2018屆數(shù)學復習第十章概率第三節(jié)幾何概型學案文

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21-學必求其心得，業(yè)必貴于專精eq\o（\s\up7（第三節(jié)），\s\do5（))eq\o(\s\up7（幾何概型）,\s\do5（))1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率．2．了解幾何概型的意義．知識點一幾何概型1．定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的______（______或______）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為________．2．幾何概型的特點（1)無限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有______個．（2）等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性______．答案1．長度面積體積幾何概型2．（1）無限多（2）相等1．判斷正誤(1)幾何概型中，每一個基本事件都是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．(）(2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形或空間幾何體．(）（3)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關．()(4）幾何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個數(shù)都有限．()解析：（1）正確．根據(jù)幾何概型的概念可知正確．(2)正確．幾何概型中的測度可為長度、面積、體積、角度等．(3)錯誤．與面積有關的幾何概型的概率只與幾何圖形的面積有關，而與幾何圖形的形狀無關．(4)錯誤．幾何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的,但古典概型的基本事件有有限個,而幾何概型的基本事件有無限個．答案：（1）√（2）√（3）×（4)×知識點二幾何概型的概率公式P（A）＝______________________________________________.答案eq\f(構成事件A的區(qū)域長度面積或體積，試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度面積或體積）2．（2016·新課標全國卷Ⅰ）某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車,小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(）A.eq\f（1，3）B.eq\f(1，2）C。eq\f(2，3）D。eq\f(3,4）解析:由題意得圖:由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為eq\f(1，2）.答案:B3．（必修③P140練習第1題改編）有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是（)解析:如題干選項中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為P（A)＝eq\f(3,8），P（B）＝eq\f（2,8），P(C)＝eq\f(2，6），P(D）＝eq\f（1,3）.答案：A4．為了測算下圖中陰影部分的面積，作一個邊長為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲800個點，恰有200個點落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計陰影部分的面積是________．解析:正方形面積為36，則陰影部分面積約為eq\f（200,800）×36＝9。答案：9熱點一與長度、角度有關的幾何概型問題【例1】（1)（2016·新課標全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A。eq\f（7,10） B。eq\f（5，8)C.eq\f（3，8) D.eq\f(3,10)（2）如圖，在等腰直角△ABC中，過直角頂點C作射線CM交AB于M,則使得AM小于AC的概率為________．【解析】（1)記“至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈”為事件A，則P(A)＝eq\f(25，40)＝eq\f（5,8）.（2）當AM＝AC時,△ACM為以A為頂點的等腰三角形,∠ACM＝eq\f(180°－45°,2)＝67。5°。當∠ACM〈67.5°時，AM〈AC，所以AM小于AC的概率P＝eq\f（∠ACM的度數(shù),∠ACB的度數(shù)）＝eq\f(67。5°,90°)＝eq\f(3，4）?！敬鸢浮浚?)B（2)eq\f（3,4）【總結反思】（1）如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度，然后求解．解題的關鍵是構建事件的區(qū)域（長度)．(2）當涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關落點區(qū)域問題時,應以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替,這是兩種不同的度量手段.(1）設A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，則弦長超過半徑的eq\r（2)倍的概率是(）A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f（1，3）D。eq\f(3，5)（2)在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點,過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是________．解析：（1)作等腰直角△AOC和△AMC,B為圓上任一點,則當點B在eq\o\ac(MmC，\s\up15（︵））上運動時，弦長|AB｜>eq\r(2）R,∴P＝eq\f(eq\o\ac(MmC,\s\up15(︵）），圓的周長)＝eq\f(1，2）.(2)記事件A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”,如圖,不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時,就是等邊三角形的邊長（此時F為OE中點），弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF,由幾何概型公式得：P(A)＝eq\f(\f（1，2）×2,2）＝eq\f（1，2）。eq\o(\s\up7（）,\s\do5（1題圖））eq\o(\s\up7(),\s\do5(2題圖））答案：(1）B(2)eq\f(1,2)熱點二與面積有關的幾何概型問題考向1與一般幾何圖形面積有關的問題【例2】在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點P,則△PBC的面積大于eq\f（S，4）的概率為()A.eq\f（1,4）B.eq\f（3，4）C.eq\f（4，9）D.eq\f(9,16)【解析】記事件A＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(△PBC的面積大于\f(S，4))）,基本事件是△ABC的面積（如圖)，事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積(DE∥BC且ADAB＝34)，因為陰影部分的面積是整個三角形面積的eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4）)）2＝eq\f（9，16），所以P(A）＝eq\f(陰影部分的面積，三角形的面積)＝eq\f（9，16)?！敬鸢浮緿【總結反思】求與面積有關的幾何概型的概率的方法(1）確定所求事件構成的區(qū)域圖形，判斷是否為幾何概型；（2)分別求出Ω和所求事件對應的區(qū)域面積，用幾何概型的概率公式求解。考向2“會面型”幾何概型【例3】甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去．求兩人能會面的概率．【解】以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是｜x－y|≤15.在如圖所示平面直角坐標系下,(x，y）的所有可能結果是邊長為60的正方形區(qū)域，而事件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示．由幾何概型的概率公式得P（A)＝eq\f(S陰影,S）＝eq\f(602－452，602）＝eq\f（3600－2025，3600）＝eq\f(7，16).所以，兩人能會面的概率是eq\f(7，16).考向3隨機模擬方法的應用【例4】(2016·新課標全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…,xn，y1,y2，…，yn，構成n個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（)A.eq\f（4n,m) B。eq\f(2n,m）C.eq\f(4m，n） D.eq\f(2m，n)【解析】設由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤xn≤1，0≤yn≤1))構成的正方形的面積為S，xeq\o\al(2，n)＋yeq\o\al（2,n)<1構成的圖形的面積為S′，所以eq\f（S′,S)＝eq\f（\f（1,4)π,1）＝eq\f（m，n）,所以π＝eq\f(4m,n），故選C.【答案】C【總結反思】求解與面積有關的幾何概型的關鍵點求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，以求面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量,把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.(1)已知A＝{（x,y)|－1≤x≤1，0≤y≤2}，B＝{(x，y)｜eq\r（1－x2）≤y｝．若在區(qū)域A中隨機地扔一粒豆子,則該豆子落在區(qū)域B中的概率為(）A．1－eq\f（π,8) B。eq\f（π，4）C.eq\f(π,4）－1 D。eq\f(π，8)(2）在區(qū)間[1，5]和[2,4]分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1表示焦點在x軸上且離心率小于eq\f（\r(3）,2)的橢圓的概率為（）A。eq\f(1,2) B.eq\f（15,32）C。eq\f（17，32） D。eq\f（31,32）（3)如右圖,矩形長為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計橢圓的面積為()A．7.68 B．8。68C．16。32 D．17.32解析：(1)集合A＝｛(x，y）|－1≤x≤1,0≤y≤2｝表示的區(qū)域是一正方形，其面積為4，集合B＝{(x，y)｜eq\r(1－x2)≤y｝表示的區(qū)域為圖中陰影部分，其面積為4－eq\f（1,2）×12×π.所以向區(qū)域A內(nèi)隨機地扔一粒豆子，則豆子落在區(qū)域B內(nèi)的概率為eq\f(4－\f（1，2)π，4）＝1－eq\f（π,8).(2）∵eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2)＝1表示焦點在x軸上且離心率小于eq\f(\r(3),2)的橢圓，∴a>b〉0，a<2b。它對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2）＝1表示焦點在x軸上且離心率小于eq\f(\r（3），2）的橢圓的概率為P＝eq\f（S陰影，S矩形）＝1－eq\f（\f（1,2)×1＋3×2＋\f(1，2)×\f（1,2）×1,2×4）＝eq\f(15，32），故選B.(3)由隨機模擬的思想方法可得，黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為eq\f(300－96，300）＝0。68.由幾何概型的概率計算公式可得，eq\f(S橢圓，S矩形）＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，則S橢圓＝0。68×24＝16.32。答案：(1）A（2）B（3)C熱點三與體積有關的幾何概型問題【例5】一只蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行．若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10,則飛行是安全的，假設蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性相同,那么蜜蜂飛行是安全的概率為(）A。eq\f(1，8） B。eq\f(1,16)C.eq\f(1,27） D.eq\f(3,8）【解析】由題意,可知當蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的，所以由幾何概型的概率計算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為eq\f(103，303）＝eq\f（1,27).【答案】C【總結反思】對于以體積為度量的幾何概型，要根據(jù)空間幾何體的體積計算方法,把概率計算轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積計算。在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點解析:記“點P到點O的距離大于1”為事件A，則事件A發(fā)生時，點P位于以O為球心，以1為半徑的半球外．又V正方體ABCD－A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2）·eq\f(4，3）π·13＝eq\f(2，3）π?！嗨笫录怕蔖（A)＝eq\f(8－\f（2,3)π,8）＝1－eq\f(π，12）。答案：1－eq\f(π，12）1．對于幾何概型的概率公式中的“測度"要有正確的認識，它只與大小有關,而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．2．對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結果和點對應，然后利用幾何概型概率公式．（1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型,只需把這個變量放在坐標軸上即可；（2）若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關的幾何概型．專題六高考解答題鑒賞——概率與統(tǒng)計在全國卷高考中，概率與統(tǒng)計是每一年必考內(nèi)容，分值12分，難度中等．解答題綜合性較強，將概率、統(tǒng)計的有關知識(特別是直方圖、樣本數(shù)字特征）有機地交融在一起，也有時僅考利用統(tǒng)計知識解決實際問題．【典例】(2016·新課標全國卷Ⅰ,12分）某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）,n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．（1）若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式;(2）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n"的頻率不小于0。5,求n的最小值；（3）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？【標準解答】（1）當x≤19時，y＝3800;當x〉19時,y＝3800＋500(x－19）＝500x－5700，所以y與x的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3800,x≤19,，500x－5700，x〉19))(x∈N）．（4分）（2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0。46,不大于19的頻率為0。7，故n的最小值為19.(7分)(3）若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800元，20臺的費用為4300元，10臺的費用為4800元，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為eq\f(1,100）（3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)．若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000元，10臺的費用為4500元，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為eq\f(1,100）（4000×90＋4500×10）＝4050（元）．比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件．（12分）【閱卷點評】本題易錯點有兩處：一是混淆了頻率分布直方圖與柱狀圖，導致全題皆錯;二是審題不清或不懂題意,導致解題無從入手．避免此類錯誤，需認真審題,讀懂題意,并認真觀察頻率分布直方圖與柱狀圖的區(qū)別，縱軸表示的意義．（2017·昆明兩區(qū)七校調(diào)研）某校高三共有900