2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第三節(jié)空間中的平行關(guān)系課時(shí)規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第三節(jié)空間中的平行關(guān)系[A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練]1．下列關(guān)于線、面的四個(gè)命題中不正確的是()A．平行于同一平面的兩個(gè)平面肯定平行B．平行于同始終線的兩條直線肯定平行C．垂直于同始終線的兩條直線肯定平行D．垂直于同一平面的兩條直線肯定平行解析：垂直于同一條直線的兩條直線不肯定平行，可能相交或異面．本題可以以正方體為例證明．答案：C2．若空間四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別是8，12，則過AB的中點(diǎn)E且平行于BD，AC的截面四邊形的周長(zhǎng)為()A．10 B．20C．8 D．4解析：設(shè)截面四邊形為EFGH，F(xiàn)，G，H分別是BC，CD，DA的中點(diǎn)(圖略)，∴EF＝GH＝4，F(xiàn)G＝HE＝6.∴周長(zhǎng)為2×(4＋6)＝20.答案：B3．(2024·安徽蚌埠聯(lián)考)過三棱柱ABC-A1B1C1的隨意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1AA．4條 B．6條C．8條 D．12條解析：作出的圖形如圖所示，E，F(xiàn)，G，H是相應(yīng)棱的中點(diǎn)，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面EFGH中．由此四點(diǎn)可以組成的直線有EF，GH，F(xiàn)G，EH，GE，HF，共有6條．答案：B4.(2024·安徽毛坦廠中學(xué)模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EFA．有多數(shù)條 B．有2條C．有1條 D．不存在解析：因?yàn)槠矫鍰1EF與平面ADD1A1有公共點(diǎn)D1，所以兩平面有一條過D1的交線l，在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的隨意直線都與平面D1EF平行答案：A5．(2024·陜西西安模擬)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形解析：如圖所示，由條件知，EF∥BD，EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG，且EF＝eq\f(2,5)HG，∴四邊形EFGH為梯形．∵EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵四邊形EFGH為梯形，∴線段EH與FG的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，∴EH不平行于平面ADC.答案：B6．設(shè)a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面．則下列四個(gè)命題中，正確的是()A．若a，b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b解析：對(duì)于選項(xiàng)A，a，b不肯定平行，也可能相交；對(duì)于選項(xiàng)B，只需找個(gè)平面γ，使γ∥α∥β，且a?γ，b?γ即可滿意題設(shè)，但a，b不肯定平行；對(duì)于選項(xiàng)C，可參考直三棱柱模型解除．答案：D7.(2024·河南鄭州高三質(zhì)量預(yù)料)如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA′＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M分別是邊AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四邊形EFGH的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，并且始終有MP∥平面ACC′A′，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4解析：連接MF，F(xiàn)H，MH(圖略)，因?yàn)镸，F(xiàn)，H分別為BC，AB，A′B′的中點(diǎn)，所以MF∥平面AA′C′C，F(xiàn)H∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M與線段FH上隨意一點(diǎn)的連線都平行于平面AA′C′C，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段FH，其長(zhǎng)度為4.答案：D8．(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，給出下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：對(duì)于①，依據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對(duì)于②，依據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對(duì)于③，依據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對(duì)于④，依據(jù)a?α，b?β，α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)是1.答案：A9．(2024·河北滄州七校聯(lián)考)有以下三種說法，其中正確的是________．(填序號(hào))①若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線；②若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a不行能與α平行；③若直線a，b滿意a∥b，則a平行于經(jīng)過b的任何平面．解析：對(duì)于①，若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線，是真命題，故①正確；對(duì)于②，若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a可能與α平行，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若直線a，b滿意a∥b，則直線a與直線b可能共面，故③錯(cuò)誤．答案：①10．在正四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．解析：連接AM并延長(zhǎng)交CD于E，連接BN并延長(zhǎng)交CD于F.由重心的性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E.由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC和平面ABD11．(2024·安徽蚌埠模擬改編)如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠D＝60°，點(diǎn)H為DC的中點(diǎn)，現(xiàn)以線段AH為折痕將菱形折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AP的中點(diǎn)．求證：平面PBC∥平面EFH.證明：在菱形ABCD中，E，H分別為AB，CD的中點(diǎn)，所以BE綊CH，所以四邊形BCHE為平行四邊形，則BC∥EH.又EH?平面PBC，所以EH∥平面PBC.又點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AP的中點(diǎn)，所以EF∥BP.又EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC.而EF∩EH＝E，所以平面PBC∥平面EFH.12．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)連接SB(圖略)，因?yàn)镋，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，所以EG∥SB.又因?yàn)镾B?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)連接SD(圖略)，因?yàn)镕，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.又因?yàn)镾D?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.[B組素養(yǎng)提升練]1．(2024·安徽安慶模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1.有以下四個(gè)說法：①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點(diǎn)共線；④平面MNQ∥平面APC.其中說法正確的是________．(填序號(hào))解析：①連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面PAC，所以MN∥平面APC是錯(cuò)誤的；②由①知M，N在平面APC上，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；③由①知A，P，M三點(diǎn)共線是正確的；④由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯(cuò)誤的．答案：②③2．(2024·河南安陽模擬)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.一平面截該長(zhǎng)方體，所得截面為OPQRST，其中O，P分別為AD，CD的中點(diǎn)，B1S＝eq\f(1,2)，則AT＝________．解析：設(shè)AT＝x，A1T＝y(tǒng)，則x＋y＝1.由題意易知該截面六邊形的對(duì)邊分別平行，即OP∥SR，OT∥QR，PQ∥TS，則△DOP∽△B1SR.又因?yàn)镈P＝DO＝1，所以B1S＝B1R＝eq\f(1,2)，所以A1S＝C1R＝eq\f(3,2).由△ATO∽△C1QR，可得eq\f(AO,AT)＝eq\f(C1R,C1Q)，所以C1Q＝eq\f(3,2)x.由△A1TS∽△CQP，可得eq\f(CQ,CP)＝eq\f(A1T,A1S)，所以CQ＝eq\f(2,3)y，所以eq\f(3,2)x＋eq\f(2,3)y＝x＋y＝1，可得x＝eq\f(2,5)，y＝eq\f(3,5)，所以AT＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)3．(2024·河南安陽模擬)如圖所示，四棱錐A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥平面ABC，CD＝eq\f(3,2)BE，點(diǎn)F在線段AD上．(1)若AF＝2FD，求證：EF∥平面ABC；(2)若△ABC為等邊三角形，CD＝AC＝3，求四棱錐A-BCDE的體積．解析：(1)證明：取線段AC上靠近C的三等分點(diǎn)G，連接BG，GF.因?yàn)閑q\f(AG,AC)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(2,3)，則GF＝eq\f(2,3)CD＝BE.而GF∥CD，BE∥CD，故GF∥BE，故四邊形BGFE為平行四邊形，故EF∥BG.因?yàn)镋F?平面ABC，BG?平面ABC，故EF∥平面ABC.(2)因?yàn)锽E⊥平面ABC，BE?平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，所以四棱錐A-BCDE的高即為△ABC中BC邊上的高．易求得BC邊上的高為eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2)，故四棱錐A-BCDE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋3)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).4．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，A1A＝AB＝2，(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求四棱錐B-AA1C1D解析：(1)證明：連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O，連接因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是平行四邊形，所以點(diǎn)O為B1C因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為△AB1C的中位線所以O(shè)D∥AB1.因?yàn)镺D?平面BC1D，AB1?平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.(2)因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C所以平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA1C因?yàn)锳B＝