2023年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)新定義問題

新定義問題【專題點(diǎn)撥】新定義運(yùn)算、新概念問題一般是介紹新定義、新概念，然后利用新定義、新概念解題，其解題步驟一般都可分為以下幾步：1.閱讀定義或概念，并理解；2.總結(jié)信息，建立數(shù)模；3.解決數(shù)模，回憶檢查．“新概念〞試題，其設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思獨(dú)特，思維容量大，既能考查學(xué)生的閱讀、分析、推理、概括等能力，又能考查學(xué)生知識(shí)遷移的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)還兼具了區(qū)分選拔的功能.【解題策略】具體分析新穎問題→弄清問題題意→向知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化→利用相關(guān)聯(lián)知識(shí)查驗(yàn)→轉(zhuǎn)化問題思路解決【典例解析】類型一：規(guī)律題型中的新定義例題1：〔2023?永州，第10題3分〕定義[x]為不超過x的最大整數(shù)，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，以下式子中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．[x]=x〔x為整數(shù)〕B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]〔n為整數(shù)〕【解析】：根據(jù)“定義[x]為不超過x的最大整數(shù)〞進(jìn)行計(jì)算【解答】：解：A、∵[x]為不超過x的最大整數(shù)，∴當(dāng)x是整數(shù)時(shí)，[x]=x，成立；B、∵[x]為不超過x的最大整數(shù)，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+〔﹣4〕=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]〔n為整數(shù)〕，成立；應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是理解新定義．新定義解題是近幾年中考?？嫉念}型．變式訓(xùn)練1：〔2023?山東濰坊，第12題3分〕如圖，正方形ABCD，頂點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位〞為一次變換．如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)?)A．(—2023,2)B．〔一2023，一2〕C.(—2023,—2)D.(—2023,2)類型二：運(yùn)算題型中的新定義例題2：〔2023·四川宜賓〕規(guī)定：logab〔a＞0，a≠1，b＞0〕表示a，b之間的一種運(yùn)算．現(xiàn)有如下的運(yùn)算法那么：lognan=n．logNM=〔a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0〕．例如：log223=3，log25=，那么log1001000=．【解析】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．先根據(jù)logNM=〔a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0〕將所求式子化成以10為底的對(duì)數(shù)形式，再利用公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：log1001000===．故答案為：．變式訓(xùn)練2：(2023四川省樂山市第16題)在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P〔x，y〕和Q〔x，y′〕，給出如下定義：假設(shè)，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)〞．例如：點(diǎn)〔1，2〕的“可控變點(diǎn)〞為點(diǎn)〔1，2〕，點(diǎn)〔﹣1，3〕的“可控變點(diǎn)〞為點(diǎn)〔﹣1，﹣3〕．〔1〕假設(shè)點(diǎn)〔﹣1，﹣2〕是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)M的“可控變點(diǎn)〞，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)〔〕的圖象上，其“可控變點(diǎn)〞Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是．類型三：探索題型中的新定義例題3：(2023山西省第10題)寬與長(zhǎng)的比是〔約為0．618〕的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF；以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G；作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．那么圖中以下矩形是黃金矩形的是〔〕A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH【解析】考點(diǎn)：黃金分割的識(shí)別【解答】：由作圖方法可知DF=CF，所以CG=，且GH=CD=2CF，從而得出黃金矩形CG=，GH=2CF∴∴矩形DCGH是黃金矩形。變式訓(xùn)練3：〔2023?山東濟(jì)南，第14題，3分〕現(xiàn)定義一種變換：對(duì)于一個(gè)由有限個(gè)數(shù)組成的序列S0，將其中的每個(gè)數(shù)換成該數(shù)在S0中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個(gè)新序列S1，例如序列S0：〔4，2，3，4，2〕，通過變換可生成新序列S1：〔2，2，1，2，2〕，假設(shè)S0可以為任意序列，那么下面的序列可作為S1的是〔〕A．〔1，2，1，2，2〕B．〔2，2，2，3，3〕C．〔1，1，2，2，3〕D．〔1，2，1，1，2〕類型四：開放題型中的新定義例題4：(2023山西省第19題)〔此題7分〕請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德〔Archimedes，公元前287~公元212年，古希臘〕是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)子．阿拉伯Al-Biruni〔973年~1050年〕的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版?阿基米德全集?，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦〔即折線ABC是圓的一條折弦〕，BC>AB，M是的中點(diǎn)，那么從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法〞證明CD=AB+BD的局部證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．．．任務(wù)：〔1〕請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余局部；〔2〕填空：如圖〔3〕，等邊△ABC內(nèi)接于，AB=2，D為上一點(diǎn)，，AE⊥BD與點(diǎn)E，那么△BDC的長(zhǎng)是．【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、2+2【解析】考查了圓的證明?！?〕已截取CG=AB

∴只需證明BD=DG且MD⊥BC，所以需證明MB=MG故證明△MBA≌△MGC即可〔2〕AB=2，利用三角函數(shù)可得BE=由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC那么△BDC周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+〔DC+DE〕+BE=BC+BE+BE=BC+2BE然后代入計(jì)算可得答案【解答】：(1)證明：又∵，∴△MBA≌△MGC．∴MB=MG．又∵M(jìn)D⊥BC，∵BD=GD．∴CD=CG+GD=AB+BD．(2)、．變式訓(xùn)練4：〔2023?浙江嘉興，第24題14分〕類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形〞.〔1〕概念理解如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形〞.請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件.〔2〕問題探究①小紅猜測(cè)：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形〞是菱形.她的猜測(cè)正確嗎？請(qǐng)說明理由。②如圖2，小紅畫了一個(gè)Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，連結(jié)AA＇，BC＇.小紅要是平移后的四邊形ABC＇A＇是“等鄰邊四邊形〞，應(yīng)平移多少距離〔即線段BB＇的長(zhǎng)〕？〔3〕應(yīng)用拓展如圖3，“等鄰邊四邊形〞ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD為對(duì)角線，AC=AB.試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系.類型五：閱讀材料題型中的新定義例題5：〔2023·浙江省湖州市·3分〕定義：假設(shè)點(diǎn)P〔a，b〕在函數(shù)y=的圖象上，將以a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+bx稱為函數(shù)y=的一個(gè)“派生函數(shù)〞．例如：點(diǎn)〔2，〕在函數(shù)y=的圖象上，那么函數(shù)y=2x2+稱為函數(shù)y=的一個(gè)“派生函數(shù)〞．現(xiàn)給出以下兩個(gè)命題：〔1〕存在函數(shù)y=的一個(gè)“派生函數(shù)〞，其圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)〔2〕函數(shù)y=的所有“派生函數(shù)〞，的圖象都進(jìn)過同一點(diǎn)，以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕A．命題〔1〕與命題〔2〕都是真命題B．命題〔1〕與命題〔2〕都是假命題C．命題〔1〕是假命題，命題〔2〕是真命題D．命題〔1〕是真命題，命題〔2〕是假命題【解析】命題與定理．〔1〕根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx的性質(zhì)a、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，a、b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)即可判斷．〔2〕根據(jù)“派生函數(shù)〞y=ax2+bx，x=0時(shí)，y=0，經(jīng)過原點(diǎn)，不能得出結(jié)論．【解答】解：〔1〕∵P〔a，b〕在y=上，∴a和b同號(hào)，所以對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴存在函數(shù)y=的一個(gè)“派生函數(shù)〞，其圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)是假命題．〔2〕∵函數(shù)y=的所有“派生函數(shù)〞為y=ax2+bx，∴x=0時(shí)，y=0，∴所有“派生函數(shù)〞為y=ax2+bx經(jīng)過原點(diǎn)，∴函數(shù)y=的所有“派生函數(shù)〞，的圖象都進(jìn)過同一點(diǎn)，是真命題．應(yīng)選C．變式訓(xùn)練5：〔2023·重慶市A卷·10分〕我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q〔p，q是正整數(shù)，且p≤q〕，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最正確分解．并規(guī)定：F〔n〕=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最正確分解，所以F〔12〕=． 〔1〕如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F〔m〕=1； 〔2〕如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y〔1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)〕，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“桔祥數(shù)〞，求所有“桔祥數(shù)〞中F〔t〕的最大值． 【能力檢測(cè)】1.〔2023?甘肅天水，第10題，4分〕定義運(yùn)算：a?b=a〔1﹣b〕．下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論：①2?〔﹣2〕=6，②a?b=b?a，③假設(shè)a+b=0，那么〔a?a〕+〔b?b〕=2ab，④假設(shè)a?b=0，那么a=0或b=1，其中結(jié)論正確的序號(hào)是〔〕A．①④B．①③C．②③④D．①②④2.〔2023浙江臺(tái)州，16，5分〕任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如=4，=1，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第1次=8第2次=2第3次=1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，①對(duì)81只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?；②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．3.〔2023·重慶市B卷·10分〕我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q〔p，q是正整數(shù)，且p≤q〕，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最正確分解．并規(guī)定：F〔n〕=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最正確分解，所以F〔12〕=．〔1〕如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F〔m〕=1；〔2〕如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y〔1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)〕，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“桔祥數(shù)〞，求所有“桔祥數(shù)〞中F〔t〕的最大值．4.〔2023?江蘇鹽城，第27題12分〕知識(shí)遷移我們知道，函數(shù)y=a〔x﹣m〕2+n〔a≠0，m＞0，n＞0〕的圖象是由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位得到；類似地，函數(shù)y=+n〔k≠0，m＞0，n＞0〕的圖象是由反比例函數(shù)y=的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位得到，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為〔m，n〕．理解應(yīng)用函數(shù)y=+1的圖象可由函數(shù)y=的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為．靈活應(yīng)用如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，請(qǐng)根據(jù)所給的y=的圖象畫出函數(shù)y=﹣2的圖象，并根據(jù)該圖象指出，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，y≥﹣1？實(shí)際應(yīng)用某老師對(duì)一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行跟蹤研究，假設(shè)剛學(xué)完新知識(shí)時(shí)的記憶存留量為1，新知識(shí)學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時(shí)間為x，發(fā)現(xiàn)該生的記憶存留量隨x變化的函數(shù)關(guān)系為y1=；假設(shè)在x=t〔t≥4〕時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)他復(fù)習(xí)后的記憶存留量是復(fù)習(xí)前的2倍〔復(fù)習(xí)的時(shí)間忽略不計(jì)〕，且復(fù)習(xí)后的記憶存留量隨x變化的函數(shù)關(guān)系為y2=，如果記憶存留量為時(shí)是復(fù)習(xí)的“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞，且他第一次復(fù)習(xí)是在“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞進(jìn)行的，那么當(dāng)x為何值時(shí)，是他第二次復(fù)習(xí)的“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞？5.〔2023?吉林，第26題10分〕如圖①，直線l：y=mx+n〔m＞0，n＜0〕與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，過點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．〔1〕假設(shè)l：y=﹣2x+2，那么P表示的函數(shù)解析式為；假設(shè)P：y=﹣x2﹣3x+4，那么l表示的函數(shù)解析式為．〔2〕求P的對(duì)稱軸〔用含m，n的代數(shù)式表示〕；〔3〕如圖②，假設(shè)l：y=﹣2x+4，P的對(duì)稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對(duì)稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；〔4〕如圖③，假設(shè)l：y=mx﹣4m，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．假設(shè)OM=，直接寫出l，P表示的函數(shù)解析式．【參考答案】變式訓(xùn)練1：〔2023?山東濰坊，第12題3分〕如圖，正方形ABCD，頂點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位〞為一次變換．如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)?)A．(—2023,2)B．〔一2023，一2〕C.(—2023,—2)D.(—2023,2)【解答】：∵正方形ABCD，點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐標(biāo)變?yōu)?2,2)∴根據(jù)題意得：第1次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔2－1，－2〕，即〔1，－2〕，第2次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：〔2－2，2〕，即〔0，2〕，第3次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為〔2－3，－2〕，即〔－1，－2〕，第2023次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的為坐標(biāo)為〔2－2023，2〕，即〔－2023，2〕故答案為A．變式訓(xùn)練2：(2023四川省樂山市第16題)在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P〔x，y〕和Q〔x，y′〕，給出如下定義：假設(shè)，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)〞．例如：點(diǎn)〔1，2〕的“可控變點(diǎn)〞為點(diǎn)〔1，2〕，點(diǎn)〔﹣1，3〕的“可控變點(diǎn)〞為點(diǎn)〔﹣1，﹣3〕．〔1〕假設(shè)點(diǎn)〔﹣1，﹣2〕是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)M的“可控變點(diǎn)〞，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)〔〕的圖象上，其“可控變點(diǎn)〞Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】〔1〕〔﹣1，2〕；〔2〕0≤a≤．【解析】考查的考點(diǎn)：1．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；3．新定義．【解答】〔1〕根據(jù)“可控變點(diǎn)〞的定義可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔﹣1，2〕；〔2〕依題意，圖象上的點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)〞必在函數(shù)的圖象上，如下圖，∵，當(dāng)y′=16時(shí)，或，∴x=0或x=，當(dāng)y′=﹣16時(shí)，或，∴x=或x=0，∴a的取值范圍是0≤a≤．故答案為：〔1〕〔﹣1，2〕；〔2〕0≤a≤．變式訓(xùn)練3：〔2023?山東濟(jì)南，第14題，3分〕現(xiàn)定義一種變換：對(duì)于一個(gè)由有限個(gè)數(shù)組成的序列S0，將其中的每個(gè)數(shù)換成該數(shù)在S0中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個(gè)新序列S1，例如序列S0：〔4，2，3，4，2〕，通過變換可生成新序列S1：〔2，2，1，2，2〕，假設(shè)S0可以為任意序列，那么下面的序列可作為S1的是〔〕A．〔1，2，1，2，2〕B．〔2，2，2，3，3〕C．〔1，1，2，2，3〕D．〔1，2，1，1，2〕【解答】：A、∵2有3個(gè)，∴不可以作為S1，應(yīng)選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵2有3個(gè)，∴不可以作為S1，應(yīng)選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、3只有1個(gè)，∴不可以作為S1，應(yīng)選項(xiàng)錯(cuò)誤D、符合定義的一種變換，應(yīng)選項(xiàng)正確．應(yīng)選：D．變式訓(xùn)練4：〔2023?浙江嘉興，第24題14分〕類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形〞.〔1〕概念理解如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形〞.請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件.〔2〕問題探究①小紅猜測(cè)：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形〞是菱形.她的猜測(cè)正確嗎？請(qǐng)說明理由。②如圖2，小紅畫了一個(gè)Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，連結(jié)AA＇，BC＇.小紅要是平移后的四邊形ABC＇A＇是“等鄰邊四邊形〞，應(yīng)平移多少距離〔即線段BB＇的長(zhǎng)〕？〔3〕應(yīng)用拓展如圖3，“等鄰邊四邊形〞ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD為對(duì)角線，AC=AB.試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系.【解答】：〔1〕AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB〔任寫一個(gè)即可〕；〔2〕①正確，理由為：∵四邊形的對(duì)角線互相平分，∴這個(gè)四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“等鄰邊四邊形〞，∴這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，∴這個(gè)“等鄰邊四邊形〞是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，〔I〕如圖1，當(dāng)AA′=AB時(shí)，BB′=AA′=AB=2；〔II〕如圖2，當(dāng)AA′=A′C′時(shí)，BB′=AA′=A′C′=；〔III〕當(dāng)A′C′=BC′=時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)C′B′交AB于點(diǎn)D，那么C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，∴B′D=B，設(shè)B′D=BD=x，那么C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+〔C′D〕2=〔BC′〕2∴x2+〔x+1〕2=〔〕2，解得：x1=1，x2=﹣2〔不合題意，舍去〕，∴BB′=x=，〔Ⅳ〕當(dāng)BC′=AB=2時(shí)，如圖4，與〔Ⅲ〕方法一同理可得：BD2+〔C′D〕2=〔BC′〕2，設(shè)B′D=BD=x，那么x2+〔x+1〕2=22，解得：x1=，x2=〔不合題意，舍去〕，∴BB′=x=；〔3〕BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系為：BC2+CD2=2BD2，如圖5，∵AB=AD，∴將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABF，連接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣〔∠BAD+∠BCD〕=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2﹣CF2=〔BD〕2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．變式訓(xùn)練5：〔2023·重慶市A卷·10分〕我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q〔p，q是正整數(shù)，且p≤q〕，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最正確分解．并規(guī)定：F〔n〕=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最正確分解，所以F〔12〕=． 〔1〕如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F〔m〕=1； 〔2〕如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y〔1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)〕，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“桔祥數(shù)〞，求所有“桔祥數(shù)〞中F〔t〕的最大值． 【解析】〔1〕根據(jù)題意可設(shè)m=n2，由最正確分解定義可得F〔m〕==1； 〔2〕根據(jù)“桔祥數(shù)〞定義知〔10y+x〕﹣〔10x+y〕=18，即y=x+2，結(jié)合x的范圍可得2位數(shù)的“桔祥數(shù)〞，求出每個(gè)“桔祥數(shù)〞的F〔t〕，比擬后可得最大值． 【解答】解：〔1〕對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2〔n為正整數(shù)〕， ∵|n﹣n|=0， ∴n×n是m的最正確分解， ∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F〔m〕==1； 〔2〕設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，那么t′=10y+x， ∵t為“桔祥數(shù)〞， ∴t′﹣t=〔10y+x〕﹣〔10x+y〕=9〔y﹣x〕=18， ∴y=x+2， ∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)， ∴“桔祥數(shù)〞有：13，24，35，46，57，68，79， ∴F〔13〕=，F(xiàn)〔24〕==，F(xiàn)〔35〕=，F(xiàn)〔46〕=，F(xiàn)〔57〕=，F(xiàn)〔68〕=，F(xiàn)〔79〕=， ∵＞＞＞＞＞， ∴所有“桔祥數(shù)〞中，F(xiàn)〔t〕的最大值是． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解最正確分解、“桔祥數(shù)〞的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 【能力檢測(cè)】1.〔2023?甘肅天水，第10題，4分〕定義運(yùn)算：a?b=a〔1﹣b〕．下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論：①2?〔﹣2〕=6，②a?b=b?a，③假設(shè)a+b=0，那么〔a?a〕+〔b?b〕=2ab，④假設(shè)a?b=0，那么a=0或b=1，其中結(jié)論正確的序號(hào)是〔〕A．①④B．①③C．②③④D．①②④【解答】：根據(jù)題意得：2?〔﹣2〕=2×〔1+2〕=6，選項(xiàng)①正確；a?b=a〔1﹣b〕=a﹣ab，b?a=b〔1﹣a〕=b﹣ab，不一定相等，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；〔a?a〕+〔b?b〕=a〔1﹣a〕+b〔1﹣b〕=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；假設(shè)a?b=a〔1﹣b〕=0，那么a=0或b=1，選項(xiàng)④正確，應(yīng)選A2.〔2023浙江臺(tái)州，16，5分〕任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如=4，=1，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第1次=8第2次=2第3次=1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，①對(duì)81只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?；②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．【解析】①首先理解的意義，它表示不超過a的最大整數(shù)，然后仿照“72〞的操作，81第1次=9第2次=3第3次=1，，所以對(duì)81只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?；②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中找出最大的，需要進(jìn)行逆向思維，假設(shè)=1，那么a可以取的最大整數(shù)為3；假設(shè)=3，那么a可以取的最大整數(shù)為15；假設(shè)=15，那么a可以取的最大整數(shù)為255，∴最大為255.【答案】：3；255．3.〔2023·重慶市B卷·10分〕我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q〔p，q是正整數(shù)，且p≤q〕，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最正確分解．并規(guī)定：F〔n〕=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最正確分解，所以F〔12〕=．〔1〕如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F〔m〕=1；〔2〕如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y〔1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)〕，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“桔祥數(shù)〞，求所有“桔祥數(shù)〞中F〔t〕的最大值．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【解析】新定義．〔1〕根據(jù)題意可設(shè)m=n2，由最正確分解定義可得F〔m〕==1；〔2〕根據(jù)“桔祥數(shù)〞定義知〔10y+x〕﹣〔10x+y〕=18，即y=x+2，結(jié)合x的范圍可得2位數(shù)的“桔祥數(shù)〞，求出每個(gè)“桔祥數(shù)〞的F〔t〕，比擬后可得最大值．【解答】解：〔1〕對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n2〔n為正整數(shù)〕，∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最正確分解，∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F〔m〕==1；〔2〕設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，那么t′=10y+x，∵t為“桔祥數(shù)〞，∴t′﹣t=〔10y+x〕﹣〔10x+y〕=9〔y﹣x〕=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，∴“桔祥數(shù)〞有：13，24，35，46，57，68，79，∴F〔13〕=，F(xiàn)〔24〕==，F(xiàn)〔35〕=，F(xiàn)〔46〕=，F(xiàn)〔57〕=，F(xiàn)〔68〕=，F(xiàn)〔79〕=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“桔祥數(shù)〞中，F(xiàn)〔t〕的最大值是．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解最正確分解、“桔祥數(shù)〞的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．4.〔2023?江蘇鹽城，第27題12分〕知識(shí)遷移我們知道，函數(shù)y=a〔x﹣m〕2+n〔a≠0，m＞0，n＞0〕的圖象是由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位得到；類似地，函數(shù)y=+n〔k≠0，m＞0，n＞0〕的圖象是由反比例函數(shù)y=的圖象向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位得到，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為〔m，n〕．理解應(yīng)用函數(shù)y=+1的圖象可由函數(shù)y=的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為．靈活應(yīng)用如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，請(qǐng)根據(jù)所給的y=的圖象畫出函數(shù)y=﹣2的圖象，并根據(jù)該圖象指出，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，y≥﹣1？實(shí)際應(yīng)用某老師對(duì)一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行跟蹤研究，假設(shè)剛學(xué)完新知識(shí)時(shí)的記憶存留量為1，新知識(shí)學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時(shí)間為x，發(fā)現(xiàn)該生的記憶存留量隨x變化的函數(shù)關(guān)系為y1=；假設(shè)在x=t〔t≥4〕時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)他復(fù)習(xí)后的記憶存留量是復(fù)習(xí)前的2倍〔復(fù)習(xí)的時(shí)間忽略不計(jì)〕，且復(fù)習(xí)后的記憶存留量隨x變化的函數(shù)關(guān)系為y2=，如果記憶存留量為時(shí)是復(fù)習(xí)的“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞，且他第一次復(fù)習(xí)是在“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞進(jìn)行的，那么當(dāng)x為何值時(shí)，是他第二次復(fù)習(xí)的“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞？【解答】：理解應(yīng)用：根據(jù)“知識(shí)遷移〞易得，函數(shù)y=+1的圖象可由函數(shù)y=的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為〔1，1〕．故答案是：1，1，〔1，1〕靈活應(yīng)用：將y=的圖象向右平移2個(gè)單位，然后再向下平移兩個(gè)單位，即可得到函數(shù)y=﹣2的圖象，其對(duì)稱中心是〔2，﹣2〕．圖象如下圖：由y=﹣1，得﹣2=﹣1，解得x=﹣2．由圖可知，當(dāng)﹣2≤x＜2時(shí)，y≥﹣1實(shí)際應(yīng)用：解：當(dāng)x=t時(shí)，y1=，那么由y1==，解得：t=4，即當(dāng)t=4時(shí)，進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)后的記憶存留量變?yōu)?，∴點(diǎn)〔4，1〕在函數(shù)y2=的圖象上，那么1=，解得：a=﹣4，∴y2=，當(dāng)y2==，解得：x=12，即當(dāng)x=12時(shí)，是他第二次復(fù)習(xí)的“最正確時(shí)機(jī)點(diǎn)〞．5.〔2023?吉林，第26題10分〕如圖①，直線l：y=mx+n〔m＞0，n＜0〕與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，過點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．〔1〕假設(shè)l：y=﹣2x+2，那么P表示的函數(shù)解析式為；假設(shè)P：y=﹣x2﹣3x+4，那么l