廣東省江門(mén)市波羅中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省江門(mén)市波羅中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（

）A．－32

B．12

C．16

D．32參考答案：D2.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（

）A． B．

C．

D．參考答案：B由題，f(x)是定義在上的偶函數(shù)，則由函數(shù)為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故故選B.3.定義在R上的函數(shù)，在上是增函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，有

A．

B．

C．

D．

參考答案：答案:A4.集合,則的子集共有(

)A.6個(gè)

B.8個(gè)

C.10個(gè)

D.12個(gè)參考答案：B，所以P的子集共有8個(gè)5.已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|x﹣1≥0}，則A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）參考答案：A【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A、B，根據(jù)交集的定義寫(xiě)出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x2＜4}={x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，則A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故選：A．6.程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行的結(jié)果為s=25，則判斷框中可填寫(xiě)的關(guān)于i的條件是（

）A．i≤4?

B．i≥4?

C．i≤5?

D．i≥5?參考答案：C第一次運(yùn)行，第二次運(yùn)行，第三次運(yùn)行，第四次運(yùn)行，第五次運(yùn)行，此時(shí)，輸出25，故選C7.若對(duì)于任意都有，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（）A. B.C. D.參考答案：D∵對(duì)任意x∈R，都有f（x）+2f（–x）=3cosx–sinx①，用–x代替x，得f（–x）+2f（x）=3cos（–x）–sin（–x），即f（–x）+2f（x）=3cosx+sinx②；①②聯(lián)立，解得f（x）=sinx+cosx，所以函數(shù)y=f（2x）–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x，圖象的對(duì)稱中心為（，0），k∈Z，故選D．8.已知i是虛數(shù)單位，R，且是純虛數(shù)，則等于(

)A．1

B．-1

C．i

D．-i參考答案：A9.已知集合，，則A∩B=(

)A. B.C. D.參考答案：C【分析】可求出集合A，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】A＝{x|1＜x＜5}；∴A∩B＝{x|1＜x＜5}．故選：C．【點(diǎn)睛】考查描述法的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及交集的運(yùn)算．10.已知集合，在區(qū)間上任取一實(shí)數(shù)，則“”的概率為 A． B． C． D．參考答案：C,,所以，所以在區(qū)間上任取一實(shí)數(shù)，則“”的概率為，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦的長(zhǎng)度分別等于、，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為

．參考答案：512.已知函數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．參考答案：13.過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，已知|AF|=3，|BF|=2，則p等于．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)AF|=3，|BF|=2，利用拋物線的定義可得A，B的橫坐標(biāo)，利用==，即可求得p的值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則∵|AF|=3，|BF|=2∴根據(jù)拋物線的定義可得x1=3﹣，x2=2﹣，∵==，∴4（3﹣）=9（2﹣）∴p=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義，考查三角形的相似，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義確定A，B的橫坐標(biāo)．14.已知，，則向量與的夾角為

.參考答案：15.設(shè)是兩個(gè)集合，定義集合，若，，則

。參考答案：答案：16.給出下面的程序框圖，那么輸出的數(shù)是

。

參考答案：3017.如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC上，將沿線段MN進(jìn)行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點(diǎn)A在線段BC上，則線段AM的最小值為_(kāi)______．參考答案：【分析】設(shè)，，在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù)，從而可得的最小值．【詳解】解：設(shè)，，則，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴當(dāng)即時(shí)，取得最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

在AABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且3acosA=cosB+bcosC．

(1)求COSA的值；

(2)若a=2，COSB+cosC=，求邊c．參考答案：(1)(2)3【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8(1)由3acosA=cosB+bcosC及正弦定理得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B-C),3sinAcosA=sinA,AsinA>0,cosA=.(2)cosB-cosC=,cos(-A-C)+cosC=,又cosA=，sinA=，cosC+sinC=,又,sinC=,,c=3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正弦定理及三角形中角的關(guān)系求得。19.如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為,離心率為，若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案：（1）（2）略

解析：解：（1）解：∵橢圓C：+y2=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，離心率為，∴=，解得a2=3，∴橢圓C的方程為．（2）解：由=0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A（0，1），直線AP的斜率為1，得直線AP的方程為y=x+1，直線AQ的方程為y=﹣x+1，將y=x+1代入橢圓C的方程，并整理得：4x2+6x=0，解得x=0或x=﹣，因此P的坐標(biāo)為（﹣，﹣），同理，得Q（，﹣）．直線l的方程為y=﹣．代入橢圓的方程并整理得,

設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則是上述關(guān)于的方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，從而

…………………7分

由得，整理得：由知. 此時(shí),因此直線過(guò)定點(diǎn).

………14分

略20.如圖，在多面體中，是正方形，平面，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成的角的正弦值.參考答案：（1）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴平面.∵都垂直底面，∴.∵，∴為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面.（2）由已知，平面，是正方形.∴兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，從而，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.令，則，從而.∵，設(shè)與平面所成的角為，則，所以，直線與平面所成角的正弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；（2）已知T（1，-1），設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn),求+的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)T（1，-1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍。參考答案：解：（1）如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q，

因此即

①

另一種情況，見(jiàn)圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）。

MQ為線段OP的垂直平分線，

又

因此M在軸上，此時(shí)，記M的坐標(biāo)為

為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn)

由

（即）得，

故的軌跡方程為

②

綜合①和②得，點(diǎn)M軌跡E的方程為

（2）由（1）知，軌跡E的方程由下面E1和E2兩部分組成（見(jiàn)圖3）：

；

當(dāng)時(shí)，過(guò)Ｔ作垂直于的直線，垂足為，交E1于。

再過(guò)H作垂直于的直線，交

因此，（拋物線的性質(zhì)）。

（該等號(hào)僅當(dāng)重合（或H與D重合）時(shí)取得）。

當(dāng)時(shí)，則

綜合可得，|HO|+|HT|的最小值為3，且此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為

（3）由圖3知，直線的斜率不可能為零。

設(shè)

故的方程得：

因判別式

所以與E中的E1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

又由E2和的方程可知，若與E2有交點(diǎn)，

則此交點(diǎn)的坐標(biāo)為有唯一交點(diǎn)，從而表三個(gè)不同的交點(diǎn)。

因此，直線的取值范圍是22.如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心．（Ⅰ）求證：平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）求證：PM∥平面AFC．參考答案：考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，所以可推斷出CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC1，所以CB⊥AF，進(jìn)而由余弦定理求得BF，推斷出AF2+BF2=AB2得AF⊥BF同時(shí)利用AF∩CB=B判斷出AF⊥平面CFB，即可證明平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）連結(jié)OM延長(zhǎng)交BF于H，則H為BF的中點(diǎn)，又P為CB的中點(diǎn)，推斷出PH∥CF，又利用線面判定定理推斷出PH∥平面AFC，連結(jié)PO，同理推斷出PO∥平面AFC，利用面面平行的判定定理，推斷出平面POO1∥平面AFC，最后利用面面平行的性質(zhì)推斷出PM∥平面AFC解答：證明：（Ⅰ）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB∴CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC1，∴CB⊥AF又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，A