安徽省蕪湖一中2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期8月開學(xué)試題（含解析）

安徽省蕪湖一中2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期8月開學(xué)試題（含解析）安徽省蕪湖一中2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期8月開學(xué)試題〔含解析〕一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.1．設(shè)全集，2，3，4，，集合，，，3，，那么A．，B．，C．，D．，2．〔5分〕復(fù)數(shù)的虛部是A．B．1 C．D．3．〔5分〕為等差數(shù)列，其前項和為，假設(shè)，，那么公差等于A．1B．C．2D．34．〔5分〕直線和直線平行，那么A．或B．C．7或1D．5．〔5分〕函數(shù)的最小正周期為，那么該函數(shù)的圖象A．關(guān)于點，對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點，對稱D．關(guān)于直線對稱6．〔5分〕點在以，為焦點的橢圓上，假設(shè)，，那么該橢圓的離心率為A．B．C．D．7．〔5分〕假設(shè)、，，且，那么下面結(jié)論正確的選項是A．B．C．D．8．〔5分〕的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，，那么A．B．C．D．9．〔5分〕向量與的夾角為，且，，假設(shè)，且，那么實數(shù)的值為A．B．13 C．6D．10．〔5分〕在平面直角坐標(biāo)系中，、，點，滿足，那么的最小值為A．4B．3 C．D．11．〔5分〕假設(shè)，，那么A．B．C．D．12．〔5分〕函數(shù)，假設(shè)，，互不相等，且〔a〕〔b〕〔c〕，那么的取值范圍為A．B．，C．，D．，二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13．〔5分〕正數(shù)、滿足，那么的最小值為．14．〔5分〕曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積等于．15．〔5分〕所有棱長都相等的三棱錐的各個頂點同在一個半徑為的球面上，那么該三棱錐的外表積為．16．〔5分〕拋物線上有一動弦，中點為，且弦的長為3，那么點的縱坐標(biāo)的最小值為．三、解答題〔本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明證明過程或演算步驟.〕17．〔10分〕〔1〕求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍．

18．〔12分〕數(shù)列的前項和為正整數(shù)〕．〔Ⅰ〕令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕令，，求．

19．〔12分〕如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動點在斜邊上．〔Ⅰ〕求證：平面平面；〔Ⅱ〕求與平面所成角的正弦的最大值．20．〔12分〕為積極響應(yīng)國家“陽光體育運動〞的號召，某學(xué)校在了解到學(xué)生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光〞為口號的課外活動建議．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二根底年級與高三三個年級學(xué)生中按照的比例分層抽樣，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)〔單位：小時〕，得到如下圖的頻率分布直方圖．〔高一年級共有1200名學(xué)生〕〔1〕據(jù)圖估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間，并估計高一年級每周平均體育運動時間缺乏4小時的人數(shù)；〔2〕規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀〞，否那么為“非優(yōu)秀〞，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學(xué)生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀〞與年級有關(guān)〞．根底年級高三合計優(yōu)秀非優(yōu)秀合計3000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：21．〔12分〕橢圓過點，離心率為，左右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕當(dāng)△的面積為時，求直線的方程．

22．〔12分〕函數(shù)．〔1〕求函數(shù)在，上的值域；〔2〕假設(shè)，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2023-2023學(xué)年安徽省蕪湖一中高三〔上〕開學(xué)數(shù)學(xué)試卷〔8月份〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1．設(shè)全集，2，3，4，，集合，，，3，，那么A．，B．，C．，D．，【解答】解：，3，，，3，，那么，3，，3，，．應(yīng)選：．2．〔5分〕復(fù)數(shù)的虛部是A．B．1 C．D．【解答】解：，復(fù)數(shù)的虛部是．應(yīng)選：．3．〔5分〕為等差數(shù)列，其前項和為，假設(shè)，，那么公差等于A．1B．C．2D．3【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由，，得：解得：，．應(yīng)選：．4．〔5分〕直線和直線平行，那么A．或B．C．7或1D．【解答】解：直線和直線平行，，解得．應(yīng)選：．5．〔5分〕函數(shù)的最小正周期為，那么該函數(shù)的圖象A．關(guān)于點，對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點，對稱D．關(guān)于直線對稱【解答】解：，，；，其對稱中心為：，，，故，不符合；其對稱軸方程由得：，，當(dāng)時，就是它的一條對稱軸，應(yīng)選：．6．〔5分〕點在以，為焦點的橢圓上，假設(shè)，，那么該橢圓的離心率為A．B．C．D．【解答】解：由，可知△為直角三角形，又，可得，聯(lián)立，解得：，．由，得，即．．應(yīng)選：．7．〔5分〕假設(shè)、，，且，那么下面結(jié)論正確的選項是A．B．C．D．【解答】解：是偶函數(shù)且在上遞增，，，皆為非負(fù)數(shù)，，，應(yīng)選：．8．〔5分〕的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，，那么A．B．C．D．【解答】解：中，，根據(jù)正弦定理，得，可得，，，得，可得．應(yīng)選：．9．〔5分〕向量與的夾角為，且，，假設(shè)，且，那么實數(shù)的值為A．B．13 C．6D．【解答】解：，且，．向量與的夾角為，且，，．解得：．應(yīng)選：．10．〔5分〕在平面直角坐標(biāo)系中，、，點，滿足，那么的最小值為A．4B．3 C．D．【解答】解：、，點且；由，得，化簡得，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．應(yīng)選：．11．〔5分〕假設(shè)，，那么A．B．C．D．【解答】解：，，函數(shù)在上為增函數(shù)，故，故錯誤；函數(shù)在上為減函數(shù)，故，故，即；故錯誤；，且，，即，即．故錯誤；，故，即，即，故正確；應(yīng)選：．12．〔5分〕函數(shù)，假設(shè)，，互不相等，且〔a〕〔b〕〔c〕，那么的取值范圍為A．B．，C．，D．，【解答】解：函數(shù)，假設(shè)，，互不相等，且〔a〕〔b〕〔c〕，如圖，不妨，由條件可知：，，，，，令〔b〕，，由，故為減區(qū)間，，的取值范圍是：．應(yīng)選：．二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13．〔5分〕正數(shù)、滿足，那么的最小值為．【解答】解：根據(jù)約束條件畫出可行域化成直線過點時，最小值是，的最小值是，故答案為．14．〔5分〕曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積等于．【解答】解：，，時，，，曲線在點處的切線方程為，即．令，可得，令，可得，三角形的面積等于．故答案為：．15．〔5分〕所有棱長都相等的三棱錐的各個頂點同在一個半徑為的球面上，那么該三棱錐的外表積為．【解答】解：設(shè)三棱錐的棱長為，那么底面外接圓的半徑為，三棱錐的高為，正三棱錐的4個頂點都在同一球面上，如下圖；且球的半徑為，那么，，，，解得或，三棱錐的棱長為，那么該三棱錐的外表積為．故答案為：．16．〔5分〕拋物線上有一動弦，中點為，且弦的長為3，那么點的縱坐標(biāo)的最小值為．【解答】解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為，由題意可得△．，．，，中點的縱坐標(biāo):．故答案為：．三、解答題〔本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明證明過程或演算步驟.〕17．〔10分〕〔1〕求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍【解答】解：〔1〕由題意可知：，的最小正周期為，由，得，，單調(diào)增區(qū)間為，，；〔2〕，，，的取值范圍是，，的取值范圍是，，，．18．〔12分〕數(shù)列的前項和為正整數(shù)〕．〔Ⅰ〕令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕令，，求．【解答】解：〔Ⅰ〕在中，令，可得，即〔1分〕當(dāng)時，〔2分〕，即，，即當(dāng)時，又，數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列〔4分〕于是，〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得〔7分〕①②由①②得〔9分〕〔12分〕19．〔12分〕如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動點在斜邊上．〔Ⅰ〕求證：平面平面；〔Ⅱ〕求與平面所成角的正弦的最大值．【解答】解：證明：由題意，，，是二面角的平面角；又二面角是直二面角，，又，平面，又平面，平面平面；由知，平面，是與平面所成的角；在中，，；當(dāng)最小時，最大，此時，垂足為，由三角形的面積相等，得，解得，與平面所成角的正弦的最大值為．20．〔12分〕為積極響應(yīng)國家“陽光體育運動〞的號召，某學(xué)校在了解到學(xué)生的實際運動情況后，發(fā)起以“走出教室，走到操場，走到陽光〞為口號的課外活動建議．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二根底年級與高三三個年級學(xué)生中按照的比例分層抽樣，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)〔單位：小時〕，得到如下圖的頻率分布直方圖．〔高一年級共有1200名學(xué)生〕〔1〕據(jù)圖估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間，并估計高一年級每周平均體育運動時間缺乏4小時的人數(shù)；〔2〕規(guī)定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優(yōu)秀〞，否那么為“非優(yōu)秀〞，在樣本數(shù)據(jù)中，有30位高三學(xué)生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀〞與年級有關(guān)〞．根底年級高三合計優(yōu)秀非優(yōu)秀合計3000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：【解答】解：〔1〕該校學(xué)生每周平均體育運動時間為；〔3分〕樣本中高一年級每周平均體育運動時間缺乏4小時的人數(shù)為：〔人；又樣本中高一的人數(shù)有120人，所以高一年級每周平均體育運動時間缺乏4小時的人數(shù)為〔人；〔6分〕〔2〕由題意填寫列聯(lián)表如下：根底年級高三合計優(yōu)秀10530135非優(yōu)秀10560165合計21090300〔8分〕假設(shè)該校學(xué)生的每周平均體育運動時間是否優(yōu)秀與年級無關(guān)，那么，又，所以有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間是否“優(yōu)秀〞與年級有關(guān)〞．〔12分〕21．〔12分〕橢圓過點，離心率為，左右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕當(dāng)△的面積為時，求直線的方程．【解答】解：〔1〕橢圓過點，離心率為，可得解得所以〔2〕斜率不存在時，不滿足．斜率存在設(shè)為，過的直線方程為：，即，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即，消去得，△恒成立，由韋達(dá)定理可得，，，所以，解得，所以直線的方程．22．〔12分