有限單元法課件第三章 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的有限元解法

第二章有限元法的基本原理21第一章緒論第三章軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的有限元解法第四章桿件系統(tǒng)的有限元法345第五章空間問(wèn)題的有限元法第三章軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有限元法第一節(jié)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的定義和特點(diǎn)一、軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的定義當(dāng)分析結(jié)構(gòu)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件時(shí),可認(rèn)為是軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題:幾何形狀軸對(duì)稱(chēng)要求結(jié)構(gòu)是相對(duì)對(duì)稱(chēng)軸的旋轉(zhuǎn)體。邊界條件軸對(duì)稱(chēng)要求結(jié)構(gòu)受到載荷和位移約束條件具有軸對(duì)稱(chēng)性。材料軸對(duì)稱(chēng)要求結(jié)構(gòu)的材料特性具有軸對(duì)稱(chēng)性。二、軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的應(yīng)力應(yīng)變特點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力都呈軸對(duì)稱(chēng)分布。分析軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí),通常采用柱坐標(biāo)系,并以z軸為對(duì)稱(chēng)軸。結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力,應(yīng)變和位移只是r,z的函數(shù)任意一點(diǎn)的位移只有沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w,而沿方向的切向位移等于零。因此,可以取出結(jié)構(gòu)的任一子午面進(jìn)行分析,從而將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題來(lái)求解。因此在軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中,每一個(gè)點(diǎn)具有四個(gè)應(yīng)力分量根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)特點(diǎn),有:但徑向變形會(huì)引起周向應(yīng)變,即和四個(gè)應(yīng)變分量它們的關(guān)系為式中軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的彈性矩陣(3-1)(3-2)第二節(jié)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有限元法一、結(jié)構(gòu)離散

軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)本身是一個(gè)三維結(jié)構(gòu),由于形狀和載荷的特殊性,其網(wǎng)格劃分僅在任一子午面上進(jìn)行,因此網(wǎng)格表現(xiàn)為平面網(wǎng)格,但實(shí)際上單元具有環(huán)狀的空間結(jié)構(gòu)。本章采用三節(jié)點(diǎn)三角形環(huán)單元。三節(jié)點(diǎn)三角形軸對(duì)稱(chēng)環(huán)單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)分別為i,j,m,節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),,為已知,節(jié)點(diǎn)位移分別為,,。二、單元分析從劃分的單元中任取一個(gè)單元。1.位移函數(shù)選擇線(xiàn)性位移函數(shù)為與平面問(wèn)題類(lèi)似,將節(jié)點(diǎn)i,j,m的坐標(biāo)值和位移值代入上式,整理得或?qū)懗善渲?,是形函數(shù),其表達(dá)式為式中式中各系數(shù)的表達(dá)式分別為(3-4)

由此可見(jiàn),周向應(yīng)變分量隨r,z

而改變,不是常量,因此應(yīng)變矩陣不是常量矩陣.2.單元應(yīng)變將位移函數(shù)式(3-4)代入幾何方程(3-1)得式中其中(3-6)3.單元應(yīng)力將式(3-6)代入式(3-2),得到單元應(yīng)力式中假設(shè)單元的虛位移為,則單元的虛應(yīng)變?yōu)槿卧獎(jiǎng)偠染仃?/p>

和平面問(wèn)題一樣,本章仍用虛位移原理來(lái)推導(dǎo)三角形環(huán)單元的單元?jiǎng)偠染仃?。在軸對(duì)稱(chēng)情況下單元的虛功方程為單元等效節(jié)點(diǎn)力所作的虛功,注意:此時(shí)的節(jié)點(diǎn)力是指整個(gè)三角形環(huán)單元上的力指整個(gè)三角形環(huán)單元中的應(yīng)力所作的虛功.將上式代入虛功方程,得

由于應(yīng)變矩陣中含有1/r因子,當(dāng)r=0時(shí),式(3-8)積分時(shí)會(huì)出現(xiàn)奇異性。因此,把單元中隨位置變化而不斷變化的r和z用單元截面的形心坐標(biāo)來(lái)近似,即令考慮到虛位移的任意性,將上式兩邊的同時(shí)消去,則有式中(3-8)就是三角形環(huán)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

的子矩陣計(jì)算公式為進(jìn)行上述近似后,和都成為常量矩陣,積分式(3-8)變?yōu)槭街?A是三角形單元的面積.式中,為結(jié)構(gòu)總剛矩陣;為節(jié)點(diǎn)位移列陣;為節(jié)點(diǎn)載荷列陣。四、總剛集成

求出每個(gè)三角形環(huán)單元的剛度矩陣后,即可按照第二章介紹的總體剛度矩陣的集成方法,得到結(jié)構(gòu)的總剛矩陣,從而形成剛度方程

移置后對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為五、等效節(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算

計(jì)算軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的等效節(jié)點(diǎn)載荷與平面問(wèn)題有所不同,因此軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的子午面上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸中心對(duì)稱(chēng)的圓環(huán),故當(dāng)計(jì)算集中力,表面力和體積力時(shí),應(yīng)在整個(gè)環(huán)上積分。這里討論幾種常見(jiàn)載荷的等效移置。1.集中力的移置

設(shè)三角形環(huán)單元內(nèi)任意一點(diǎn)(r,z)處作用有集中外載荷,它在r和z方向上的分量分別為和,用矩陣表示為由于虛位移的任意性,可由上式得到展開(kāi)得根據(jù)虛位移原理,等效節(jié)點(diǎn)載荷與原載荷在虛位移上作的虛功相等,即2.表面力的移置設(shè)單元的jm邊作用有均布載荷Ps,其方向以壓向單元邊界為正,如圖.三角形環(huán)單元上作用表面力表面力的矩陣表示為令單元表面力列向量為(3-12)將以上五式代入式(3-12),積分得表面力的等效節(jié)點(diǎn)載荷為在邊上有,令則有式中

可見(jiàn),當(dāng)單元的邊界jm作用有集度為p的垂直均布力時(shí),分配到節(jié)點(diǎn)i上的載荷為零,分配到節(jié)點(diǎn)j和m上的載荷相同。

如果作用在邊界上的表面力不是均布載荷,則可將載荷分解成若干組,近似地將每組表面力視為均布載荷,分別進(jìn)行計(jì)算,然后疊加即可。3.體積力的移置

工程中經(jīng)常遇到軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,其體積力一般有兩種:一種是重力,另一種是由于繞z軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的慣性離心力。(1)重力設(shè)單元容重為v,則單位體積力為單位體積力列陣為式中,是三角形形心到z軸的距離.2.慣性離心力設(shè)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)速為n,角速度為,材料密度為,則單位體積的離心力為。為了方便計(jì)算,假定單元內(nèi)的體積密度為常數(shù),則單元的單位體積力單元慣性離心力移置產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)載荷列陣為(3-15)將式(3-5),式(3-16)代入式(3-15),得將式(3-11),式(3-13),式(3-14),式(3-17)所得的結(jié)果疊加,便可得到整個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣,將每個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷疊加,便可得到結(jié)構(gòu)的載荷列陣。由重心公式可推導(dǎo)得(3-16)式中,為經(jīng)過(guò)約束處理的總剛矩陣;