2023年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題知識(shí)結(jié)構(gòu)??(二）學(xué)習(xí)目的

1.理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問題中的條件擬定反比例函數(shù)的解析式(k為常數(shù),),能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)．

2.能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象,會(huì)用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,進(jìn)一步理解函數(shù)的三種表達(dá)方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn).

3.能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)(ｋ為常數(shù),)的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能運(yùn)用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡樸的實(shí)際問題．

4．對(duì)于實(shí)際問題，能“找出常量和變量,建立并表達(dá)函數(shù)模型，討論函數(shù)模型,解決實(shí)際問題”的過程,體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型．?5.進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn),進(jìn)一步結(jié)識(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法．?(三）重點(diǎn)難點(diǎn)

1.重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握,反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運(yùn)用．

２．難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握.

二、基礎(chǔ)知識(shí)?(一）反比例函數(shù)的概念

1．()可以寫成(）的形式,注意自變量x的指數(shù)為,在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；

2.(）也可以寫成ｘy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式;?3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、ｙ軸無交點(diǎn).

(二)反比例函數(shù)的圖象

在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,且ｘ應(yīng)對(duì)稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．

(三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)?1．函數(shù)解析式：()?2.自變量的取值范圍:

3．圖象：?(1）圖象的形狀:雙曲線.?越大,圖象的彎曲度越小，曲線越平直.越小,圖象的彎曲度越大.

(2)圖象的位置和性質(zhì):?與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線．?當(dāng)時(shí),圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大．

（3）對(duì)稱性:圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若(a，b)在雙曲線的一支上，則(,）在雙曲線的另一支上.

圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即若（a，ｂ)在雙曲線的一支上,則(,）和(，）在雙曲線的另一支上.?4.k的幾何意義?如圖１,設(shè)點(diǎn)P(a，ｂ）是雙曲線上任意一點(diǎn)，作ＰA⊥x軸于A點(diǎn)，PB⊥y軸于B點(diǎn)，則矩形PBOＡ的面積是(三角形PAO和三角形PBO的面積都是）．

如圖2，由雙曲線的對(duì)稱性可知,P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q也在雙曲線上,作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為．?

圖1圖2

５．說明:

(１）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí),要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.

（2)直線與雙曲線的關(guān)系：

當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

（3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系．

（四）實(shí)際問題與反比例函數(shù)

1.求函數(shù)解析式的方法:

(１)待定系數(shù)法；（２）根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式．?2.注意學(xué)科間知識(shí)的綜合,但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上.?（五)充足運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．?三、例題分析?1☆.反比例函數(shù)的概念?（1）下列函數(shù)中,y是x的反比例函數(shù)的是（)．

A．ｙ=3xＢ.Ｃ．3xy=1D．

（2）下列函數(shù)中，y是ｘ的反比例函數(shù)的是().?Ａ．B．C．D．

答案：（1）Ｃ；(2)A.?2．圖象和性質(zhì)

(1）已知函數(shù)是反比例函數(shù),

①若它的圖象在第二、四象限內(nèi),那么k=___＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)＿.?②若y隨x的增大而減小,那么k＝__＿＿_(dá)____＿_(dá)．?（2）已知一次函數(shù)ｙ＝ａx＋b的圖象通過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)_象限．?（３)若反比例函數(shù)通過點(diǎn)(，２)，則一次函數(shù)的圖象一定不通過第＿＿_(dá)__象限.?（4）已知a·ｂ＜０,點(diǎn)P(a,b）在反比例函數(shù)的圖象上，?則直線不通過的象限是().?A.第一象限Ｂ.第二象限C.第三象限D(zhuǎn)．第四象限?（５）若P（２,2)和Q（m，)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，?則一次函數(shù)ｙ＝kｘ+m的圖象通過（）.?A．第一、二、三象限B.第一、二、四象限?C．第一、三、四象限Ｄ.第二、三、四象限?（6）已知函數(shù)和（k≠0）,它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大體是().

Ａ．B.C.Ｄ.?答案：(1）①②１;(2）一、三；(3)四；(４)C；（5)C；(６)Ｂ.?3．函數(shù)的增減性?(1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，且，則的值為().?Ａ．正數(shù)Ｂ．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)?（2)在函數(shù)（ａ為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，,，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是（)．

A.＜＜B．＜<Ｃ.<<D.＜<

(3)下列四個(gè)函數(shù)中:①；②;③;④．

y隨x的增大而減小的函數(shù)有()．?A．0個(gè)B．1個(gè)Ｃ.２個(gè)D．３個(gè)?（4)已知反比例函數(shù)的圖象與直線ｙ＝２x和y=x+1的圖象過同一點(diǎn)，則當(dāng)x>０時(shí),這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而(填“增大”或“減小”).

答案：(1)A；(2）D;(3）B．

注意，（3）中只有②是符合題意的,而③是在“每一個(gè)象限內(nèi)”y隨ｘ的增大而減小.?４.解析式的擬定

(1)若與成反比例，與成正比例，則y是z的(）.

A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C.一次函數(shù)Ｄ．不能擬定

（2）若正比例函數(shù)y=2ｘ與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為(２，m）,則m=_＿_(dá)__，k=＿_(dá)＿＿_(dá)___,它們的另一個(gè)交點(diǎn)為＿_(dá)＿_(dá)___＿．

（３）已知反比例函數(shù)的圖象通過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值．

(4）已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)(）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P（x０，3）.?①求x0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.??（5）☆為了防止“非典”,某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量ｙ（毫克)與時(shí)間ｘ(分鐘）成正比例,藥物燃燒完后，ｙ與x成反比例(如圖所示）,現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢,此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克．請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題:?①藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為__＿＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)＿,自變量x的取值范圍是＿_(dá)＿_(dá)_____＿_(dá)_＿_(dá)_；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為＿_(dá)_____＿＿_(dá)_______.?②研究表白，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要通過＿_(dá)_＿_(dá)__分鐘后，學(xué)生才干回到教室;

③研究表白,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且連續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí),才干有效殺滅空氣中的病菌,那么本次消毒是否有效？為什么??答案：（1）B；(２）４，8，(，）;

(3）依題意，且，解得．?（4）①依題意,解得

②一次函數(shù)解析式為,反比例函數(shù)解析式為.

(5）①，,;?②30;③消毒時(shí)間為（分鐘）,所以消毒有效.?5．面積計(jì)算

（1)☆如圖，在函數(shù)的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A、B、Ｃ，過這三個(gè)點(diǎn)分別向ｘ軸、ｙ軸作垂線,過每一點(diǎn)所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、,則(）．

Ａ．B.C.D．

?第（１)題圖第（２)題圖?（2)☆如圖，Ａ、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn),AＣ／/y軸，BC//x軸,△ABC的面積S,則（).

A.Ｓ=１Ｂ．1<Ｓ＜2C．S=2Ｄ.S>2

（3）如圖，Rt△ＡOB的頂點(diǎn)A在雙曲線上，且S△AOＢ=3，求ｍ的值.

?第（3)題圖第（4）題圖?（4）☆已知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x,y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點(diǎn)，過Ｐ1分別作ｘ軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1,垂足分別為Ｑ1，R1,過P2分別作x軸、y軸的垂線Ｐ2Q2，Ｐ２Ｒ2,垂足分別為Q２，R2，求矩形ＯＱ1P１R１和ＯＱ２Ｐ2Ｒ2的周長，并比較它們的大小．

(５)如圖，正比例函數(shù)y＝kx(ｋ>0）和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過Ａ作ｘ軸垂線交x軸于Ｂ,連接BC,若△ＡBC面積為S，則S=___＿＿_(dá)_＿＿.?

第(5）題圖第（6）題圖

（６）如圖在Rt△ABO中，頂點(diǎn)A是雙曲線與直線在第四象限的交點(diǎn)，AB⊥x軸于B且S△ＡＢＯ＝.?①求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

②求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和△AOC的面積.

(7）如圖，已知正方形OABＣ的面積為9,點(diǎn)Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Ａ、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)（k>0，x>0）的圖象上，點(diǎn)P（ｍ,ｎ）是函數(shù)（ｋ＞０,ｘ＞0）的圖象上任意一點(diǎn),過P分別作x軸、y軸的垂線,垂足為E、F，設(shè)矩形OＥPF在正方形OＡBC以外的部分的面積為S．

①求B點(diǎn)坐標(biāo)和ｋ的值;

②當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

答案:（1)D;(2）C;(3）6；

(4），,矩形OQ１Ｐ1Ｒ1的周長為8,ＯQ2P２Ｒ2的周長為，前者大．

(５)1．?(6)①雙曲線為,直線為；?②直線與兩軸的交點(diǎn)分別為（0，)和(,０）,且A（1,）和C(,1），?因此面積為4．?（７)①B(3,3),；

②時(shí)，E(6,0）,;?③．

6．綜合應(yīng)用?(1）若函數(shù)ｙ=k1ｘ(k１≠0）和函數(shù)(ｋ2≠０）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有公共點(diǎn),則k1和k2()．

Ａ．互為倒數(shù)B.符號(hào)相同Ｃ．絕對(duì)值相等D.符號(hào)相反

（２）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于Ａ、B兩點(diǎn):A（，1)，Ｂ（1，n).

①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；?②根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．?(3)如圖所示,已知一次函數(shù)(ｋ≠０）的圖象與x軸、ｙ軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)(m≠0）的圖象在第一象限交于C點(diǎn),CD垂直于x軸,垂足為D，若OＡ=OB＝OＤ=1．?①求點(diǎn)Ａ、B、D的坐標(biāo);?②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．?（4)☆如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點(diǎn),坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),連結(jié)ＯC,ＯＤ（O是坐標(biāo)原點(diǎn))．

①運(yùn)用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；?②雙曲線上是否存在一點(diǎn)P,使得△POC和△ＰOＤ的面積相等