅱ，14，5分（線面平行性質(zhì)）2016，北京卷，17,14分（線面平行、垂直的判定)2014，全國(guó)卷Ⅱ，18（Ⅰ)，12分(線面平行的判定與性質(zhì))1。直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容,涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容;2。題型主要以解答題的形式出現(xiàn),解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.微知識(shí)小題練自|主|排｜查1．直線與平面平行(1）判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為線線平行?線面平行）。eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（l?α；，a?α;,a∥l)）?l∥α（2）性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行(簡(jiǎn)記線面平行?線線平行）。eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a∥α；,a?β;，α∩β＝b））?a∥b2.平面與平面平行（1）判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行"）(2)兩平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理如果兩平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行3.平行關(guān)系中的兩個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β。（2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行,即若α∥β,β∥γ，則α∥γ。微點(diǎn)提醒1．推證線面平行時(shí)，一定要說(shuō)明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi).2．推證面面平行時(shí)，一定要說(shuō)明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面。3．利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)明經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行。小|題|快｜練一、走進(jìn)教材1．（必修2P61A組T1(1)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α，則b∥α【解析】A錯(cuò)誤，因a可能在經(jīng)過(guò)b的平面內(nèi);B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面;C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交；D正確，由a∥α，可得a平行于經(jīng)過(guò)直線a的平面與α的交線c，即a∥c,又a∥b，所以b∥c,b?α,c?α，所以b∥α.故選D?！敬鸢浮緿2．(必修2P56練習(xí)T2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是DD1的中點(diǎn),則BD1與平面ACE【解析】連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO,在△BDD1中，點(diǎn)E,O分別是DD1，BD的中點(diǎn)，則EO∥BD1,又因?yàn)镋O?平面ACE，BD1?平面AEC,所以BD1∥平面ACE?！敬鸢浮科叫卸㈦p基查驗(yàn)1．若一直線上有相異三個(gè)點(diǎn)A,B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是（)A．l∥α B．l⊥αC．l與α相交且不垂直 D．l∥α或l?α【解析】由于l上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面α的距離相等，則l與α可以平行，l?α?xí)r也成立。故選D?！敬鸢浮緿2．下列條件中,能作為兩平面平行的充分條件的是()A．一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面B．一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C．一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D．一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面【解析】由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個(gè)平面時(shí)，兩平面才能平行，故選D?！敬鸢浮緿3．已知直線a，b,平面α，則以下三個(gè)命題：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥b，a∥α，則b∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b。其中真命題的個(gè)數(shù)是(）A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【解析】對(duì)于命題①，若a∥b,b?α,則應(yīng)有a∥α或a?α，所以①不正確；對(duì)于命題②，若a∥b，a∥α,則應(yīng)有b∥α或b?α，因此②也不正確;對(duì)于命題③,若a∥α，b∥α,則應(yīng)有a∥b或a與b相交或a與b異面，因此③也不正確。故選A?！敬鸢浮緼4．已知平面α∥β，直線a?α,有下列命題:①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直。其中真命題的序號(hào)是________?！窘馕觥坑擅婷嫫叫泻途€面平行的性質(zhì)可知，過(guò)a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯(cuò)誤；②正確；平面β內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可,其中包括異面垂直，故③錯(cuò)誤.【答案】②5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO【解析】如圖所示，假設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA。連接DB，因?yàn)镻,O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B,所以平面D1BQ∥平面PAO。故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),有平面D1BQ∥平面PAO.【答案】Q為CC1的中點(diǎn)微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一線面平行的判定及性質(zhì)【典例1】如圖,四棱錐P－ABCD中，AD∥BC,AB＝BC＝eq\f（1,2）AD,E,F，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)。(1)求證:AP∥平面BEF；(2）求證:GH∥平面PAD?！咀C明】(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f（1，2）AD，∴BC綊AE,∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)。又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP，F(xiàn)O?平面BEF，AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF.（2）連接FH，OH，∵F,H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是AC的中點(diǎn),H是CD的中點(diǎn),∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD。又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD。又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD。反思?xì)w納判斷或證明線面平行的常用方法1．利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）；2．利用線面平行的判定定理(a?α,b?α，a∥b?a∥α)；3．利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β)；4．利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β,a∥α?a∥β).【變式訓(xùn)練】如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH。求證:AP∥GH?！咀C明】如圖所示,連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM。又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD?！咂矫鍼AHG∩平面BMD＝GH,且PA?平面PAHG，∴PA∥GH?？键c(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì)【典例2】（2016·山東高考)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn),EF∥DB。(1）已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB；（2）已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH∥平面ABC.【證明】（1）因?yàn)镋F∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF,連接DE。因?yàn)锳E＝EC，D為AC的中點(diǎn)，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因?yàn)镕B?平面BDEF，所以AC⊥FB。(2)設(shè)FC的中點(diǎn)為I,連接GI，HI。在△CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GI∥EF。又EF∥DB，所以GI∥DB。在△CFB中,因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因?yàn)镚H?平面GHI，所以GH∥平面ABC。反思?xì)w納證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；（2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行"的相互轉(zhuǎn)化?！咀兪接?xùn)練】（2016·衡水模擬）如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長(zhǎng)為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC。（1）求幾何體ABCDFE的體積；(2）證明：平面ADE∥平面BCF.【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，ED的中點(diǎn)G，連接AO，OF,FG，AG?！逜O⊥BC，AO?平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED?！逜O＝FG＝eq\r（3）,∴VABCDFE＝2VF—BCED＝eq\f(1，3)×4×eq\r(3）×2＝eq\f（8\r(3),3)。(2）證明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，∴四邊形AOFG為平行四邊形，∴AG∥OF。又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE?平面ADE，AG?平面ADE,FO∩BC＝O，F(xiàn)O?平面BCF，BC?平面BCF，∴平面ADE∥平面BCF?！敬鸢浮?1)eq\f(8\r(3),3）（2)見(jiàn)解析考點(diǎn)三平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題【典例3】(2016·北京高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中,PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC。(1）求證:DC⊥平面PAC;（2）求證:平面PAB⊥平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)。在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說(shuō)明理由?！窘馕觥?1）證明：因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC。又因?yàn)镈C⊥AC，PC∩AC＝C,所以DC⊥平面PAC。（2)證明：因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB，又∵PC∩AC＝C。所以AB⊥平面PAC，AB?平面PAB。所以平面PAB⊥平面PAC。（3）棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF。證明如下:如圖,取PB中點(diǎn)F，連接EF，CE,CF。又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)镻A?平面CEF,且EF?平面CEF，所以PA∥平面CEF?！敬鸢浮浚?)(2)見(jiàn)解析(3）存在，理由見(jiàn)解析反思?xì)w納解決探究性問(wèn)題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾）,則不存在。而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明。【變式訓(xùn)練】如圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD(1)證明：平面AB1C∥平面DA1C（2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1？若存在,確定點(diǎn)P【解析】(1）證明：由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性質(zhì)知，AB1∥DC1，∵AB1?平面DA1C1，DC1?平面DA1C1，∴AB1∥平面DA同理可證B1C∥平面DA1C1，而AB1∩B1C＝由面面平行的判定定理知，平面AB1C∥平面DA1C(2)存在這樣的點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1∵A1B1綊AB綊DC，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形?！郃1D∥B1C在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P,使C1C＝CP，連接∵B1B綊C1C，∴B1B綊CP∴四邊形BB1CP為平行四邊形，則BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C【答案】（1)見(jiàn)解析(2)存在P在C1C的延長(zhǎng)線上，且C1C微考場(chǎng)新提升1．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分不必要條件是（)A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α解析由m∥l1，m?α,l1?β，得l1∥α,同理l2∥α，又l1,l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個(gè)充分不必要條件。故選A。答案A2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α,點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)的所有直線中（）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線，故選A。答案A3．已知不重合的直線a，b和平面α，①若a∥α,b?α，則a∥b；②若a∥α,b∥α,則a∥b；③若a∥b，b?α，則a∥α;④若a∥b,a?α,則b∥α或b?α。其中命題正確的是________。(填序號(hào)）解析①若a∥α，b?α，則a，b平行或異面;②若a∥α，b∥α，則a，b平行、相交、異面都有可能;③若a∥b,b?α，則a∥α或a?α.答案④4．給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面α,β，γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α,m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m,γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n。其中真命題為_(kāi)_______。解析①中當(dāng)α與β不平行時(shí)，也能存在符合題意的l，m。②中