浙江大學(xué)自動控制理論課第四章根軌跡法課件

第四章根軌跡法自動控制理論普通高等教育“九五”部級重點教材2/8/20231課件第一節(jié)根軌跡的基本概念我們的任務(wù)是求當參變量K從0向變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化軌跡，表4-1列出了當參變量K從0向變化時，特征根s1和s2相應(yīng)的變化關(guān)系圖4-1，二階系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征根：C(s)R(s)-對圖4-1所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：2/8/20232課件K00.250.51…∞s10-0.5-05+j0.5-0.5+j0.87…0.5+j∞s2-1-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87…-0.5-j∞表4-1根與K的關(guān)系1)0≤K＜?，s1、s1為兩相異的實數(shù)根（過阻尼狀態(tài)）2)K=?，s1=s2=-0.5，（臨界阻尼）3)?＜K＜∞，s1、s2為一對共軛復(fù)根（欠阻尼）對于不同的K值,系統(tǒng)有下列三種不同的工作狀態(tài)2/8/20233課件可見，根軌跡圖全面地描述了參數(shù)K對閉環(huán)特征根分布的影響。

定義：當系統(tǒng)中某一參數(shù)(一般以增益為變化參數(shù))發(fā)生變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上描繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。

它是一種用圖解方式表示特征方程的根于系統(tǒng)某一參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。

一般地，繪制系統(tǒng)根軌跡時選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。以系統(tǒng)根軌跡增益K為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。以其它參數(shù)為變量繪制的根軌跡稱為參量根軌跡。2/8/20235課件圖4-3根軌跡的幅值條件與相角條件特征方程：上式改寫為：自動控制理論于是得：或2/8/20236課件假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)用零、極點形式表示：2/8/20237課件幅值條件與K有關(guān)，相角條件與K無關(guān)滿足相角條件的點必然滿足幅值條件。反之，滿足幅值條件點未必能滿足相角條件。自動控制理論結(jié)論：圖4-5幅值條件：系統(tǒng)的等增益軌跡是一簇同心圓，對于某一個確定的K值，對應(yīng)圓周上有無窮多個S值都滿足方程，其中只有同時滿足相角條件的S值才是方程的根。根軌跡就是S平面上滿足相角條件點的集合。2/8/20239課件繪制根軌跡步驟1）先找出S平面上滿足相角條件的點，并把它們連成曲線；2）用幅值條件確定相應(yīng)點對應(yīng)的K值。例4-1求圖4-1所示系統(tǒng)的根軌跡解：1）用相角條件繪制根軌跡自動控制理論2）用幅值條件確定增益K2/8/202310課件圖4-6自動控制理論2/8/202311課件繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則1：根軌跡的對稱性由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實數(shù)，因而特征根或為實數(shù)，或為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡必然對稱于S平面的實軸。規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)及其起點和終點閉環(huán)特征方程：自動控制理論當k0由變化時，方程中任一根由始點連續(xù)地向終點變化的軌跡稱為根軌跡的一條分支；2/8/202313課件自動控制理論因為n≥m，所以根軌跡分支共計為n條；根軌跡起點就是k0=0時根的位置，當k0=0時有：根軌跡終點就是當時根的位置；由此可知，開環(huán)傳遞函數(shù)的零點-zi(i=1,…,m)是m條根軌跡分支的終點條根軌跡的終點也需確定當2/8/202314課件規(guī)則3：根軌跡在實軸上的分布自動控制理論幅值條件2/8/202315課件規(guī)則4：根軌跡的漸近線自動控制理論1、漸近線的傾角2、漸進線與實軸交點2/8/202317課件3、用分子除以分母得2/8/202318課件自動控制理論則：方程有（n-m）條根軌跡分支，它們是由實軸上點出發(fā)的射線，這些射線于正實軸的夾角為由于G(s)H(s)和W(s)分母中前兩項高階次項完全相同，因而當s→∞時，G(s)H(s)就能近似地用W(s)來表征。方程1+G(s)H(s)=0的(n-m)條根軌跡分支便會趨向于1+W(s)=0的根軌跡。即它們有相同的漸近線。2/8/202319課件規(guī)則5：分離點與會合點當根軌跡分支在實軸上相交后走向復(fù)平面，此交點稱為根軌跡的分離點。當根軌跡由復(fù)平面走向?qū)嵼S時，它們在實軸上的交點稱為會合點圖4-10根軌跡的分離點和會合點圖4-11根軌跡的復(fù)數(shù)分離點自動控制理論求解根軌跡的分離點和會合點2/8/202321課件例4-3求圖4-8所示系統(tǒng)的分離點解：特征方程例4-4已知求根的分離點1）有4條根軌跡分支,它們的始點分別為0，-4，-2±j4解：自動控制理論(s2舍去)2/8/202322課件圖4-12例4-4的根軌跡2）漸近線與正實軸的夾角3）實軸上的0至-4間的線段是根軌跡2/8/202323課件規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點(以實例說明)例已知閉環(huán)特征方程式為自動控制理論計算出射角的一般表達式為同理，計算入射角的一般表達式為式中，就是根軌跡離開復(fù)數(shù)極點-P4的出射角2/8/202325課件由勞斯判據(jù)：當K=260時，求解以代入方程直接求解2/8/202326課件圖4-14例4-5的根軌跡圖自動控制理論例4-5已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2/8/202329課件第三節(jié)參量根軌跡的繪制圖4-18雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖例4-7試繪制圖4-18所示的系統(tǒng)以α為參變量的根軌跡解：圖4-19例4-7的根軌跡圖自動控制理論一個可變量根軌跡的繪制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為2/8/202330課件令系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為例4-8試繪制圖4-20所示,試繪制以K和α為參變量的根軌跡幾個可變參量根軌跡的繪制解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式2/8/202331課件圖4-21根軌跡圖圖4-20單位反饋控制系統(tǒng)自動控制理論2/8/202332課件第四節(jié)非最小相位系統(tǒng)的根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點均位于S左半平面的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；反之，則稱為非最小相位系統(tǒng)。出現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)有如下三種情況1）系統(tǒng)中有局部正反饋回路2）系統(tǒng)中含有非最小相位元件3）系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié)圖4-22具有正反饋回路的控制系統(tǒng)自動控制理論正反饋回路的根軌跡內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2/8/202333課件自動控制理論相應(yīng)的特征方程為由上式得正反饋系統(tǒng)根軌跡與負反饋系統(tǒng)根軌跡的不同這處有：1）實軸上線段成這根軌跡的充要條件是該線段右方實軸上開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)這和為偶數(shù)2）漸近線與實軸的傾角3）開環(huán)共軛極點的出射角與開環(huán)共軛零點的入射角分別為2/8/202334課件系統(tǒng)中含有非最小相位元件圖4-23非最小相位系統(tǒng)自動控制理論由相角條件得2/8/202335課件滯后系統(tǒng)的根軌跡圖4-25滯后系統(tǒng)的框圖自動控制理論特征方程為圖4-242/8/202336課件第五節(jié)用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡特征方程圖4-26反饋控制系統(tǒng)自動控制理論其中：Num和dem兩個數(shù)組是由上面二式的多項系數(shù)構(gòu)成，MATLAB繪制根軌跡的指令為2/8/202337課件例已知試用MATLAB繪制該系統(tǒng)的根軌跡解：應(yīng)用MATLAB程序4-1，就能作出4-27所示的根軌跡。%MATLAB程序4-1%繪制控制系統(tǒng)的根軌跡num=［0011］;den=［1900］;rlocus（num,dem)axis(’square’);gridontitle(’Root-locusplotofG(s)=K(s+1)/［(s∧2(s+9)］’)xlabel(’Re’)ylabel(’Im’)圖4-27例4-9的根軌跡圖自動控制理論2/8/202338課件用MATLAB繪制根軌跡的指令還有下列兩種形式：［r，K］=rlocus（num，den）（2）［r，K］=rlocus（num，den，K）（3）用MATLAB方程4-2，就能算出K變化時相應(yīng)根的值例

已知解應(yīng)用MATLAB程序4-2，就得到K與根的對應(yīng)數(shù)據(jù)和根軌跡圖4-28%MATLAB程序4-2%給出系統(tǒng)矩件值和增益向量K值%繪制根軌跡num=［0011］;den=［1900］;［r，K］=rlocus（num，den）v=［-33-33］%axis(’square’)plot(r,’o’)gridonxlabel(’Re’)ylabel(’Im’)title(’Root-locusplotofG(s)=K(s+1)/［(s∧2(s+8)］’)圖4-28根軌跡圖自動控制理論2/8/202339課件例4-10已知一系統(tǒng)如圖4-29所示，試用MATLAB繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖429反饋控制系統(tǒng)自動控制理論圖4-30例4-10的根軌跡解應(yīng)用MATLAB程序4-3，就能求得圖4-28所示的根軌跡%MATLAB程序4-3%繪制系統(tǒng)根軌跡num=［000011］;den=［11.110.350］;2/8/202340課件r=rlocus（num，den）plot(r,’’)v=［-44-44］;axis(v)gridontitle(’Root-locusplotofG(s)=K(s+0.5)/［(s∧2+0.6s+10)］’)xlabel(’Re’)ylabel(’Im’)

自動控制理論如果要求某一特征值所對應(yīng)的K值，可用指令rlocfind。具體步驟：1）用rlocus指令畫根軌跡2）由rlocfind指令求出根軌跡上某一給定點對應(yīng)的K值，其程序見4-4%MATLAB程序4-4num=［0011］dem=［1800］K=inline(s∧3+8*s∧2)/(s+1)’）；%構(gòu)造一個K(s)函數(shù)2/8/202341課件k=K(-3+1.8i)%代入s=-3+1.8i即可求得對應(yīng)K的真實值rlocus(num,den)rlocfid(num,den%求對應(yīng)的K值r=rlocus(num.den,K)gridonxlabel(’Re’)ylabel(’Im’)

K=24.4268自動控制理論圖4-31根軌跡圖由MATLAB確定根軌跡上某一點所對應(yīng)的K值,只要把標記線移到該點上，然后點“enter”鍵即可，例如確定圖4-31根軌跡上的-3+j3.8點對應(yīng)的K值，只要應(yīng)用MATLAB程序4-4；就能快速地求得K=24.4282/8/202342課件例4-11已知一系統(tǒng)如圖4-32所示,圖4-32反饋控制系統(tǒng)試用MATLAB指令tf和rlocus繪制根軌跡自動控制理論在MATLAB新版本中，有創(chuàng)建傳遞函數(shù)的指令tf。其中tf2zp指令用于傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為零、極點表示的形式；指令2zptf是將零、極點形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)2/8/202343課件圖4-33例4-11的根軌跡圖自動控制理論2/8/202344課件自動控制理論2/8/202345課件第六節(jié)用根軌跡法分析控制系統(tǒng)用根軌跡法確定系統(tǒng)中的有關(guān)參數(shù)圖4-35控制系統(tǒng)試用選擇參數(shù)K1和K2以使系統(tǒng)滿足下列性能指標自動控制理論2/8/202346課件在S左半平面上,過坐標原點作一與負實軸成45°角的射線,如圖4-36所示圖4-36在S平面上希望極點的區(qū)域自動控制理論2/8/202347課件圖4-37為對應(yīng)的根軌跡。以β為參變量的根軌跡如圖4-38所示,該圖與由過坐標原點作一與負實軸成45°角的直線；并與根軌跡相交于-3.15±j3.17。由根軌跡幅值條件求得β=4.3=20K2；K2=0.215因為所術(shù)閉環(huán)極點實部σ=3.15;因而圖4-37式（4-63）的根軌跡圖4-38式（4-64）的根