廣東省陽江市東平中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

廣東省陽江市東平中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，滿足則的最大值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略2.若x，y∈[﹣，]，且xsinx﹣ysiny＞0，那么下面關(guān)系正確的是(

)A．x＞y B．x+y＞0 C．x＜y D．x2＞y2參考答案：D【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；不等式的基本性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=xsinx，判斷f（x）在[﹣，]上的增減性和對稱性，畫出函數(shù)草圖，結(jié)合圖象即可得出答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，則f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．∵f′（x）=sinx+xcosx，∴當(dāng)x∈（0，]時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，]上是增函數(shù)，∵f（x）是偶函數(shù)．∴f（x）在[﹣，0）上是減函數(shù)，且f（0）=0，做出函數(shù)f（x）圖象如圖所示∵xsinx﹣ysiny＞0，即xsinx＞ysiny，∴f（x）＞f（y），由圖象可知|x|＞|y|，即x2＞y2．故選D．【點評】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性比較大小，屬于基礎(chǔ)題．3.橢圓的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：4.過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（

）（A）0條

（B）1條

（C）

2條

（D）3條參考答案：B解析：由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B。5.，若在上恒成立，實數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（

）．(A)0

(B)2(C)-4i

(D)4i參考答案：D7.已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線上有一點P，過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與兩漸近線的交點分別為A，B，若平行四邊形OAPB的面積為1，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線的漸近線方程，設(shè)P（m，n）是雙曲線上任一點，設(shè)過P平行于x+ay=0的直線為l，求得l的方程，聯(lián)立另一條漸近線可得交點A，|OA|，求得P到OA的距離，由平行四邊形的面積公式，化簡整理，解方程可得a=2，求得c，進而得到所求雙曲線的離心率．【解答】解：由雙曲線方程可得漸近線方程x±ay=0，設(shè)P（m，n）是雙曲線上任一點，設(shè)過P平行于x+ay=0的直線為l，則l的方程為：x+ay﹣m﹣an=0，l與漸近線x﹣ay=0交點為A，則A（，），|OA|=||，P點到OA的距離是：，∵|OA|?d=1，∴||?.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故選：D．8.定義在R上的函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f（x+2）=，f（2）=，則f（2010）等于（）A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.下列四個命題中的真命題為（

）A.，使得

B.，總有C.，，

D.，，參考答案：D略10.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】在三角形中，結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等價為1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，則正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要條件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要條件，故選C．【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理確定邊角關(guān)系，注意三角形中大邊對大角的關(guān)系的應(yīng)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知角終邊經(jīng)過點，則

．參考答案：12.已知函數(shù)f（x）=．若a＞0，則函數(shù)y=f（f（x））﹣1有個零點．參考答案：3【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】函數(shù)y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函數(shù)的表達(dá)式求解x的值，推出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，當(dāng)f（x）＞0時，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，則log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．當(dāng)f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，則log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函數(shù)的零點3個．故答案為：3．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點個數(shù)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．13.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于__________．參考答案：設(shè)到位于軸上方，坐標(biāo)為，∵為等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．14.已知{an}是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，，若對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是____參考答案：(－9,－8)【分析】根據(jù)已知可求得數(shù)列的通項，進而求得，再由數(shù)列的性質(zhì)可得的取值范圍?！驹斀狻坑深}得，則，對任意的，都有成立，而關(guān)于的單調(diào)性為時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞減，且時，時。而時，最大，所以，且，故.【點睛】此題是關(guān)于數(shù)列單調(diào)性的問題，引用函數(shù)的單調(diào)性加以解決，但需考慮定義域是正整數(shù)集，難度屬于中等。15.已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，給出如下命題：①0是函數(shù)y=f（x）的一個極值點；②函數(shù)y=f（x）在x=﹣處切線的斜率小于零；③f（﹣1）＜f（0）；④當(dāng)﹣2＜x＜0時，f（x）＞0．其中正確的命題是

．（寫出所有正確命題的序號）參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】x＞0時，f'（x）＜0；x=0時，f'（x）=0；x＜0時，f'（x）＞0．所以0是函數(shù)y=f（x）的一個極值點．由f'（﹣）＞0，知函數(shù)y=f（x）在處切線的斜率大于0．由﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0，知f（﹣1）＜f（0）．【解答】解：∵x＞0時，f'（x）＜0；x=0時，f'（x）=0；x＜0時，f'（x）＞0．∴0是函數(shù)y=f（x）的一個極值點．∵f'（﹣）＞0，∴函數(shù)y=f（x）在處切線的斜率大于0．∵﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0，∴f（﹣1）＜f（0）．﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0．故答案為：①③．16.函數(shù)在點處的切線與函數(shù)圍成的圖形的面積等于_________；參考答案：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以，即切線方程為，整理得。由解得交點坐標(biāo)為，所以切線與函數(shù)圍成的圖形的面積為。17.已知函數(shù)若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍為．參考答案：（﹣5，0）考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：由分段函數(shù)知，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求導(dǎo)可知f（x）在上是增函數(shù)，從而化為函數(shù)f（x）在與（1，+∞）上各有一個零點；從而求實數(shù)m的取值范圍．解答：解：當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=2x3+3x2+m，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）≥0；故f（x）在上是增函數(shù)，故若使函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有兩個不同的交點，則函數(shù)f（x）在與（1，+∞）上各有一個零點；故m＜0，故，解得，m∈（﹣5，0）；故答案為：（﹣5，0）．點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在△中，角的對邊分別為，且，．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，，求邊的長和△的面積參考答案：（Ⅰ）因為，所以，……………2分因為，所以，所以，……4分因為，且，所以．…………6分（Ⅱ）因為，，所以由余弦定理得，即，解得或（舍），所以邊的長為．…………10分．…………12分19.（本小題滿分13分）如圖，在正方體中，，，P，Q，M，N分別是棱，，，，，的中點.求證：（Ⅰ）直線∥平面；（Ⅱ）直線⊥平面.

第20題圖參考答案：證明：（Ⅰ）連接AD1，由是正方體，知AD1∥BC1，

因為，分別是，的中點，所以FP∥AD1.

從而BC1∥FP.

而平面，且平面，故直線∥平面．

第20題解答圖（Ⅱ）如圖，連接，，則.由平面，平面，可得.又，所以平面.而平面，所以.因為M，N分別是，的中點，所以MN∥BD，從而.同理可證.又，所以直線⊥平面.20.某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時間，學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè)，同時每天派老師輪流值班．在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下2×2列聯(lián)表：

非優(yōu)良優(yōu)良總計未設(shè)立自習(xí)室251540設(shè)立自習(xí)室103040總計354580（1）能否在在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；（2）設(shè)從該班第一次月考的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中任取2個，取到優(yōu)良成績的個數(shù)為X，從該班第二次月考的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中任取2個，取到優(yōu)良成績的個數(shù)為Y，求X與Y的期望并比較大小，請解釋所得結(jié)論的實際意義．下面的臨界值表供參考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用；離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）求出K2，與臨界值比較，即可得出能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；（2）求出期望，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，K2==＞7.879，∴能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；（2）X的取值為0，1，2，則P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴E（X）=0×=．Y的取值為0，1，2，則：P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，E（Y）==．也即EX＜EY，其實際含義即表明設(shè)立自習(xí)室有效．21.（幾何證明選講）如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，與的延長線交于點，為切點．若，，的平分線與和⊙分別交于點、。求的值．參考答案：證明：連結(jié)，，，，，．2分

又與⊙相切于點，，∽，．…（4分）為⊙的直徑，，．可解得，．

…6分又平分，，又，∽，

．……10分22.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最小值；（2）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，證明：e﹣2＜a＜1．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)零點的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；（2）設(shè)x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，通過討論a的范圍，得出a的取值．【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．當(dāng)x∈時，g′（x）∈．當(dāng)a≤時，g′（x）≥0，所以g（x）在上單調(diào)遞增，因此g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；當(dāng)a≥時，g′（x）≤0，所以g（x）在上單調(diào)遞減，因此g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；當(dāng)＜a＜時，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），所以函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增，于是，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．綜上所述，當(dāng)a≤時，g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；當(dāng)＜a＜時，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；當(dāng)a≥時，g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b．…（2）證明：設(shè)x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，則由f（0）=f（x0）=0可知，f（x）在區(qū)間（0，x0）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．故g（x）在區(qū)間（0，x0）內(nèi)存在零點x1．同理g（x）在區(qū)間（x0，1）內(nèi)存在零點x2．故g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個零點，由（1）知