矩陣初等變換的性質(zhì)和應(yīng)用

PAGEPAGE39分類(lèi)號(hào)O15 陜西師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文矩陣初等變換的性質(zhì)和應(yīng)用作者單位數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院指導(dǎo)老師任芳國(guó)作者姓名黃敏專(zhuān)業(yè)、班級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)07級(jí)4班提交時(shí)間二O一一年五月矩陣初等變換的性質(zhì)和應(yīng)用黃敏(數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2007級(jí)4班)指導(dǎo)教師任芳國(guó)副教授摘要:本文首先采用了分析、歸納和比較的方法對(duì)矩陣矩陣初等變換的性質(zhì)進(jìn)行了全面地闡述與總結(jié)；然后詳述了矩陣初等變換在行列式、線(xiàn)性空間、數(shù)論等八個(gè)方面的應(yīng)用．關(guān)鍵詞:初等變換;初等矩陣;初等變換的性質(zhì);初等變換的應(yīng)用ThequalitiesandapplicationsofelementarytransformationofMarixHuangMin(Class4,Grade2007,CollegeofMathematicsAdvisor:ProfecssorRENFang-guoAbstract:Inthisdissertation,themethodsofanalysis,inductionandcomparisonarefirstlyemployedtoelaborateonthequalitiesofelementarytransformationofmatrixcomprehensivelyandsystematically,secondlytheapplicationsofelementarytransformationofmatrixroneightareassuchasdeterminant、linearspace、numbertheoryandsoonareintroduceddetailedly.Keywords:adjointmatrix;self-adjointmatrix;qualitiesofadjoint-matrix;引言在高等數(shù)學(xué)中，矩陣扮演了及其重要的角色．例如，在求解線(xiàn)性方程組解的過(guò)程中，人們利用矩陣不僅可以簡(jiǎn)潔明了地表示原先大型復(fù)雜的線(xiàn)性方程組，而且根據(jù)矩陣的性質(zhì)還可以方便地判斷線(xiàn)性方程組解的情況，甚至還可以用矩陣來(lái)表示出線(xiàn)性方程組的解．1.1選題背景矩陣初等變換是線(xiàn)性代數(shù)里面的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)重要工具，它在處理線(xiàn)性代數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)具有一定的獨(dú)特作用，如求逆矩陣、求矩陣的秩、求過(guò)渡矩陣、求向量組的秩及向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組、解方程組、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等.初等變換的應(yīng)用幾乎貫穿線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容的始終，幾個(gè)主要概念和計(jì)算幾乎都涉及到.它正如一只看不見(jiàn)的手，將線(xiàn)性代數(shù)各個(gè)部分看似零散的知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)，形成一個(gè)整體.同時(shí)，作為矩陣運(yùn)算的一種方法，其在高等代數(shù)中有著極為重要的地位，也是高等代數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).雖然初等變換的內(nèi)容比較簡(jiǎn)單,但它貫穿于整個(gè)高等代數(shù)理論的始終,應(yīng)用初等變換證明命題,過(guò)程容易被接受.所以,許多學(xué)者們也在不斷地挖掘初等變換的潛力,盡量用它來(lái)描述、證明、計(jì)算各種問(wèn)題，使初等變換能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其它科學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮更大的作用.1.2前人研究綜述但是目前國(guó)內(nèi)關(guān)于矩陣初等變換的研究多是就其在某一方面如二次型、解方程組等的應(yīng)用，而國(guó)外很多矩陣、線(xiàn)性代數(shù)方面的研究基于矩陣的初等變換，一其為研究的工具，卻缺少矩陣初等變換的專(zhuān)論.因此，一方面矩陣的初等變換處境尷尬，作為必不可少的工具卻不被重視，另一方面即使被重視，關(guān)于它的理論知識(shí)、研究成果凌散、不系統(tǒng).目前國(guó)內(nèi)的高等代數(shù)教材比較多，如由高等教育出版社出版，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編著的《高等代數(shù)（第三版）》，全書(shū)共10章，內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣、二次型、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換、-矩陣、歐幾里得空間、雙線(xiàn)性函數(shù)與辛空間.劉仲奎、楊永保、程輝、陳祥恩所編，高等教育出版社出版的《高等代數(shù)》內(nèi)容包括：行列式、多項(xiàng)式與矩陣、向量空間、線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性變換、歐氏空間等.西北工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)編寫(xiě)組編，科學(xué)出版社出版的《高等代數(shù)》一書(shū)共分14章，幾乎包含了高等代數(shù)的全部?jī)?nèi)容，研究對(duì)象從比較具體的行列式、矩陣、向量、線(xiàn)性方程組、多項(xiàng)式、相似變換、二次型、λ－矩陣到比較抽象的線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換、歐氏空間、酉空間、雙線(xiàn)性函數(shù)，進(jìn)而介紹近世代數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.姚慕生、吳泉水編著，復(fù)旦大學(xué)出版社出版的《高等代數(shù)學(xué)（第二版）》一書(shū)以線(xiàn)性空間為綱，在線(xiàn)性空間的框架下展開(kāi)高等代數(shù)的主要內(nèi)容.內(nèi)容包括：行列式、矩陣、線(xiàn)性空間和線(xiàn)性變換、多項(xiàng)式、特征值、相似標(biāo)準(zhǔn)型、二次型、內(nèi)積空間和雙線(xiàn)性型等.由上可見(jiàn)，幾乎在所有的高等代數(shù)教科書(shū)中,都已經(jīng)介紹了利用初等變換可以求行列式的值、求逆矩陣、判斷線(xiàn)性方程組解的存在問(wèn)題、求線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系、求一個(gè)向量由一組向量線(xiàn)性表示、判斷向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、求矩陣的秩等.除此之外,初等變換還可以用于求多項(xiàng)式的最大公因式、求特征值與特征向量、求標(biāo)準(zhǔn)正交基.但目前并沒(méi)有專(zhuān)講矩陣的初等變換方面的書(shū)籍.通過(guò)查閱中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù)了解到目前涉及矩陣初等變換方面的研究論文有：楊甲山的《初等變換的應(yīng)用》，文中提到矩陣的初等變換在關(guān)于行列式、線(xiàn)性相關(guān)性問(wèn)題中的應(yīng)用；蔡若松、張莉所著《初等變換應(yīng)用淺議》一文提出了使用初等變換求多項(xiàng)式的最大公因式、求特征值與特征向量、求標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種新嘗試.李桂榮、劉學(xué)鵬《關(guān)于線(xiàn)性方程組解結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步研究》用分塊矩陣的性質(zhì)和特點(diǎn)得到了一般線(xiàn)性方程組解存在的充分和必要條件.王小為《矩陣初等變換的獨(dú)立性》提出矩陣的三種行初等變換不是獨(dú)立的，第三種可由前兩種變換實(shí)施得到.和斌濤《矩陣初等變換的若干應(yīng)用》談到利用矩陣初等變換求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的方法，并利用此方法求解n元一次不定方程和線(xiàn)性同余方程組.譚軍《矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應(yīng)用》對(duì)初等變換在線(xiàn)性代數(shù)課程中的應(yīng)用做了全面的列舉，其中獨(dú)到之處是提到用初等變換求的子空間與的和與交的維數(shù).王成、饒成軍《矩陣初等變換的應(yīng)用研究》應(yīng)用矩陣的初等變換求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、求m個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)、多項(xiàng)式的最大公因式、最小公倍式.1.3選題的意義“高等代數(shù)”課是本科數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，也是理工科大學(xué)各專(zhuān)業(yè)的重要數(shù)學(xué)工具，它對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的許多后繼課程有直接影響，關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng).在高等代數(shù)中,初等變換雖然算不上是重點(diǎn)也算不上是難點(diǎn),但它卻是高等代數(shù)理論研究的一個(gè)必不可少的工具,許多繁瑣的問(wèn)題通過(guò)初等變換可使過(guò)程大大化簡(jiǎn).從以上文獻(xiàn)資料來(lái)看，雖然各種版本的高等代數(shù)方面的教材都廣泛地涉及矩陣的初等變換，國(guó)內(nèi)外對(duì)矩陣初等變換的研究也取得了較大的進(jìn)展，但是目前關(guān)于專(zhuān)寫(xiě)矩陣的初等變換，全面細(xì)致的論述矩陣的初等變換的相關(guān)理論及應(yīng)用的.所占比例卻不是很高.目前對(duì)矩陣的初等變換的研究?jī)?nèi)容主要集中在矩陣初等變換的性質(zhì)及應(yīng)用方面，具體包括以下幾點(diǎn)：1.性質(zhì)：對(duì)矩陣作行的初等變換，不改變列向量之間的線(xiàn)性關(guān)系，進(jìn)行行初等變換對(duì)矩陣行向量線(xiàn)性關(guān)系的影響.n階可逆矩陣A經(jīng)基本初等變換可化為特殊對(duì)角形式；對(duì)于-矩陣，也有相應(yīng)類(lèi)型的初等變換和初等矩陣，上述結(jié)論同樣成立.不改變矩陣的秩、不改變向量組的線(xiàn)性相關(guān)性.矩陣的三種初等變換間的關(guān)系.2.應(yīng)用：在行列式、多項(xiàng)式、線(xiàn)性空間、二次型、矩陣、解方程、向量組、線(xiàn)性方程組方面的應(yīng)用.本文旨在綜合前人在矩陣初等變換方面的諸多研究，對(duì)矩陣初等變換的相關(guān)理論成果做全面的梳理整合，使矩陣初等變換的理論更全面、細(xì)致，同時(shí)在借鑒前人的基礎(chǔ)上，提出自己的新見(jiàn)解，希望能對(duì)矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)提供參考作用.二、預(yù)備知識(shí)：矩陣初等變換的定義及其表示2.1矩陣初等變換的定義定義2.1.1所謂數(shù)域上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：1）以中的一個(gè)非零的數(shù)c乘矩陣的某一行；2）把矩陣某一行的k倍加到另一行；3）互換矩陣中兩行的位置.定義2.1.2所謂數(shù)域上矩陣的初等列變換是指下列三種變換：1）以中的一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一列；2）把矩陣某一列的倍加到另一列；3）互換矩陣中兩列的位置.2.2矩陣初等變換的表示矩陣經(jīng)過(guò)三種初等行變換變?yōu)榫仃嚕煞謩e表示為：相應(yīng)地，三種初等列變換對(duì)應(yīng)可表示為：2.3初等矩陣2.由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣.2.初等矩陣都是方陣，每種初等變換都有一個(gè)與之相應(yīng)的初等矩陣.三種初等行變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣如下：=,也可看成用乘單位矩陣的第列得到的；=，也可看作把單位矩陣的第列的倍加到第列上得到的；=，也可看作交換單位矩陣的第列和第列得到的.2.引理對(duì)一個(gè)矩陣作一初等行變換就相當(dāng)于在的左邊乘上相應(yīng)的初等矩陣；對(duì)作一初等列變換就相當(dāng)于在的右邊乘上相應(yīng)的初等矩陣.故是用乘矩陣的第行得到的矩陣，是用乘矩陣的第列得到的矩陣.是把矩陣的第行的倍加到第行得到的，是把矩陣的第列的倍加到第列得到的.是交換矩陣的第行和第行得到的，是交換矩陣的第列和第列得到的.2.初等矩陣均可逆，它們的逆矩陣仍是初等矩陣.由逆矩陣的定義易得矩陣初等變換的性質(zhì)3.1三種初等變換之間的關(guān)系就初等變換的實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō)，這三種變換不是獨(dú)立的，下面以行變換為例來(lái)說(shuō)明.命題1矩陣的上述三種初等變換不是獨(dú)立的.即某一種初等變換可由其它初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).證明下面證明第三種初等變換可由第一種和第二種來(lái)實(shí)現(xiàn).設(shè)=為數(shù)域上一矩陣.其中對(duì)進(jìn)行前兩種初等行變換最后這個(gè)矩陣就達(dá)到了第三種初等變換的效果，即s行與t行互換位置.那么第一、二種變換可否由其它初等變換得到呢？命題2矩陣的第一、二種初等變換是獨(dú)立的.即矩陣的第一種初等變換不能由第二、三種初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).第二種初等變換不能由第一、三種初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).證明：第一種初等變換不能由第二、三種初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).不妨以為階方陣來(lái)說(shuō)明.,則=，進(jìn)而由行列式的性質(zhì)知當(dāng)或時(shí)，顯然，.從而第一種初等變換不能由第二、三種初等變換得到.第二種初等變換不能由第一、三種初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).仍以初等行變換來(lái)說(shuō)明.則則當(dāng)時(shí)，顯然，，從而第二種初等變換不能由第一、三種初等變換來(lái)實(shí)現(xiàn).3.2初等行變換對(duì)矩陣列向量的影響引理線(xiàn)性方程組的初等變換總是把方程組變成同解的方程組.定理1對(duì)矩陣作初等行變換，不改變矩陣列向量的線(xiàn)性關(guān)系.證明已知是數(shù)域上一矩陣，，令其列向量滿(mǎn)足下面線(xiàn)性關(guān)系，即方程（1）經(jīng)過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣=(按列分塊)其列向量滿(mǎn)足下面線(xiàn)性關(guān)系，即方程（2）那么方程（2）的一組解使由引理知方程（1）與（2）同解，所以3.3初等列變換對(duì)矩陣行向量的影響定理2對(duì)矩陣作初等列變換，不改變矩陣行向量的線(xiàn)性關(guān)系.證明：已知是數(shù)域上一矩陣,.令其列行向量滿(mǎn)足下面線(xiàn)性關(guān)系，即方程,,即==0（1）設(shè)經(jīng)過(guò)一次初等列變換后得到,其中,為的行向量.是與初等列變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣，那么=且可逆.將(1)式兩端同右乘得=(與是同類(lèi)型的初等矩陣)則==0對(duì)該式兩邊同右乘得 =0 即=0那么有如下線(xiàn)性關(guān)系初等列變換不改變矩陣行向量的線(xiàn)性關(guān)系.3.4初等行變換對(duì)矩陣行向量的影響由定理1知對(duì)矩陣作行的初等變換不改變矩陣列向量之間的線(xiàn)性關(guān)系，那么初等行變換對(duì)行向量的線(xiàn)性關(guān)系又有怎樣的影響呢？看下面的例子.例1已知向量組，把作為行向量排成矩陣，然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為階梯形：可見(jiàn)是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，但這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.因?yàn)樗跃€(xiàn)性相關(guān).所以對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換改變了矩陣行向量的線(xiàn)性關(guān)系.初等行變換對(duì)矩陣行向量的線(xiàn)性關(guān)系具體的影響是什么呢？設(shè)=是數(shù)域上的矩陣.每一行都可看作中的向量.經(jīng)過(guò)一次初等行變換后得到,令,其中,分別是,的行向量.的行向量滿(mǎn)足下面的線(xiàn)性關(guān)系式：,,即==0（1）設(shè)是與初等行變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣，那么可逆且=,進(jìn)而=，那么(1)式變?yōu)?==（2）因此有下面的定理3設(shè)是數(shù)域上的矩陣，經(jīng)過(guò)一次初等行變換（所對(duì)應(yīng)的初等矩陣為）后得到,與的行向量分別為和.如果有下面的線(xiàn)性關(guān)系=0，那么有線(xiàn)性關(guān)系上定理中如果：1）當(dāng)有；2）當(dāng)有；3）當(dāng)有，.3.5初等列變換對(duì)矩陣列向量的影響設(shè)=是數(shù)域上的矩陣，每一列都可看作中的向量，稱(chēng)為的列向量.經(jīng)過(guò)一次初等列變換后得到,令其中，分別為的列向量.的列向量滿(mǎn)足下面的線(xiàn)性關(guān)系式即（1）設(shè)是與初等列變換對(duì)應(yīng)的階初等矩陣，那么可逆且=,該式右乘得,那么（1）式變?yōu)榧匆虼擞邢旅娴亩ɡ矶ɡ?設(shè)是數(shù)域上的矩陣，經(jīng)過(guò)一次初等列變換（設(shè)對(duì)應(yīng)的初等矩陣為）后得到,的列向量分別為和，如果有下面的線(xiàn)性關(guān)系式那么有線(xiàn)性關(guān)系上定理中如果：1）有2）當(dāng)有；3）當(dāng)有，.3.6初等變換不改變矩陣的秩定義所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是指矩陣的列向量組的秩.引理如果齊次線(xiàn)性方程組（1）的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解.定理5矩陣的行秩和列秩相等.因?yàn)樾兄鹊扔诹兄?，所以就統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的秩.根據(jù)定理1和2，對(duì)矩陣作初等行變換，不改變矩陣的列向量組的線(xiàn)性關(guān)系；對(duì)矩陣作初等列變換，不改變矩陣的行向量組的線(xiàn)性關(guān)系.因此初等變換不改變矩陣的秩.3.7初等變換不改變向量組的線(xiàn)性關(guān)系根據(jù)定理1，把向量組的向量按列排成矩陣，對(duì)該矩陣作初等行變換可知向量組的線(xiàn)性關(guān)系沒(méi)有改變.3.8初等變換對(duì)矩陣的作用定理6對(duì)一個(gè)矩陣作一初等行變換就相當(dāng)于在的左邊乘上相應(yīng)的初等矩陣；作一初等列變換就相當(dāng)于在的右邊乘上相應(yīng)的初等矩陣.四、矩陣初等變換的應(yīng)用4.1在行列式中的應(yīng)用4.1.1公式的證明和應(yīng)用一般書(shū)中對(duì)該公式的證明都較繁瑣，要用到拉普拉斯定理，構(gòu)造新的行列式來(lái)證明.但若用矩陣的初等變換這個(gè)工具，就可使證明過(guò)程簡(jiǎn)單明了，先看一個(gè)結(jié)論.引理(1)設(shè)是一個(gè)階初等矩陣，則對(duì)任意階方陣，有(2)若均為階初等矩陣，則對(duì)任意階方陣，有證明：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，因?yàn)椋跃C上，對(duì)任意一個(gè)階初等矩陣和階方陣，都有，同理有(2)由數(shù)學(xué)歸納法可得.定理7設(shè)是兩個(gè)階方陣，則.證明：當(dāng)是可逆矩陣時(shí)，（其中是階初等矩陣），因?yàn)?，所以?dāng)不可逆時(shí)，(其中是階初等矩陣,是階階梯形矩陣且滿(mǎn)足條件：每一行的第一個(gè)非零元素為1，且此元素所在列中其它元素均為0)，因?yàn)椴豢赡?，?dāng)且僅當(dāng)(其中為單位矩陣)，故中至少最后一行為全零行，從而最后一行必為全零行，所以，,又所以.用此公式計(jì)算某些特殊的行列式或行列式的乘積，相當(dāng)方便.例1設(shè),則=例2設(shè)，計(jì)算.解：因,則又的對(duì)角線(xiàn)元素全是，而行列式中項(xiàng)的符合為正，所以4.1.2用分塊矩陣計(jì)算行列式類(lèi)似矩陣的初等變換，我們把分塊矩陣的每個(gè)子塊當(dāng)成元素來(lái)看，同樣可定義分塊矩陣的初等行變換.定義下列三種類(lèi)型的變換稱(chēng)為分塊矩陣的初等行變換.（1）對(duì)調(diào)分塊矩陣的兩行；（2）以一可逆陣左乘分塊矩陣某一行中的所有元素；（3）以矩陣左乘分塊矩陣某一行中的所有元素后加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去.同樣地，對(duì)單位矩陣經(jīng)過(guò)一次分塊矩陣的初等行變換后的矩陣，稱(chēng)為初等分塊矩陣.設(shè)矩陣,其中子塊分別是階、階方陣，單位矩陣，其中子塊分別為階、階單位矩陣.設(shè)，，,則它們均為初等分塊矩陣.易驗(yàn)證對(duì)分塊矩陣施行分塊矩陣的初等行變換相當(dāng)于用相應(yīng)的初等分塊矩陣左乘分塊矩陣.引理對(duì)分塊矩陣進(jìn)行第三類(lèi)分塊矩陣的初等行變換后得到矩陣,則.證明：不妨設(shè),則.顯然,所以.引理設(shè)是階方陣，是階方陣，則證明：由行列式按行展開(kāi)定理，顯然有,因?yàn)?，所?類(lèi)似可得.定理？設(shè),其子塊分別是階、階方陣且可逆，則證明：.若子塊可逆，類(lèi)似可得到：.利用這兩個(gè)公式可以把高階行列式化為低階行列式，簡(jiǎn)化計(jì)算.例3設(shè),計(jì)算.解：===2=2=2=2=22例4已知和均為階方陣，證明.證明：由于(為單位矩陣)，兩邊取行列式可得.由例4可見(jiàn)，利用矩陣的初等變換和分塊矩陣來(lái)討論行列式中的某些公式很方便.4.2在線(xiàn)性相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用向量組的線(xiàn)性相關(guān)問(wèn)性有如下主要內(nèi)容：設(shè)有維向量組.判別此向量組的線(xiàn)性相關(guān)性；求此向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩；此向量組中的任一向量用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組表示.對(duì)于最后一個(gè)問(wèn)題一般采用觀(guān)察法或從定義出發(fā)求線(xiàn)性表示的系數(shù).這兩種方法在應(yīng)用時(shí)都會(huì)遇到麻煩，特別是向量維數(shù)較大或向量個(gè)數(shù)較多時(shí)，就更繁瑣.若用初等變換，就會(huì)簡(jiǎn)單很多.其依據(jù)是定理1矩陣的初等行變換不改變其列向量之間的線(xiàn)性關(guān)系.例5判斷向量組，，，，的線(xiàn)性相關(guān)性，并求出一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，把其它向量用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組表示出來(lái).解：將行向量改成列向量構(gòu)成矩陣，用初等行變換把化成階梯形，故向量組線(xiàn)性相關(guān)，向量組的秩為3，極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組含3個(gè)向量.且三個(gè)非零行的第一個(gè)非零元在1、2、4列，故為一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.為把用表示，再對(duì)階梯形矩陣進(jìn)行初等行變換化成行最簡(jiǎn)形矩陣，即就是讓第1、2、4列構(gòu)成單位矩陣：把該行最簡(jiǎn)形矩陣記作,由于方程和同解，因此向量組與向量組之間有相同的線(xiàn)性關(guān)系.現(xiàn)在有，，因此有，4.3在數(shù)論中的應(yīng)用4.3.1用初等變換求整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)4.3.1.1求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)在初等數(shù)論中，求兩個(gè)整數(shù)和的最大公因數(shù)，最小公倍數(shù)通常是先求出兩整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，再求和的最大公因數(shù)，最小公倍數(shù).此法的弊端是當(dāng)和的絕對(duì)值較大時(shí)，對(duì)它們進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分解很繁瑣.下面介紹一種矩陣求法.定義設(shè)，若為整數(shù)，則稱(chēng)為整數(shù)矩陣.命題1設(shè)、,，則存在整數(shù)矩陣且使得，其中是和的最大公因數(shù)，是和的最小公倍數(shù)，記=，=.證明：由、知存在使得.令，則；.記=，=，則，，從而可以構(gòu)造整數(shù)矩陣，使得命題2矩陣左（右）乘一個(gè)可逆的整數(shù)矩陣相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行一系列的整數(shù)初等行（列）變換.證明：由引理級(jí)矩陣為可逆的充要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積.由命題1和命題2可得到求兩整數(shù)和的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的矩陣方法：構(gòu)造矩陣，對(duì)實(shí)施整數(shù)初等行變換，把化成階梯形矩陣，則是和的最大公因數(shù)，是和的最小公倍數(shù).例6已知=4914，=54978，求和.解：構(gòu)造矩陣所以=42，=6432426.4.3.1.2求個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)（21:05）命題3設(shè)是個(gè)不全為0的整數(shù)，它們的最大公因數(shù)，則存在階可逆方陣，使得=（）.證明：用數(shù)學(xué)歸納法（1）當(dāng)=2時(shí)，可設(shè)，由輾轉(zhuǎn)相除法知： （）于是令則=，命題成立（2）假定當(dāng)時(shí)，命題成立，則當(dāng)時(shí)，由假定知存在階可逆方陣，使得=，其中是的最大公因數(shù).從而有又由（1）知存在二階可逆方陣使得，其中是和的最大公因數(shù)，即的最大公因數(shù).于是令,則，即當(dāng)時(shí)，命題成立；由數(shù)學(xué)歸納法原理知當(dāng)時(shí)，命題成立.（證畢）由命題3的證明可得如下兩個(gè)推論：推論1：設(shè)是個(gè)不全為0的整數(shù),則存在上的階可逆方陣，使得=，其中是的最大公因數(shù)，是一些矩陣的乘積，且.的求法如下：將下面寫(xiě)一個(gè)階單位陣，構(gòu)成一個(gè)階矩陣，在對(duì)施行初等列變換，當(dāng)?shù)牡谝恍凶兂蓵r(shí)，下面的單位矩陣就化成了矩陣.即，由于只涉及到第二、三種初等列變換，所以.推論2：的最大公因數(shù)可表示成它們的線(xiàn)性組合，即，其中是矩陣的第一列元素.證明：由推論1=和矩陣乘法的定義，易得.例7：求115，570,935的最大公因數(shù)，并把它表示成它們的線(xiàn)性組合.解：作矩陣，并對(duì)施行初等列變換故所求最大公因數(shù)=5且=.4.3.2初等變換與多項(xiàng)式把4.3.1.1的命題1加以推廣，可以得到多項(xiàng)式的最大公因式、最小公倍式的矩陣初等變換求法.命題4：設(shè)是中的非零多項(xiàng)式，若=，則存在可逆多項(xiàng)式矩陣，使得，其中是的最大公因式，是的最小公倍式，記=，=.證明：由是中的非零多項(xiàng)式，知存在使得令，其中，，為的首項(xiàng)系數(shù)，則有，而-，所以矩陣可逆，命題4得證.類(lèi)似命題2，我們有：命題5：每個(gè)可逆的多項(xiàng)式矩陣可以表示成一些初等多項(xiàng)式矩陣的乘積，對(duì)一多項(xiàng)式矩陣左乘一個(gè)初等多項(xiàng)式矩陣相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行一次初等行變換.根據(jù)命題4、5可得到求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式、最小公倍式的方法：（1）構(gòu)造多項(xiàng)式矩陣（2）對(duì)進(jìn)行初等行變換化為上三角矩陣，其中的首項(xiàng)系數(shù)為1，則是的最大公因式，是的最小公倍式.例8：已知，，求和的最大公因式和最小公倍式.解：構(gòu)造多項(xiàng)式矩陣所以=，=4.4初等變換在線(xiàn)性空間中的應(yīng)用4.4.1求線(xiàn)性空間的子空間與的和與交的維數(shù)在中設(shè)=，=，欲計(jì)算+，的維數(shù).可先構(gòu)造矩陣=，利用初等行變換求中列向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，從而得到+的一個(gè)基，其中向量個(gè)數(shù)即為+的維數(shù)，再由維數(shù)公式即可得的維數(shù).4.4.2求線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換在一組基下的矩陣和的坐標(biāo)定義1：線(xiàn)性空間的一個(gè)變換稱(chēng)為線(xiàn)性變換，如果對(duì)中任意的元素和數(shù)域中任意數(shù)都有，定義2：設(shè)是數(shù)域上維線(xiàn)性空間的一組基，是中的一個(gè)線(xiàn)性變換，基向量的像可以被基線(xiàn)性表出，用矩陣表示就是=其中矩陣=，矩陣稱(chēng)為在基下的矩陣.例9已知中的向量及中的一個(gè)基，，，中的線(xiàn)性變換使得，，，在在基下的矩陣和在基下的坐標(biāo).解：構(gòu)造矩陣==對(duì)作初等行變換，化為最簡(jiǎn)形矩陣，即使前三列構(gòu)成三階單位矩陣，從而線(xiàn)性變換在基下的矩陣為，下面求在基下的坐標(biāo)：從最簡(jiǎn)形矩陣易得，所以（1）又，，代人（1）式得所以在基下的坐標(biāo)為4.4.3求特征值和特征向量在高代教材中，求特征值和特征向量一般采用分步法，即先求特征值，再分別求各特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，下面介紹一種初等行變換同步求得特征值和特征向量的方法.例10求矩陣的特征值和特征向量，其中=.解：=，由得特征值（二重）.，由此得特征值的特征向量為；，由此得特征值的特征向量為.4.4.4從任意一個(gè)基求標(biāo)準(zhǔn)正交基定義1：歐氏空間中一組非零向量，如果它們兩兩內(nèi)積為0，即兩兩正交，就稱(chēng)它們?yōu)橐徽幌蛄拷M.正交向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.定義2：在維歐式空間中，由個(gè)向量組成的正交向量組稱(chēng)為正交基；由單位向量組成的正交基稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基.一般教材中，求標(biāo)準(zhǔn)正交基采用的是施密特正交化方法，一次求一個(gè)向量，這里使用初等變換可同步得到所有向量.命題6：設(shè)，是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，記，則進(jìn)行如下合同變換,矩陣的列向量組即為一個(gè)正交組.證明：設(shè)矩陣可經(jīng)初等行變換化為正交矩陣，則必有可逆陣矩陣使,可以看到：對(duì)進(jìn)行合同變換（同時(shí)進(jìn)行相同的初等行變換和初等列變換），對(duì)只進(jìn)行相應(yīng)的初等行變換，當(dāng)變成時(shí)，就變?yōu)?例11：把一組基，，化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.解:先化為正交基，令=，則==，故=，所以標(biāo)準(zhǔn)正交基為，，，4.5初等變換與矩陣4.5.1初等變換在數(shù)字矩陣中的應(yīng)用4.5.1.1利用初等變換判斷矩陣中的可逆性利用初等變換把矩陣化為階梯形，若其對(duì)應(yīng)的行列式不為零，則矩陣可逆，且行列式的值等于主對(duì)角線(xiàn)上的元素之積.但應(yīng)注意第一、三種初等變換會(huì)改變行列式的值.例12：已知矩陣=判斷矩陣是否可逆.解：由于，因?yàn)?，所以可?4.5.1.2利用初等變換求逆矩陣設(shè)為階可逆陣，將與組成一個(gè)行列矩陣,則由可知，通過(guò)對(duì)矩陣作一系列初等行變換，即可求出.用該法注意只能進(jìn)行初等行變換.例13：已知=求.解：由于=所以=4.5.1.3利用初等變換求矩陣的秩由于初等變換不改變矩陣的秩，故可利用初等行變換將矩陣化為上三角形矩陣，非零行的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩.也可利用初等列變換將矩陣化為下三角形矩陣，非零列的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩.例14：已知=求.解：對(duì)作初等行變換，化成下三角形矩陣，因?yàn)橛?個(gè)非零行，所以=3.4.5.2初等變換在分塊矩陣中的應(yīng)用矩陣分塊是矩陣?yán)碚撝械幕痉椒ㄖ唬醯茸儞Q則是處理分塊矩陣的重要工具.4.5.2.1求分塊矩陣中的逆矩陣?yán)?5：設(shè)分塊矩陣,其中矩陣、可逆，為零矩陣，求.解：由于,所以進(jìn)而4.5.2.2求分塊矩陣中的秩命題7：設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，則，當(dāng)且僅當(dāng)（或）是非奇異方陣或者也為零矩陣時(shí)，等號(hào)成立.證明：？例16：設(shè)是一個(gè)矩陣，矩陣是非奇異順序主子陣，則.證明：因?yàn)?而是非奇異陣，所以4.5.3初等變換在矩陣中的應(yīng)用定義：元素是關(guān)于文字的多項(xiàng)式的矩陣稱(chēng)為矩陣.定義：下面的三種變換叫做矩陣的初等變換.1）矩陣中的兩行互換位置.2）矩陣的某一行（列）乘以非零的常數(shù)；3）矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一個(gè)多項(xiàng)式.和數(shù)字矩陣的初等變換一樣，可以引進(jìn)矩陣的初等矩陣.如把單位矩陣的第行的倍加到第行（或是將第列的倍加到第列）得仍用表示交換單位矩陣的第行和第行得到的初等矩陣.用表示單位矩陣的第行乘以得到的矩陣.矩陣的初等變換主要用來(lái)求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，進(jìn)而求初等因子、不變因子的等.定義：任意一個(gè)非零的的矩陣都等價(jià)于下列形式的矩陣其中，是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，，稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)形.定義：標(biāo)準(zhǔn)形的對(duì)角線(xiàn)上的非零元素稱(chēng)為矩陣的不變因子.定義：把矩陣的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項(xiàng)系數(shù)為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)次數(shù)計(jì)算）稱(chēng)為矩陣的初等因子.例17：用初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出它的不變因子和初等因子.解：先化為標(biāo)準(zhǔn)形，故不變因子分別為1，和，初等因子為，和.4.6初等變換與二次型利用初等變換求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.命題：任意給定實(shí)二次型,其中總有正交變換使化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是二次型的矩陣的個(gè)特征值.證明：要使二次型經(jīng)過(guò)非退化線(xiàn)性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，也即使=從矩陣角度說(shuō)即找一個(gè)可逆陣使得為對(duì)角陣，即=，我們稱(chēng)與合同.對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，總有正交矩陣使得==，其中是的個(gè)特征值.由以上分析知，欲求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，只需求與合同的對(duì)角陣，所以對(duì)進(jìn)行合同變換，即對(duì)進(jìn)行初等行變換，再進(jìn)行初等列變換，直到把化成對(duì)角陣.該對(duì)角陣即為所求標(biāo)準(zhǔn)形.例18：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解：的矩陣為=，對(duì)進(jìn)行合同變換所以該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為.4.7用初等變換解方程4.7.1對(duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣作初等行變換，將增廣矩陣化為行階梯形，即易得方程組的解.注意只能作初等行變換.例19：解線(xiàn)性方程組解：增廣矩陣=故，同解中有4-2=2個(gè)自由未知量，取為自由未知量，即，令，則方程組的同解為，其中為任意常數(shù).4.7.2求解矩陣方程若矩陣方程的形式是,均為矩陣，其中可逆.由于,現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)矩陣,利用矩陣的初等行變換，化矩陣為單位矩陣，則矩陣同時(shí)變?yōu)?例20：設(shè)=，=，求使得.解：=，所以=.若矩陣方程的形式為,由于，則可對(duì)矩陣,即可得.4.7.3求解線(xiàn)性不定方程命題：設(shè)元線(xiàn)性不定方程，（3）其中的最大公因數(shù)為，若，則方程（3）有整數(shù)解，其解為（4）其中，而是（1）中矩陣的元素.證明：由（2）得，又由于，所以，，…，是方程（3）的一組整數(shù)解.下面證明（4）是方程（3）的一組整數(shù)解：，由（4）得由（1）得===，故（4）是（3）的一組整數(shù)解.另一方面，還需證明（3）的任意一組整數(shù)解都能表示成（4）的形式：設(shè)，，…，是方程（3）的任意一組整數(shù)解，那么（5）由得，所以,再由（1）得====所以，，…，，再由（5）得=令，則===，所以=.4.8初等變換與向量組4.8.1求向量組的秩、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組表示其余向量例21：已知向量組，，，求其極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并表示其余向量.解：把它們按列排成矩陣，并對(duì)作初等行變換化成行階梯形====由于向量是向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，根據(jù)定理？知是的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，的秩為2，且其它向量可用極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組表示為：.也可把按行排成矩陣，進(jìn)行初等列變換化成最簡(jiǎn)形式.4.8.2判斷向量組是否等價(jià)有向量組與向量組，如何判斷它們是否等價(jià)？1）先構(gòu)造矩陣=，對(duì)作初等行變換化成行階梯形可以判斷向量組可否由向量組線(xiàn)性表出；2）再構(gòu)造矩陣=，用同樣的方法判斷向量組可否由向量組線(xiàn)性表出.進(jìn)而看它們是否等價(jià).例22：證明以下兩向量組等價(jià)：，；，，證明：構(gòu)造矩陣=劃線(xiàn)矩陣說(shuō)明，，劃線(xiàn)矩陣說(shuō)明，，因此它們等價(jià).4.8.3證明“兩個(gè)等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量”該結(jié)論一般放在替換定理之后作為推論出現(xiàn)，如果不用替換定理，利用關(guān)于初等行變換的定理也可直