甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）

甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）蘭州一中2023-2023-1學(xué)期期中考試試題高三數(shù)學(xué)〔理科〕說(shuō)明：本套試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，總分值150分，考試時(shí)間120分鐘．答案寫(xiě)在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡.第一卷〔選擇題，共60分〕一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1.假設(shè)集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B中元素的范圍，再求【詳解】解：由，，所以，應(yīng)選：C。【點(diǎn)睛】此題考查交集的求法，要注意細(xì)節(jié)，是根底題。2.設(shè)，那么〔〕A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再結(jié)合向量模的運(yùn)算可得，得解.【詳解】解：因?yàn)?，那么，?yīng)選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬根底題.3.，那么=()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件求得的值，利用二倍角公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式為只含的表達(dá)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由得.故，應(yīng)選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于根底題.4.以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A.命題“假設(shè)，那么〞的逆否命題為：“假設(shè)，那么〞B.“〞是“〞的充分不必要條件C.假設(shè)且為假命題，那么、均為假命題D.命題：“，使得〞，那么：“，均有〞【答案】C【解析】試題分析：假設(shè)“且〞為假命題，那么中至少有一個(gè)是假命題，而不是均為假命題．故C錯(cuò)．考點(diǎn)：1.四種命題；2.充分條件與必要條件；3.邏輯連接詞；4.命題的否認(rèn).5.平面向量滿(mǎn)足，且，那么與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)與的夾角為θ，由題意求得的值，可得θ的值．【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，記與的夾角為，那么，解得，即與的夾角為.應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于根底題．6.設(shè)，假設(shè)2是與的等比中項(xiàng)，那么的最小值為〔〕A.16 B.8 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先由等比中項(xiàng)的運(yùn)算可得，那么=，然后利用重要不等式可得：，一定要注意取等的條件.【詳解】解：因?yàn)?是與的等比中項(xiàng)，所以，即，所以，又，所以=，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，那么的最小值為8，應(yīng)選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了等比中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了利用重要不等式求最值，屬根底題.7.假設(shè)雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，那么的離心率為〔〕A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，可得a，b的關(guān)系，即可得到所求離心率公式．【詳解】取漸近線，化成一般式，圓心到直線的距離，得，，即.應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于根底題．8.某程序框圖如下圖，那么輸出的結(jié)果等于〔〕A.7 B.16 C.28 D.【答案】C【解析】執(zhí)行程序：，,,,判斷不符合條件，,,判斷不符合條件，,,判斷符合條件，應(yīng)選：C9.函數(shù)的圖象可能是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除B，當(dāng)時(shí)，，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除D．故應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：〔1〕從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；〔2〕從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；〔3〕從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；〔4〕從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)丈芻，草也；甍，屋蓋也〞翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂〞如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形那么它的體積為A. B.160 C. D.64【答案】A【解析】【詳解】分析：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，應(yīng)選A.點(diǎn)睛：此題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯〞成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等〞，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.11.假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，即．故答案選A?！军c(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，解題時(shí)常與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用相結(jié)合。12.函數(shù)，假設(shè)函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于的圖像與直線有6個(gè)交點(diǎn)，分別作出與在同一直角坐標(biāo)系中的圖像，再觀察圖像即可得解.【詳解】解：由題意可得，那么有個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于的圖像與直線有6個(gè)交點(diǎn)，分別作出與在同一直角坐標(biāo)系中的圖像，由圖像可知：當(dāng)?shù)膱D像與直線有6個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有，又解得，應(yīng)選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題.第二卷〔非選擇題，共90分〕二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教．假設(shè)從這6名教師中任選2名，選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】先求出從這6名教師中任選2名的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，再求出選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】解：從這6名教師中任選2名，共有種不同取法，選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校共有種不同取法，設(shè)“從這6名教師中任選2名，選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校〞為事件A，那么，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查了排列組合的有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)考查了古典概型的概率公式，屬根底題.14.直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，，那么線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)__________________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯雀鶕?jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可得直線方程，把點(diǎn)代入可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義，即可求得答案．【詳解】由題意，拋物線知，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線過(guò)焦點(diǎn)，所以直線的方程為，把點(diǎn)代入上式得，解得，所以，所以線段中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線與拋物線的關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及拋物線的焦點(diǎn)弦的問(wèn)題時(shí)，常常利用拋物線的定義來(lái)解決，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題.15.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，那么__________.【答案】【解析】【分析】先由和，得出函數(shù)的周期為3，再利用函數(shù)在的解析式求值即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，那么，又，那么，即函數(shù)的周期為3，那么，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性及周期性，重點(diǎn)考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求值，屬中檔題.16.向量滿(mǎn)足，那么的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】設(shè)，以O(shè)A所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系的夾角為，那么，，即表示以為圓心，1為半徑的圓，表示點(diǎn)A，C的距離，即圓上的點(diǎn)與A的距離，因?yàn)閳A心到A的距離為，所以的最大值為．三、解答題：共70分．解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．〔一〕必考題：共60分．17.函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離是，當(dāng)時(shí)取得最大值2．〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)函數(shù)零點(diǎn)為，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】〔1〕由三角函數(shù)圖像的性質(zhì)可得振幅A=2，周期T=，再將點(diǎn)代入運(yùn)算，結(jié)合求解即可；〔2〕由函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系可得sin〔2x0+〕=,再結(jié)合〔2x0+〕+〔-2x0〕=，即可求得的值.【詳解】〔1〕由題意知，振幅A=2，周期T=，∴，∴．將點(diǎn)代入得：，那么，又，故，故．〔2〕由函數(shù)的零點(diǎn)為x0知：x0是方程的根，故，得sin〔2x0+〕=,又〔2x0+〕+〔-2x0〕=，∴，故.【點(diǎn)睛】此題考查了由三角函數(shù)圖像的性質(zhì)求函數(shù)解析式及三角函數(shù)中給值求值問(wèn)題，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.18.等比數(shù)列前項(xiàng)和為成等差數(shù)列，且.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】〔1〕根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及等差中項(xiàng)可求得公比，代入中，求出q，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中化簡(jiǎn)，代入求得，再利用裂項(xiàng)相消求得?！驹斀狻俊?〕設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.〔2〕由〔1〕知，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和：所以數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列的知識(shí)，掌握等差等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)也需要掌握好數(shù)列求和的方法：分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等，屬于中檔題。19.如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，為垂足.〔1〕假設(shè)的面積為，求的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)，求角的大小.【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由的面積可得的值，然后在中由余弦定理得；〔2〕由條件得在中由正弦定理得；又，故，從而得，可求得A的值。試題解析：〔1〕由得又，解得在中，由余弦定理得∴即的長(zhǎng)為3.〔2〕由得，為中點(diǎn)，∴，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，∴，∴，又，∴.20.設(shè)函數(shù)〔為常數(shù)〕.〔1〕當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；〔2〕假設(shè)函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷是在內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).【答案】(1)(2)，且為函數(shù)的極小值點(diǎn).【解析】【分析】〔1〕先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可；〔2〕函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)等價(jià)于方程在內(nèi)存在唯一解，再構(gòu)造函數(shù)，求其值域，那么可得范圍，再利用導(dǎo)數(shù)確定是極大值點(diǎn)或者極小值點(diǎn).【詳解】〔1〕當(dāng)時(shí)，，，所求切線的斜率，又.所以曲線在處的切線方程為：.〔2〕，又，那么要使得在內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，那么在存在唯一變號(hào)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)存在唯一解，即與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn)，設(shè)函數(shù)，那么，在單調(diào)遞減，又；當(dāng)時(shí)，時(shí)，與在范圍內(nèi)有唯一交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，那么，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，那么，在為增函數(shù)，即為函數(shù)極小值點(diǎn)，綜上所述：，且為函數(shù)的極小值點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題.21.函數(shù)〔為實(shí)數(shù)常數(shù)〕〔1〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；〔2〕當(dāng)時(shí)，成立，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】〔1〕先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解不等式與，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕當(dāng)時(shí)，由等價(jià)于恒成立，再分別討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值從而得解.【詳解】解：〔1〕因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由得，解得，由得，解得，所以函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．〔2〕當(dāng)時(shí)，由得即恒成立〔*〕，設(shè)，那么，由題可知①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，可知且時(shí)，，使得，可知〔*〕式不成立，那么不符合條件；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，可知〔*〕式成立，那么符合條件，所以成立；③當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，所以，由〔*〕式得，設(shè)，那么，所以在上單調(diào)遞減，而，，可知．綜上所述，．【點(diǎn)睛】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及由不等式恒成立求參數(shù)的范圍，重點(diǎn)考查了不等式與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.〔二〕選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．〔1〕為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；〔2〕設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【詳解】試題分析：〔1〕設(shè)出P的極坐標(biāo)，然后由題意得出極坐標(biāo)方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為；〔2〕利用〔1〕中結(jié)論，設(shè)出點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：〔1〕設(shè)P的極坐標(biāo)為〔〕〔＞0〕，M的極坐標(biāo)為〔〕由題設(shè)知|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標(biāo)方程因此的直角坐標(biāo)方程為.〔2〕設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為〔〕.由題設(shè)知|OA|=2，，于是△OAB面積當(dāng)時(shí)，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.點(diǎn)睛:此題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化