切線長及弦切角

切線長定理與弦切角定理一、切線長定理1、切線長：我們把圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長2、切線長定理：如圖：因為PA、PB是0?的切線，A、B是切點,所以，PA=PB二、弦切角定理及其推論1、弦切角： A A A(C)E問題：以下各圖中的角哪個是弦切角？2、 弦切角定理： 3、 弦切角定理的推論： 【運用舉例】例1.如圖，PA、PB是?0的切線，切點分別是A、B,直線EF也是?0的切線，切點為Q,交PA、PB為E、F點，已知PA12cm，求Apef的周長.

例2.如圖，AD是AABC中ZBAC的平分線,

分別相交于例2.如圖，AD是AABC中ZBAC的平分線,

分別相交于E,F.求證：EF〃BC.拓展提升已知：如圖，P為0O外一點，PA,PB為0O的切線,求證：AC〃OP.A和B是切點，BC是直徑.課后訓練學案1.在厶ABC中，AB=5cmBC=7cmAC=8cm,OO與BC、AC、AB分別相切于D、E、TOC\o"1-5"\h\z已知PA、PB切00于A、B,ZAPB=60°,PA=4,則00的半徑為 。已知00的半徑為「3，點P到圓心0的距離為2込，則過點P的兩條切線的夾角為.度，切線長為 。BC是00的弦，P是BC延長線上一點，PA與00相切于點A,ZABC=25°,ZACB=80,則ZP的度數(shù)為 -★5.已知00和00外切于點B,PB是兩圓公切線，PA、PB分別與001、002相切于A、12C,如果AP=2X-3,PC=X+3，則x= 。

已知：AABC內(nèi)接于0O,ZABC=25°,ZACB=75°,過A點作00的切線交BC的延長線于P,則ZAPB等于（）A.62.5° B.55° C.50°D.40°.已知：如圖7—149,PA,PB切00于A,B兩點，AC為直徑，則圖中與ZPAB相等的角的個數(shù)為（）A.1個；B.2個； C.4個；D.5個.已知如圖7—150,四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN切00于C點，ZBCM=38°，那么ZABC的度數(shù)是（ ）A.38°； B.52°； C.68°；D.42°.已知：如圖6,四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和00分別相切于點L、M、N、P.想一想：AB+CD與AD+BC之間有什么關(guān)系？說明你結(jié)論的正確性。10.如圖，AB是00的弦，CD是經(jīng)過00上的點M的切線.求證:（1） 如果AB//CD，那么AM=MB；（2） 如果AM=BM，那么AB//CD.★11.如下圖，AABC的ZBAC的平分線交外接圓于D,交圓的切線BE于E.求證：(1).ZEBD=ZDBC； (2).AB?BE=AE?DC.切線長定理、弦切角、和圓有關(guān)的比例線段定理的掌握。1.切線長概念切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”

是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。2?切線長定理對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。3?弦切角、頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線AB切00于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4?弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6?遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7.與圓有關(guān)的比例線段

定理圖形相弦理已知 結(jié)論定理圖形相弦理證法連結(jié)AC、BD，證:△APCs^DPBB0O中，AB為直PC2=PA?PB徑,CD丄AB證法連結(jié)AC、BD，證:△APCs^DPBB0O中，AB為直PC2=PA?PB徑,CD丄AB于P用相交弦定理割定0O中，PT切00PT2=PA?PB于T,割線PB交O0于A連結(jié)TA、TB，證:△PTBs&ATPB、PD為00的PA?PB=PC?PD兩條割線，交00于A、C過P作PT切00于T，用兩次切割線定理圓幕定理OO中，割線PBP'C圓幕定理OO中，割線PBP'C?P'D=r2—OP'2交00于A,CDPA?PB=0P2—口為弦 r為O0的半徑【典型例題】延長P'O交OO于M,延長OP'交OO于N,用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證8.圓幕定理：過一定點P向OO作任一直線，交OO于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|°戶-應「（R為圓半徑），因為op2-r2叫做點對于oo的幕,所以將上述定理統(tǒng)稱為圓幕定理。例2.O0中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE= cm。點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。A.AC例3?已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則點撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。

例4.如圖3,P是00外一點，PC切00于點C,PAB是00的割線，交00于A、B兩點，如果PA：PB=1：4,PC=12cm,0O的半徑為10cm，則圓心0到AB的距離是 cm。例5.如圖4,AB為00的直徑，過B點作00的切線BC，0C交00于點E，AE的延長p/72-pn?線交BC于點D,(1)求證： ；(2)若AB=BC=2厘米，求CE、CD的長。pff2-CD*點悟：要證 ，即要證厶CEDs^CBE。有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6.如圖5,AB為00的直徑，弦CD〃AB,AE切00于A,交CD的延長線于E。求證:

例7.如圖6,PA、PC切00于A、C,PDB為割線。求證：AD?BC=CD?ABAD_CD點悟：由結(jié)論AD?BC=CD?AB得 ，顯然要證APADsApba和APCDsApbcPPBC=20EBC=20E。.C例8.如圖7,在直角三角形ABC中，ZA=90°，以AB邊為直徑作00,交斜邊BC于點D,過D點作00的切線交AC于E。 求證：點悟：由要證結(jié)論易想到應證0E是厶ABC的中位線。n例9.如圖8,在正方形ABCD中，AB=1,川是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段n弧。點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作川所在圓的切線，交邊DC于點F,G為切點。 當ZDEF=45。時，求證點G為線段EF的中點；

【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題已知：PA、PB切00于點A、B,連結(jié)AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,則PA=（）20 25A. B. C.5 D.8下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.梯形已知：如圖1直線MN與00相切于C,AB為直徑，ZCAB=40°，則ZMCA的度數(shù)（） 圖1A.50° B.40° C.60° D.55°4.圓內(nèi)兩弦相交,一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4,則另一弦長為（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm在△ABC中，D是在△ABC中，D是BC邊上的點，AD=的延長線與AABC的外接圓的交點，那么DE長等于（）氏2^^淤 B3^2cmPT切00于T,CT為直徑，D為0C上一點，上，若CD=2,AD=3,BD=4,貝PB等于（A.20 B.10D.濟二、填空題AB、CD是00切線，AB〃CD,EF是00的切線，它和AB、CD分別交于E、F,則ZEOF= 度。已知：00和不在00上的一點P,過P的直線交00于A、B兩點，若PA?PB=24,OP=5,則00的半徑長為 ,BD=3cm,DC=4cm，如果E是ADC?、氐朋 d3、巨百廉直線PD交00于B和A,B在線段PD）C.5若PA為00的切線，A為切點，PBC割線交00于B、C,若BC=20,旳=】°厲則PC的長為 。正厶ABC內(nèi)接于00,M、N分別為AB、AC中點，延長MN交00于點D,連結(jié)BD

PC_交AC于