小概率事件原理與應(yīng)用

《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程設(shè)計(jì)題目小概率事件原理與應(yīng)用姓名學(xué)號(hào)成績(jī)指導(dǎo)教師小概率事件原理與應(yīng)用摘要：小概率事件原理是概率論中一個(gè)基本且實(shí)用的原理。本文從常見(jiàn)問(wèn)題出發(fā)，探討了此原理在概率論中的應(yīng)用，并通過(guò)一系列實(shí)例介紹了它在生活領(lǐng)域的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：小概率事件；小概率事件原理；假設(shè)檢驗(yàn)；Bayes統(tǒng)計(jì)1.小概率事件原理及其推斷方法小概率事件原理是概率論中具有實(shí)際應(yīng)用意義的基本理論。在概率論中將概率很?。ㄐ∮?.05）的事件叫做小概率事件。小概率事件的原理又稱為似然推理，即：如果一個(gè)事件發(fā)生的概率很小，那么在一次試驗(yàn)中，可以把它看成是不可能事件。設(shè)某試驗(yàn)中出現(xiàn)事件的概率為，不管﹥=0\*Arabic0如何小，如果把試驗(yàn)不斷獨(dú)立地重復(fù)下去，那么遲早必然會(huì)出現(xiàn)一次，從而也必然會(huì)出現(xiàn)任意多次。因?yàn)榈谝淮卧囼?yàn)中不出現(xiàn)的概率為，前次都不出現(xiàn)的概率為EQEQ,因此前次試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次的概率為EQEQEQEQ,當(dāng)時(shí)，概率趨近于1，這表示遲早出現(xiàn)一次的概率為1。出現(xiàn)以后，把下次試驗(yàn)當(dāng)作第一次，重復(fù)上述推理，可見(jiàn)必然再次出現(xiàn)。小概率事件原理是統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中拒絕還是接受原假設(shè)的依據(jù)，也是人們?cè)趯?shí)踐中總結(jié)出來(lái)而被廣泛應(yīng)用的一個(gè)原理。小概率事件原理的推斷方法是概率性質(zhì)的反證法，指的是人們首先根據(jù)問(wèn)題提出假設(shè)，然后根據(jù)一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，最后按照一定的概率標(biāo)準(zhǔn)做出鑒別。若小概率事件出現(xiàn)了，則拒絕假設(shè)；若小概率事件沒(méi)發(fā)生，則不拒絕假設(shè)。2.小概率事件遲早會(huì)發(fā)生小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際不會(huì)發(fā)生，并不代表它永遠(yuǎn)都不會(huì)發(fā)生。小概率事件遲早都會(huì)發(fā)生是指只要獨(dú)立的試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增多，那么小概率事件將會(huì)發(fā)生。下面我們將說(shuō)明這一結(jié)論。在隨機(jī)試驗(yàn)中，設(shè)事件出現(xiàn)的概率為，設(shè)表示“在第k次試驗(yàn)中出現(xiàn)”，則，，在前次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中一次都不出現(xiàn)的概率為，則在前次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次的概率為，無(wú)論如何小，當(dāng)時(shí)，1，這說(shuō)明小概率事件遲早會(huì)發(fā)生。3.小概率事件和不可能事件之間的區(qū)別與聯(lián)系小概率事件因其概率小而常常會(huì)與不可能事件混淆。但兩者從本質(zhì)上來(lái)講，是有區(qū)別的。所謂小概率事件是指發(fā)生的可能性小，但有發(fā)生機(jī)會(huì)的事件，而不可能事件是指完全不可能發(fā)生，概率為零的事件。比如，某人某時(shí)刻既在甲地又在乙地，這屬于自相矛盾的事件，所以這是一個(gè)不可能事件。而隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，人的能力與素質(zhì)的不斷提高，有些不可能事件可能會(huì)轉(zhuǎn)變成為小概率事件。比如，一直讓我們引以為豪的110米欄的跨欄項(xiàng)目，在2006年7月12日之前，打破12秒91的世界紀(jì)錄是一件不可能事件，但是，在7月12日這一天，我國(guó)運(yùn)動(dòng)員劉翔跑出了12秒88的好成績(jī)，成功打破了12秒91的世界紀(jì)錄這一事件，由一不可能事件轉(zhuǎn)換成一小概率事件。4.經(jīng)典的小概率事件研究現(xiàn)在我們來(lái)做一件有趣的事情，來(lái)算一下在生活中我們每個(gè)人交到朋友的概率。假設(shè)：我們平均每天遇到135人（哪怕是在我們眼前一閃而過(guò)的陌生人），平均一年就有49275人，能成為朋友的：如果從一般意義上講的朋友，按每年遇到50人算，那么我們的每一個(gè)朋友都是在碰到985人之后的那個(gè)人。地球上有60億人，而且還將不斷增長(zhǎng)下去，相遇是如此小概率的事件。能成為某種意義上的好朋友的：按每年10人算，那么我們需要碰到4927個(gè)人，才能得到這樣一位好朋友。能成為一生的愛(ài)人的概率呢？假設(shè)有緣的那個(gè)人是我們從18歲到28歲10年間碰到的人當(dāng)中的一個(gè)，那么10年間，有幸碰到的人約有492750人，異性占其中的一半246375人，其中自己喜歡的，或是有好感的也許有10個(gè)人，喜歡自己的也算上10個(gè)人，那么她（他）將是碰到過(guò)123187人之后才有的一個(gè)；或許我們可以最后從這20個(gè)人中求一個(gè)交集，找到那個(gè)既愛(ài)自己的，而自己又愛(ài)的人。可是為了能等到這個(gè)世界上唯一的屬于我的人，擦肩而過(guò)的，已經(jīng)有246375人之多?？吹竭@里，你可能會(huì)沮喪，但上帝說(shuō)：“人人都會(huì)發(fā)生小概率事件，因?yàn)橛胁麑?shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?。伯努利?shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停骸８鶕?jù)伯努利實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，假設(shè)我們遇見(jiàn)自己心愛(ài)的人的概率是0.00001，但是由于我們每天都在堅(jiān)持不懈地重復(fù)試驗(yàn)（我們每天都在遇見(jiàn)不同的人），我們最終能遇見(jiàn)她（他）的概率還是很大的。假設(shè)我們每天遇見(jiàn)135個(gè)不同的人（即做135次試驗(yàn)），一年我們就做了次重復(fù)試驗(yàn)。（為了計(jì)算方便用50000次），這就是我們?cè)谝荒陜?nèi)遇到我們心愛(ài)的人的幾率。還是很值得期待的。從上面的解題過(guò)程中我們可以看到，用概率方法去解決問(wèn)題時(shí)，必須先建立能與問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)的概率模型，然后應(yīng)用概率的性質(zhì)、定理或是結(jié)合其他知識(shí)來(lái)解決它。5.小概率事件原理的應(yīng)用小概率事件在生活中經(jīng)常會(huì)遇到，例如：如一個(gè)人成為億萬(wàn)富翁的概率固然非常小，但上億人中至少有一個(gè)億萬(wàn)富翁就幾乎是必然的了。人的一生有許多巧遇，聰明的人善于抓住好機(jī)會(huì)，避免壞機(jī)會(huì)。衡量“巧”的尺度就是概率的“小”。我們分析小概率事件是為了更好的利用它，控制其發(fā)生的條件，使它朝著我們所期望的方向發(fā)展，避免破壞性的小概率事件的發(fā)生。下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明小概率事件原理在人們生活中的應(yīng)用。例1某廠有一批產(chǎn)品，共有200件，經(jīng)檢驗(yàn)合格才能出廠。按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，次品率不得超過(guò)1%，今從中任抽5件，發(fā)現(xiàn)這5件中含有次品。問(wèn)這批產(chǎn)品是否能出廠？（小概率事件在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用）解：設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為p，問(wèn)題化為：如何根據(jù)抽樣的結(jié)果來(lái)判斷不等式“”是否成立？要檢驗(yàn)的假設(shè)是“”。首先，我們假定成立，此時(shí)，200件中最多有兩件次品，從中任取5件，令A(yù)“沒(méi)有取到次品”，由古典概型知顯然，從而，任抽5件，出現(xiàn)次品的概率以上結(jié)果說(shuō)明，如果“”，那么平均在100回抽樣中，事件=“任取5件，出現(xiàn)次品”，最多出現(xiàn)5回。也就是說(shuō)，在一次抽樣中，將很少遇到發(fā)生。由小概率原理可知，小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的，如果在一次試驗(yàn)中，某個(gè)小概率事件竟然發(fā)生了，那么就認(rèn)為這是一種反?，F(xiàn)象。然而現(xiàn)在的事實(shí)是，在一次具體的抽樣實(shí)踐中，竟然發(fā)生了，這是“不合情理”的。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？其根源在于我們假定了，因此“”的假設(shè)是不能接受的。這只能說(shuō)明該產(chǎn)品次品率不止0.01，故判斷不能出廠。例2對(duì)某工廠的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中重復(fù)抽樣，共取200件樣品，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有4件次品，問(wèn)我們能否相信此工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率不超過(guò)0.005？解：首先我們假設(shè)此工廠產(chǎn)品的次品率為0.005，一件產(chǎn)品被抽出之后只有兩種可能的結(jié)果，要么是次品要么不是次品，因此取200件產(chǎn)品相當(dāng)于200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以由貝努力概率模型可知，200件產(chǎn)品中出現(xiàn)次品的概率為=≈根據(jù)小概率事件原理可知，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，所以我們可以認(rèn)為該工廠的次品率不超過(guò)0.005不可信。例3某車間有12臺(tái)車床，由于種種原因，每臺(tái)車床有時(shí)需要開(kāi)，有時(shí)需要停。設(shè)每臺(tái)車床的開(kāi)或停是相互獨(dú)立的，若每臺(tái)車床停車的概率是1/3，問(wèn)車間里恰好有K臺(tái)車床處于停車狀態(tài)的概率是多少？解：將觀察12臺(tái)車床的開(kāi)停情況看作是進(jìn)行12次試驗(yàn)。因各臺(tái)車床的開(kāi)與停是相互獨(dú)立的，故可看作是12次獨(dú)立試驗(yàn)。每次試驗(yàn)只有“?！被颉伴_(kāi)”兩種可能的結(jié)果，故所求的概率為對(duì)于不同的k，計(jì)算結(jié)果如表1（精確到小數(shù)點(diǎn)后6位）。表1k取1～12KK00.00770770.04768910.04624480.01490320.12717190.00331230.211952100.00049740.238466110.00004550.190757120.00000260.111275從表1可以計(jì)算出停車臺(tái)數(shù)不超過(guò)1的概率為停車臺(tái)數(shù)超過(guò)7的概率為由此可見(jiàn)，“停車臺(tái)數(shù)不超過(guò)1”和“停車臺(tái)數(shù)超過(guò)7”都是小概率事件。這個(gè)結(jié)論是在停車概率假定等于1/3的前提下得到的，利用這一推斷在實(shí)地觀察中可以反過(guò)來(lái)檢驗(yàn)停車概率為1/3的假設(shè)是否正確。如果在一次觀察中小概率事件“停車臺(tái)數(shù)不超過(guò)1”或“例4假設(shè)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為0.7，如果比賽開(kāi)始后其連續(xù)投籃5次，命中次數(shù)不超過(guò)1次，可否認(rèn)為該運(yùn)動(dòng)員尚未進(jìn)入狀態(tài)，試為教練提供理論依據(jù)。解：可假定5次投籃為相互獨(dú)立的5次試驗(yàn)，用表示命中的次數(shù)，則，其概率分布為，則5次命中0次得概率為，5次命中一次的概率為綜上可知命中次數(shù)不超過(guò)一次的概率為這是一個(gè)小概率事件，幾乎是不可能發(fā)生的，而在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，所以我們有理由認(rèn)為該運(yùn)動(dòng)員不在狀態(tài)，此時(shí)，他的命中率要小于0.7。例5有52張洗均勻的撲克牌，把牌分給4個(gè)人。如果某人斷言這4個(gè)人在一次發(fā)牌中每人將得到13張同一花色的牌，你認(rèn)為這正常嗎？解：事實(shí)上，將52張牌分給4個(gè)人，每人得到13張同一花色的牌的概率為這個(gè)數(shù)值是非常小的，此事件即為小概率事件，現(xiàn)在某人竟然斷言這樣的小概率事件在一次發(fā)牌時(shí)就會(huì)出現(xiàn)，則自然認(rèn)為這是不正常的，我們懷疑其在發(fā)牌時(shí)有作弊行為。所以也借此警告賭徒們：賭局危險(xiǎn)，回頭是岸！例6小概率事件原理在Bayes統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用下面是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Savage曾考察的兩個(gè)著名的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)A:一位常飲牛奶的女士稱她能辨別先倒入杯子里的是茶還是牛奶，對(duì)此做了十次試驗(yàn)她都答對(duì)了。B：一個(gè)音樂(lè)家聲稱他能從一頁(yè)樂(lè)譜辨別是Haydn還是Mozart的作品，十次試驗(yàn)中他都能正確辨別。在這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)中，假如認(rèn)為被實(shí)驗(yàn)者是在猜測(cè)，每次成功的概率為0.5，那么十次都猜中的概率為。這是一個(gè)很小的概率事件，是幾乎不可能發(fā)生的，所以此假設(shè)應(yīng)該被拒絕。被實(shí)驗(yàn)者每次成功的概率要比0.5大得多，這就不是猜測(cè)，而是他們的經(jīng)驗(yàn)幫了他們的忙，可見(jiàn)經(jīng)驗(yàn)——先驗(yàn)假設(shè)是一種在推斷中不可忽視的重要手段，我們應(yīng)該加以利用。Bayes統(tǒng)計(jì)就是基本信息、總體信息、樣本信息和先驗(yàn)信息的統(tǒng)計(jì)推斷，通過(guò)小概率原理可知，先驗(yàn)信息在統(tǒng)計(jì)推斷中起著非常重要的作用。Bayes統(tǒng)計(jì)重視出現(xiàn)的樣本觀察值，即重視對(duì)先驗(yàn)信息的收集、挖掘和加工，使之?dāng)?shù)量化，形成先驗(yàn)分布，參加到統(tǒng)計(jì)推斷中來(lái)，從而提高了統(tǒng)計(jì)推斷的質(zhì)量。6.學(xué)會(huì)識(shí)別利用小概率事件設(shè)置的陷阱上面我們?cè)榻B過(guò)紙牌游戲中的小概率原理，不只是賭局，生活中也有很多類似的陷阱，讓人防不勝防。我們經(jīng)常見(jiàn)到街頭摸獎(jiǎng)的騙局，為什么說(shuō)它是騙局呢？我們?cè)诖擞靡粋€(gè)常見(jiàn)的例子分析一下：我們不妨來(lái)看看下面的彩球游戲。準(zhǔn)備一個(gè)布袋，內(nèi)裝6個(gè)紅球與6個(gè)白球，除顏色不同外，12個(gè)球完全一樣，每次從袋中摸6個(gè)球，輸贏的規(guī)則為:6個(gè)全紅贏得100元5紅1白贏得50元4紅2白贏得20元3紅3白輸?shù)?00元2紅4白贏得20元1紅5白贏得50元6個(gè)全白贏得100元如果你摸出了3紅3白則輸100元，而對(duì)于其他六種情況，你均能贏得相應(yīng)的錢數(shù)，而不用花錢，怎么樣？動(dòng)心了嗎？［注：這個(gè)規(guī)則有時(shí)稱為“袋子”模型］乍一看，此規(guī)則似乎處處對(duì)顧客有利，許多人都難免動(dòng)心去碰碰“運(yùn)氣”，甚至有人連連試了數(shù)次。然而，顧客一個(gè)個(gè)都免不了掃興而去，一連十幾個(gè)人各試了5次，結(jié)果都以失敗告終，每人輸?shù)腻X在60元到130元不等，而且試的次數(shù)越多，輸?shù)脑蕉?。其?shí)，我們想一想也該明白，天下哪有免費(fèi)的午餐呢？但要知道為什么會(huì)輸就要用到我們的概率知識(shí)了，要弄清這個(gè)問(wèn)題并不難，我們不妨逐一計(jì)算顧客中獎(jiǎng)的可能性，也就是輸贏規(guī)則中7種情況各自出現(xiàn)的概率大小。用概率論的語(yǔ)言說(shuō)，假如7種情況是等可能的，則贏的機(jī)會(huì)為6/7，輸?shù)臋C(jī)會(huì)僅為1/7，摸7次有6次都應(yīng)該贏。但游戲的妙處就在于這7種情況的發(fā)生不是等可能的。由于球的形狀、大小、重量等完全一樣，所以在我們無(wú)法看到的情況下是無(wú)法區(qū)分紅球和白球的，任意摸6個(gè)球，不論紅或白，共有36種可能，由此就可以計(jì)算出摸到3紅3白的概率為100/231?？梢?jiàn)，輸錢的可能性約占0.5，正是由于各種情況出現(xiàn)的概率不均等，才導(dǎo)致了人們上當(dāng)受騙，這7種情況出現(xiàn)的概率如下所示：結(jié)果出現(xiàn)的概率6個(gè)全紅1/9245紅1白3/774紅2白75/3083紅3白100/2312紅4白75/3081紅5白3/776個(gè)全白1/924

很顯然，上面7種情況的概率加起來(lái)是1，它們把全部的可能性100%進(jìn)行了不均等的概率分配，從中還可以看出，要想摸出“6個(gè)全紅”或“6個(gè)全白”的可能性僅為0.1%，相當(dāng)于1000次中只有1次會(huì)贏100元，這是一個(gè)概率很小的事件，根據(jù)實(shí)際推斷原理，在一次摸取中，基本上是不會(huì)發(fā)生的，而摸到3紅3白的可能性為43.2%，即幾乎每?jī)纱尉陀幸淮慰赡艹霈F(xiàn)，幾乎有一半的機(jī)會(huì)輸?shù)?00元，這就是摸得越多，輸?shù)迷蕉嗟脑?。事?shí)上，這種摸獎(jiǎng)是一種“機(jī)會(huì)游戲”，大多數(shù)人都敗興而歸就是由于商家利用了小概率事件的原理，在這種游戲中中獎(jiǎng)的概率很小，商家肯定是賺錢的。這就告訴我們，遇到誘惑時(shí)，要謹(jǐn)慎行事，一般來(lái)說(shuō)，誘惑越大的游戲，就越能使人輸錢，以至于傾家蕩產(chǎn)。當(dāng)我們正確認(rèn)識(shí)小概率事件以后，就能夠警惕這些利用小概率事件設(shè)置的陷阱，在生活中趨利避害。7.結(jié)論通過(guò)以上對(duì)小概率事件的分析可知，小概率事件是一個(gè)簡(jiǎn)單但是很有實(shí)用價(jià)值的原理。雖然小概率事件在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生，但我們也不能忽視小概率事件，事件重復(fù)的次數(shù)多了，小概率事件遲早也會(huì)發(fā)生。但我們